薄板樣條函數在空間數據插值中的應用

■胡智龍 陳志平

（江西省地礦測繪院江西南昌330030）

薄板樣條函數在空間數據插值中的應用

■胡智龍 陳志平

（江西省地礦測繪院江西南昌330030）

隨著科學技術的不斷發展，越來越多的函數、數據應用到了人們的日常生活和工作之中，薄板樣條函數在生活中的應用不僅增強了系統的功能，還對我國信息的記錄提供了保障。本文主要以某地地形的數據信息為例，在借助地理信息系統的情況下，將薄板樣條函數應用其中，并通過比較樣本點標準誤差方面的數據，證明薄板樣條函數是一種十分有效的空間數據插值方法。

薄板樣條函數 空間數據插值 應用原理

空間差值是指能夠通過空間中的一點來求得一定區域內任意一點的方法，也是GiS中較為常用的一種方法，常用于數字模型的建立以及繪圖中。而薄板樣條函數是將差值的問題在一個薄金屬板中進行模擬，讓金屬板在約束下產生變形，并用數據來表示其能量，是一種將點進行非線性變換而得到曲面的一種工具。

1 薄板樣條函數差值的原理

如果在空間區域中分布著多個以及的點集Pi，i=1，2，3，4，…n，其點的坐標為：（Xi，Yi，Z(Xi，Yi)），如果Z（Xi，Yi）能夠進行兩次的連續導數，則能夠得出該能量表示的函數如公式一所示。

而薄板樣條函數則可以通過將能量函數最小化得到：Ztps=arg minE。

因為對薄板進行插值時，數據的點是按照離散的形式進行表示的，‖·‖表示歐幾里德范數，是ci系數，φ為薄板樣條函數的核函數，其最終的結果為：φ(r)=r2log(r)，其中，ri=（X-Xi）2＋（Y-Yi）2。

2 薄板樣條函數在某地形差值中的應用

2.1 數據的來源

依據相關的數據可知，某地共有821個高程點，在高程點的數據途中，數據點是以shape格式存放的，每個點的空間坐標存放在“*.shp”文件中，高程值存放在“*.dbf”數據庫中，兩者通過內部標識碼相聯。

2.2 技術的手段

以Visual Basic 6.0為開發平臺，利用Arc GIS Engine控件進行二次開發，包括：數據的提取與管理、圖形的顯示、誤差分析以及結果比較等。方法如下：

（1）提取已知點坐標

借助Arc GIS Engine控件容易提取每個高程點的空間三維坐標。

（2）生成待插值點格網圖

（3）TPS插值。進行薄板樣條函數插值。

（4）剔除冗余點

在插值時有些點落在邊界線外，應用剪切功能去除這些多余點。

（5）應用疊加功能，獲取樣本點的高程值。

（6）進行統計分析。如：求取最大值、最小值、平均值、中位數及標準誤等。

2.3 結果

在進行薄板樣條函數插值時，選擇不同的粒度對插值結果會有一定影響。從最大值（max）、最小值（min）、平均值（mean）、中位數（median）幾方面比較薄板樣條函數的插值結果。當選取的粒數為200×200時，其中位數以及平均值與粒數為500×500相比，具有較大的變化，而在粒數100×100時，變化的趨勢變得較為緩慢，而粒數50×50到5×5的數值則沒有明顯的變化，在選取粒數為20×20的差值后，可以得出差值后的圖。

為了能夠準確的得知薄板樣條函數在插值后結果的準確度，吧插值后的結果與821個已知點的高程值進行比較，其主要的方法就是，求出已知點高程的最大、最小、平均以及中位數的值，將其數值與圖一中821個已知點位置的薄板樣條函數的插值結果進行對比，然后求出薄板樣條函數在插值后的誤差情況，其誤差值的計算公式如公二所示。

其中，n的個數為已知點的個數，Zi為第i個已知點的高程值，Ti為第i個薄板樣條函數所求出的高程值，誤差的數值越小，說明薄板樣條函數插值的精準度越高，誤差的數值越大，說明薄板樣條函數的精準度越低。經過計算，可列出高程值的對比表，如表1所示。

表1 薄板樣條函數插值與已知點的比較

2.4 驗證

經過與已知點高程值的比較，在薄板樣條函數插值的計算中，雖然821個已知點全部參與了插值的運算，也參與了插值的比較，但是，仍然不能夠反應出插值的精度如何，因此在這821個已知點中又選取了10個點作為未知點，在進行薄板樣條函數插值時，插值方法如上，得到兩組樣本點插值的比較表。用薄板樣條函數插值方法得到的誤差平方和為0.54，標準誤差為0.073，雖然與文章的上段相比，此次的誤差要較大一些，但是其誤差的主要原因是這10個樣本測試點并沒有參加到此次的薄板樣條函數的插值計算。綜上所述，對于我國目前的狀況而言，薄板樣條函數是一種精度較高，靈活度較強，應用范圍廣以及操作較為簡便的一個插值方法，可以廣泛的應用到人們生產生活的各個方面之中。

3 結束語

通過全文的敘述可以得出以下結論。中國的地域廣泛，其地形的變化更為復雜，所以為了提高地形勘探技術，需要更多的技術手段以及函數方法進行聯合，本文以某地區的地形結構為例，采用薄板樣條函數在空間數據插值的方法對其進行構建模型，在經過專業數據的對比后發現，薄板樣條函數在空間數據插值的應用手段能夠將該地真實的地形結構進行推測，并且精準度較高，薄板樣條函數能夠應用于空間數據插值，并能夠取得良好的觀測效果。

[1]馬駿，孔帥可，周兵，張桐.基于薄板樣條插值算法的巨幅影像分塊并行處理[J].計算機時代，2015，07：4-6.

[2]杜國明，曾志芳.基于3D TPS空間插值的中國降水量空間分布響 [J].草業科學，2013，02：155-160.

O174[文獻碼]B

1000-405X（2016）-5-312-2