基于兩種分布下的SV模型與GARCH模型的VaR比較

周炳均，王　沁，鄭　興

(西南交通大學數學學院， 四川　成都　610031)

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基于兩種分布下的SV模型與GARCH模型的VaR比較

周炳均，王沁，鄭興

(西南交通大學數學學院， 四川成都610031)

文章將隨機波動SV模型與GARCH模型應用于VaR的計算，并利用上證指數的實際數據作實證研究，構建基于正態分布和T分布下的GARCH模型與SV模型，測量了上證指數收益率的風險價值(VaR).結果表明，相比GARCH模型，SV-N，SV-T模型能更準確地對實際市場波動情況進行擬合，更加真實地反映上證指數的市場風險特性.

VaR；GARCH模型；SV模型；金融風險

隨著全球金融市場的發展，金融市場的波動進一步加劇，金融風險越來越受到關注.近年來,越來越多的風險測量技術得到應用.VaR (Value at Risk)是當前比較流行的測量金融風險的方法，它集中表明了在一定時間期間內，在給定的置信水平下某資產預期可能損失的最多金額.

在VaR的計算中，波動率是核心參數.起初，傳統的分析方法是假設市場因子服從方差不變的正態分布來計算VaR，但由于不符合金融市場的時變性，這樣得出的結果顯然不能令人滿意.1986年，Bollersive[1]提出的GARCH模型能夠很好地刻畫資產收益率的波動特征，被大量用于VaR的計算[2].然而，GARCH 模型在刻畫金融時間序列的“高峰厚尾”、杠桿效應、方差平方序列自相關性等特征時的表現并不是很理想[3].相較于GARCH模型，另一類異方差模型是SV模型，它具有金融計量經濟學和數理金融學的雙重根源.其顯著特征是將方差變化用一個鞅差分序列的隨機過程表達，被認為是刻畫金融市場波動性的最理想模型之一.Harvey A[4]等學者做過大量關于SV模型與GARCH模型的比較研究，認為相較于GARCH模型，SV模型所刻畫的波動性與實際的金融市場更加接近.在國內，也有李漢東等[5]在Harvey A研究的基礎上從中國股票市場的實際數據發出對這兩類模型做實證比較，得出類似結論.諸多學者如余紅英、張世英[6]等基于上證指數將SV模型與GARCH模型引入VaR的計算，最后得出SV模型對VaR的刻畫更精確的結論.本文旨在利用不同分布下的GARCH模型與SV模型來測量股市的VaR值，從VaR的似然比檢驗值出發說明不管在正態分布下還是在T分布下，SV 模型都比 GARCH 模型更加符合金融市場實際特征.

1　GARCH和SV模型及其VaR計算

1.1GARCH模型

模型的結構如下：

(1)

其中，Xt為每日收益率，ω、α、β是待估參數，ηt是擾動項.GARCH模型將滯后條件方差與擾動考慮進來，增加了方差的自適應性，可以很好地描述金融序列的尖峰厚尾性.GARCH模型中有兩類特殊的形式較為常用，一種是GARCH(1,1)-N模型，另一種是GARCH(1,1)-T模型.該結構下，當p=q=1時，若ηt服從正態分布則模型為GARCH(1,1)-N模型，若ηt服從T分布則是GARCH(1,1)-T模型.GARCH模型的參數估計常采用極大似然估計法.

1.2SV模型

標準的SV模型表達式：

yt=εteht/2

(2)

ht=α+βht-1+ηt

(3)

其中：εt服從均值為0、方差為l的獨立正態分布；ηt是具有零均值、方差為常數的擾動項.此時，若ηt服從正態分布，則模型為SV(1)-N模型.若ηt服從T分布，則模型為SV(1)-T模型，且εt與ηt不相關.α、β、σ均為待估參數.SV模型中的波動除了與之前的波動相關外，還依賴于當前的新息項ηt.這正是SV模型與GARCH模型的不同之處，當前擾動的加入使SV模型能夠更為準確地刻畫金融時序的波動.

對SV的參數估計，最常見的是廣義矩估計(GMM )和馬爾科夫鏈蒙特卡羅模擬法 (MCMC).但GMM方法的估計精度并不高，而MCMC方法計算量大且過程復雜.所以本文選取偽極大似然估計(QML)對SV模型進行參數估計.定義：

將標準的SV模型轉化成如下的線性形式：

zt=xt+ξt

(4)

xt=α+βxt-1+ηt

(5)

對其運用卡爾曼濾波和偽極大似然法即可求得SV模型參數(α,β,σ,v)的估計.

