一個新混沌糾纏系統的Hopf分岔分析

Kutorzi Edwin Yao, 張建剛, 秦　爽

(蘭州交通大學數理學院, 甘肅　蘭州　730070)

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一個新混沌糾纏系統的Hopf分岔分析

Kutorzi Edwin Yao, 張建剛, 秦爽

(蘭州交通大學數理學院, 甘肅蘭州730070)

文章基于混沌糾纏方法構造了一個新的混沌系統，通過理論和數值分析驗證了該系統存在混沌吸引子．此外，利用非線性動力學理論分析了該系統平衡點的穩定性以及Hopf分岔的存在性和穩定性．經過計算系統在平衡點的第一Lyapunov系數判斷Hopf分岔的方向及其穩定性，最后進行數值仿真驗證理論分析的正確性．

混沌糾纏；穩定性；Lyapunov系數；Hopf分岔

近年來，人為構造混沌系統已經成為研究熱點.混沌的研究開始于1963年，當時洛倫茲對一個天氣預報數學模型進行研究[1].該模型表示即便是詳細的大氣模型也不能做相對長期的天氣預測，而當時人們只能預測一個星期的天氣[2]．混沌通常被定義為一個相對來說比較龐大的非線性現象，它與缺席微觀量子領域以及經典物理學的關系非常密切．最近幾年，許多學者熱衷于對人工混沌系統的設計和構造，并且已經成為一個重要的研究領域[3-7]．文獻[8]給出了一種被稱為混沌糾纏的新的構造混沌的研究方法.這個方法的基本理論是運用糾纏函數的方式糾纏兩個或多個穩定的線性子系統并且使其產生出一個人為構成的新混沌系統．混沌糾纏這種方法利用一種更為方便的手段構造并產生新的混沌吸引子．我們完全可以運用混沌糾纏的方法更加簡單地構建出一類新的混沌系統. 學者們近幾年在認識和研究混沌現象時，發現并構建了許多種混沌系統，許多人專注于這些混沌系統動力學特征的研究[9-10]．本文運用混沌糾纏的方法重新構建一個新的超混沌系統，并運用理論推導和數值仿真的方式對該系統存在混沌吸引子的結論做了進一步驗證，同時對此系統的動力學行為進行了分析．

1　新混沌系統的構造

考慮兩個線性的子系統

(1)

(2)

其中(x,y,z)為狀態變量．當a<0,c<0并且d<0時，顯然兩個子系統是穩定的．經過正弦函數糾纏 (1) 與 (2) 兩個線性子系統將會得出以下混沌系統

(3)

其中a<0,c<0,d<0,(b,b1,d1,e)∈R4,糾纏函數為(sinx,siny,sinz)．當a=-2,b=6,c=3,d=-4,e=20,d1=40,b1=38時，系統(3)存在一個如圖1所示的混沌吸引子．

圖1　當a=-2,b=6,c=3,d=-4,e=20,d1=40,b1=38時系統(3)的相圖

2　新系統的混沌驗證

2.1耗散性與吸引子的存在性

根據系統(3)的向量場散度

(4)

我們可以得到系統(3)是耗散的，也就是體積元v0在t時刻收縮到體積元V0e(2a+d)(t-t0)，并且當t→∞時，系統(4)軌線的每個小體積元都以指數率2a+d收縮到0.系統(4)的軌線最終將被限制到體積為0的極限子集上，且被固定到1個吸引子上．

2.2對稱性和不變性

2.3有界性

若一個系統是有界的，并且它有一個正的Lyapunov指數，則我們稱這個系統是混沌的．

定理1當a<0,c<0,d<0時，系統(3)有界．

證明把系統(3)寫成下面的形式

其中

我們定義

V=XTX,

那么有

則

當‖x‖≥M時,我們得到

這說明系統(3)是有界的．

2.4平衡點的穩定性

平衡點是分析新系統的動力學特性的重要元素，首先我們要找到系統的平衡點. 因為系統(3)存在很多個平衡點，并且找到它的精確解非常困難.為便于研究，只考慮當平衡點為E0=(0,0,0)時的情況．

