一類含有隨機參數的混沌系統的Hopf分岔研究

殷　俊，張建剛，南　娟，盧加榮，龐　琴

(蘭州交通大學數理學院， 甘肅　蘭州　730070)

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一類含有隨機參數的混沌系統的Hopf分岔研究

殷俊，張建剛，南娟，盧加榮，龐琴

(蘭州交通大學數理學院， 甘肅蘭州730070)

文章選取隨機變量為系統的隨機變量研究含有隨機參數混沌系統的Hopf分岔，利用Chebyshev正交多項式逼近理論將含有隨機變量的系統轉化為等價的確定性系統，通過Hopf分岔定理和Lyapunov系數討論了隨機參數系統的Hopf分岔及穩定性，發現隨機系統的漸進穩定性參數區間大小不僅和確定性參數有關，還與隨機參數有非常密切的關系.

隨機Hopf分岔；Chebyshev正交多項式逼近；穩定性

混沌廣泛存在于自然科學各領域中，如數學、生物學、量子力學等領域. 從第一個混沌吸引子被發現后，新的混沌系統不斷被人們發現[1-6].為便于控制混沌系統的敏感性和不可預測性，很多同步和控制方法被提出.如脈沖控制法、OGY方法、被動控制法、主動控制法、非線性反饋法、線性狀態反饋控制法等．混沌控制在很多領域有廣闊的應用前景.由于此方面的研究還停留在定性階段，對選取模型的準確性和精度要求較高，所以分析含有隨機參數的混沌系統尤為關鍵.目前，處理含有隨機參數的隨機系統的方法大致包括3類：Monte Carlo 方法[7]、隨機有限元方法[8-9]和正交多項式逼近法[10].其中，正交多項式逼近相對于其他兩類方法具有較小的局限性，因此被廣泛應用[11-16].本文選取參考文獻[17]中改進后的模型，在考慮系統不確定性和外界干擾的情況下，提出一個新的含有隨機參數的混沌系統，分析新系統的基本穩定性和分岔.

1　隨機函數的正交分解基本理論

選取(服從拱形分布)隨機變量為系統隨機參數進行分析.服從拱形分布的隨機變量概率密度函數可表示為[18]：

(1)

相應的第二類Chebyshev多項式的一般表達式為：

(2)

其循環遞推公式為：

(3)

其加權正交性可以表示為：

(4)

2　含有隨機參數的混沌系統的正交多項式逼近

(5)

(6)

運用正交多項式逼近，響應如下：

(7)

(8)

將任意兩個Chebyshev多項式的乘積都轉化為它們的線性組合，則(8)式中的非線性項可以簡化，并運用Chebyshev多項式的循環遞推公式，方程式可以簡化后得到：

通過正交多項式逼近得到與之等價的確定性混沌系統，在系統轉化過程中對方程關于ζ求期望，所以得到的新的系統是含有隨機參數的混沌系統的加權均值系統.

3　隨機Hopf分岔分析

3.1Hopf分岔的存在性

通過MAPLE,我們能夠得到特征方程：

f(λ)=a0λ6+a1λ5+a2λ4+a3λ3+a4λ2+

a5λ1+a6

其中：

a0=1

a1=2c+2a-2

λ5=-c，λ6=-c.

6c2δ+8b2c2-b2c2δ-6b-bδ2+

bδ3+5bδ-4cδ-4b3-8b2-10b+

根據Hopf分岔理論，a0是Hopf分岔臨值，若滿足a>1且δ>1，當參數a穿過它的臨界值a0時，系統在其平衡點O(0,0,0,0,0,0)發生Hopf分岔.

3.2穩定性

在本節中，通過掌握Lyapunov系數對Hopf分岔進行進一步的調查和研究.

x,y

x,x=0.

考慮非線性動力系統

x=f(x,v)(x∈Rn),

v∈Rn為分岔參數，當v=vc時，等式有平衡點x=x0，則等式的右邊可表示為:

F(x)=Jx+N(x)

令Cn為在復數域C上定義的一個線性空間，令q∈Cn為一個復合特征向量，滿足λ1和p∈Cn為一個伴隨特征向量滿足以下內容：

p,q.

當x=(x0,y0,x1,y1,x2,y2)時，B(x,y)和C(x,y，z)分別是雙線和三線函數，可以表示為：

i=1,2,…,n

i=1,2,…,n

第一Lyapunov系數被定義為：

我們可以定義系數：

G20=p,B(q,q)，

G11=，

G02=，

G21=-2+

+

通過計算知第一Lyapunov系數為：

其中：A=-c+bc+cδ2-2cδ+b2cδ2+2bcδ2+b2c-4bcδ-

C=-4b+4δ2+8bδ2-16c-8bc-4b2+8cδ2+

8bcδ2+4b2δ2+4δ+16cδ+4bδ，

D=-8c+2δ2+2δ+16cδ+2bδ-2b

4　結論

本文運用Chebyshev正交多項式逼近法分析新的混沌系統的穩定性及Hopf分岔行為. 這個方法將隨機系統轉化為一個與之等價的確定性系統，然后對其確定性系統通過一個Lyapunov系數法進行分岔分析.結果表明，隨機Hopf分岔在新的混沌系統中不僅和傳統的Hopf分岔相似，而且還具有一些特性.例如，隨機Hopf分岔行為是由于隨機參數的強度導致的.本文提出的新的混沌系統的隨機分岔的穩定性是不發生改變的.隨機因素對系統及其穩定性和Hopf分岔的影響較為顯著.隨著隨機參數強度不斷減小，含有隨機參數混沌系統的零解漸進穩定的區域逐漸增大.因此，在隨機參數系統中我們應當更好地控制參數強度.

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(責任編輯穆剛)

Hopf bifurcation study of a class of chaotic systems containing random parameter

YIN Jun, ZHANG Jiangang, NAN Juan,LU Jiarong，PANG Qin

(Department of Mathematics, Lanzhou Jiaotong University, Lanzhou Gansu 730070, China)

In the paper the random parameter was used to study the Hopf bifurcation of chaotic system containing random parameter, and the Chebyshev polynomial approximation theory was used to change the system containing random parameter into the deterministic equivalent system. Through the Hopf bifurcation theory and Lyapunov coefficient to discuss the Hopf bifurcation and stability of random stochastic parameter system, it shows that the critical value of stochastic Hopf bifurcation is determined not only by deterministic parameters in stochastic system, but also by the intensity of random parameter.

random Hopf bifurcation; Chebyshev polynomial approximation; stability

2016-03-02

殷俊(1991—)，女，甘肅酒泉人，碩士，主要從事概率論與數理統計方面的研究.

O21

A

1673-8004(2016)05-0029-05