1.3模型的VaR計算

風險價值VaR的具體含義為：在一定時間內，一般市場條件和給定的置信水平下預期可能面臨的最大損失.即Prob(Rt< - VaR)=1-a.

其中，a是置信水平(一般為95﹪)，Rt表示第t期的收益(一般為負值).VaR為第t期時在置信水平a下的風險價值，當VaR為正值時，VaR的計算公式如下：

VaR=-μ+σZ1-α

(6)

μ和σ分別表示樣本收益率的均值與方差，Z1-α為對應的分位數.將各模型的參數估計出來后，計算出各模型的收益率波動σ，帶入VaR的計算式，即可計算出VaR.

1.4VaR的驗證方法——似然比(LR)檢驗

因VaR是VaR模型估計所得的數值，所以需要對VaR模型進行檢驗，來確保VaR的準確性.假定各個時間點的VaR估計相互獨立，則失敗出現的天數就可以看成一系列獨立的貝努利試驗，其失敗概率服從二項分布B(T,p)，失敗的期望概率為p′，p′=1-α(α為置信度).假設實際考察的天數為T，失敗的天數為N，置信度為α，進而失敗的概率的頻率估計為p′=N/T.這樣對模型有效性的評價就可以轉化為判斷實際檢驗失敗的概率p與期望失敗概率p′是否存在顯著性差異，即：H0:p=p′，H1:p≠p′.

Kupiec對此提出了目前處理模型風險最常用的擬然比率檢驗法:

LR=-2(lnL(p′)-lnL(p))

=-2ln[1-p′]T-Np′N+2ln[(1-N/T)N-T(N/T)N]

(7)

似然比統計量LR服從自由度為1的χ2分布.卡方分布的95﹪置信區間臨界值為χ2(m)=3.84，所以，如果統計量LR>3.84，則拒絕原假設，說明VaR模型并不能很好地擬合樣本數據.反之，則接受原假設即可以認為被檢驗模型可以很好地擬合樣本數據.

2　實證研究

2.1數據的選取及統計特征

本文的數據來源是中信建投大智慧軟件，為了避開2008年的金融危機和2015年股市的大起大落，選取了從2009年1月5日到2014年12月8日上證綜指所有交易日的收盤價.除去周末和法定假日，共有1 439個收盤價數據.對其取對數收益率：

rt=ln(pt)-ln(pt-1)

(8)

其中，pt為上證綜指的當日收盤價，pt-1為前一日收盤價.對收益率數據做相應的統計分析如圖1所示.

圖1　上證指數收益率折線圖

由圖1可以看出，數據存在著波動叢集性，即一個大波動常常伴隨著幾個連續的大波動，一個小波動下伴隨著幾個小波動，而且沒有明顯的趨勢，可初步判定其平穩.

從上證指數收益率的偏度、峰度以及相應統計量的值可以看出，上證綜指收益率序列存在著尖峰、厚尾特性，不符合正態分布的特征.在Eviews上采用ADF單位根檢驗，發現其值在5﹪水平上是顯著的，說明數據不存在單位根，序列基本平穩.

表1　上證指數收益率的基本統計特征

注：其中*表示在5﹪顯著性水平下顯著.

2.2模型的參數估計

分別基于SV(1)模型和GARCH(1,1)模型，在正態分布和T分布下運用偽極大似然估計和極大似然估計方法，通過Matlab軟件進行參數估計的結果如表2和表3所示.

表2　GARCH(1,1)模型在不同分布下的參數估計結果

注：括號上方是參數估計值，括號內是參數檢驗p值.

由表2得出在正態分布下GARCH(1,1)-N模型的表達式為：

ht= 0.00000222 + 0.0405εt-12+ 0.9465 ht-12

(9)

在T分布下GARCH(1,1)-T模型的表達式為：

ht= 0.00000134 + 0.0322εt-12+ 0.9607ht-12

(10)

且η服從自由度為6.352 8的T分布.

表3　SV(1)模型在不同分布下的參數估計結果

注：括號上方是參數估計值，括號內是參數檢驗p值.

由表3的參數估計結果可得在正態分布下SV(1)-N模型的表達式為：

ht=-0.031 5+0.996 5ht-1+ηt

(11)

其中，ηt服從N(0,0.054 0)的正態分布.

在T分布下SV(1)-T模型的表達式為：

ht=-0.012 3+0.998 1ht-1+ηt

(12)

其中ηt服從均值為0、方差為0.039 7、自由度為6.352 8的T分布.

2.3時變VaR值估計和返回檢驗結果

對于VaR的計算公式：

VaR=-μ+σZ1-α

(13)

其股指每日收益率的總體期望μ=0，利用在正態分布和T分布下的SV模型與GARCH模型的表達式可計算出各時點的波動σt，再根據其分布計算出相應的分位數Z1-α，代入(13)式，即可求得各模型的時變VaR值.比較樣本的每日實際收益率與VaR估計值，當損失大于VaR時，標記為失敗天數，并計算失敗率與LR檢驗值.

表5　VaR值與LR檢驗結果

由表5可知：各模型在95﹪水平下的VaR均值、標準差及VaR預測失敗天數和LR統計量.可以觀察到基于GARCH模型的VaR均值要小于SV模型的VaR均值，且失敗天數明顯高于SV模型的失敗天數，其失敗率均大于0.05，說明其低估了損失風險.對于LR統計量可以看出，只有基于T分布的GARCH模型的LR統計量大于3.84，即其他3個模型都能夠較好地刻畫數據.由于LR統計量越小，表示模型對樣本數據的擬合越好，正態分布下的SV-N模型計算VaR的LR統計量為0.0176<3.84，且最小，即可以認為SV-N模型擬合樣本數據的效果最好.綜合來看，不管假設市場的擾動因子服從正態分布還是T分布，基于SV模型計算出的VaR值都能更好地反應市場風險水平.

3　結論

本文從上海證券交易所股指收益率序列的統計特征出發，對收益序列分別建立SV(1)模型、GARCH(1,1)模型，并在假設其擾動服從標準正態分布及T分布下運用偽極大似然估計方法和極大似然估計方法對模型進行了參數估計和VaR值的測算.結果表明，不管市場擾動因子服從正態分布還是T分布，基于SV模型下計算出的VaR值都更能反映市場風險水平.這說明將SV-N模型應用于上證股市風險測量是十分有效的，且明顯優于其他分布假設的模型.但還存在幾個問題有待解決：

(1)本文僅對單一的上證指數日收益率計算了VaR測度，而實際生活中通常遇到的是一些組合資產的VaR問題.怎樣利用 SV 模型和GARCH模型來對多個市場組合的因子波動性進行測定并尋求最為恰當的資產權重，計算總體綜合風險是需要進一步討論的問題.

(2)本文選取的SV模型和GARCH模型都是標準模型，雖然在正態分布與T分布下能夠較好地刻畫金融序列的“厚尾”性，但相較于擴展的SV與擴展的GARCH模型，如基于杠桿效應的SV模型、EGARCH模型等，對實際數據的刻畫能力仍較弱.

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[4]HARVEY A, RUIZ E, SHEPHARD N. Multivariate stochastic variance models[J]. The Review of Economic Studies, 1994, 61(2): 247-264.

[5]李漢東. 多變量時間序列波動持續性研究[D].天津：天津大學,2000.

[6]孟利鋒,張世英,何信. 具有杠桿效應SV模型的貝葉斯分析及其應用[J]. 系統工程,2004(3):47-51.

[7]余素紅,張世英,宋軍. 基于GARCH模型和SV模型的VaR比較[J]. 管理科學學報,2004(5):61-66.

[8]李漢東,張世英. 隨機波動模型的持續性和協同持續性研究[J]. 系統工程學報,2002(4):289-295.

[9]王春峰,萬海暉,張維. 金融市場風險測量模型——VaR[J]. 系統工程學報,2000(1):67-75.

(責任編輯穆剛)

Comparison of VaR based on the two kinds of distribution between the GARCH model and SV model

ZHOU Bingjun,WANG Qin,ZHENG Xing

(College of Mathematics, Southwest Jiaotong University, Chengdu Sichuan 610031,China)

The SV model and GARCH model were applied to the calculation of VaR, and the Shanghai composite index’s actual data was used for the empirical research. Based on N distribution and T distributionthe GARCH model and SV model were established, and the Shanghai index yield value at risk (VaR) was measured. The results show that the SV-N, SV-T model can better calibrate the actual market volatility, and can truly reflect the characteristics of Shanghai composite index of market risk.

VaR; GARCH model; SV model; financial risk

2016-04-16

周炳均(1992—),男，四川眉山人，碩士研究生，主要從事金融統計方面的研究.

F224

A

1673-8004(2016)05-0133-05