引理1多項式p(λ)=λ3+p1λ2+p2λ+p3的所有根都有負實部的充分且必要條件為p1,p2,p3都為正數，且滿足不等式p1p2>p3．

定理2當滿足條件

-(2a+d)>0,a2+2ad+bc+be>0,

a2d-bcd-bde-b1d1(c+e)>0,

-(2a+d)(a2+2ad+bc+be)

>a2d-bcd-bde-b1d1(c+e),

時，平衡點E0就是漸進穩定的．

證明因為系統 (3) 在E0=(0,0,0)處的Jacobian矩陣為

(5)

并且相應的特征多項式為

(6)

由引理1可以得到，平衡點E0是局部漸進穩定的充分必要條件是使公式(6)有負實部的特征根不等式，即a2+2ad+bc+be>0,2a+d>0,a2d-bcd-bde-b1d1(c+e)<0，且

(7)

成立．因此當條件(7)滿足時，我們可以得到E0=(0,0,0)是漸進穩定的．

3　系統(3)的Hopf分岔分析

系統(3)在平衡點E0處的Jacobian矩陣為

可以得到以下的線性函數：

B(x,y)=(0,0,0),C(x,y,z)=

(-d1x3y3z3,-ex1y1z1,-b1x2y2z2)

(8)

A0的特征值為

(9)

可得

(10)

P=(p1,p2,p3)T,

(11)

其中

另外得

h11=(0,0,0)T,B(q,h11)=(0,0,0)T,

(12)

(13)

其中

以及

=(-d1,-ek1-ek2i,-b1k3-b1k4i)

(14)

(15)

假設系統是隨著參數b的變化而變化的，在臨界值b=b0處我們有ξ′(b0)=Re

(16)

若ξ′(b0)≠0，那么Hopf分岔橫截性條件成立．

定理3系統(3)在平衡點E0處的第一Lyapunov系數為

(17)

當l1≠0時，系統(3)在平衡點E0處發生Hopf分岔．特別地，若l1<0，系統發生超臨界Hopf分岔；若l1>0，系統發生亞臨界Hopf分岔．

4　數值仿真

為了更好地驗證上面的分析結果，選a=-2,c=2,d=-2,e=1,b1=15,d1=-3，則Hopf分岔臨界值b0=3.437 5. 當b=6.55>b0時，系統的平衡點是穩定的；當b=1.705>b0時，平衡點是不穩定的，分別如圖2、4所示．通過計算得l1=128.311 62>0,ζ′(b0)=-0.224 6，也就是說橫截條件成立．所以，系統(3)此時在平衡點E0處發生亞臨界Hopf分岔，且產生一個不穩定的極限環，如圖3所示．

圖2　當a=-2,c=2,d=-2,e=1,b1=15,

圖3　當a=-2,c=2,d=-2,e=1,b1=15,

圖4　當a=-2,c=2,d=-2,e=1,b1=15,

5　結語

本文通過混沌糾纏的方法人為構建了一個新的混沌系統，通過詳細的理論推導和數值分析得出該系統存在混沌吸引子．此外，利用非線性動力學理論知識討論了該系統平衡點的穩定性．通過Hopf分岔理論，對系統的Hopf分岔行為進行了詳細分析，并且推導出系統產生Hopf分岔的參數條件．通過計算系統在平衡點的第一Lyapunov系數，判斷了Hopf分岔的方向及其穩定性．

[1]LORENZEN.Deterministicnonperiodicflow[J].JournaloftheAtmosphericSciences, 1963(20)：130-141.

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[4]李險峰,張建剛,褚衍東．一個新自治系統的動力學分析[J]．復雜系統與復雜性科學, 2008,5(1):1672-3813．

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(責任編輯穆剛)

Hopf bifurcation investigation for a new chaos entanglement system

Kutorzi Edwin Yao, ZHANG Jiangang, QIN Shuang

(School of Mathematics and Physics, Lanzhou Jiaotong University, Lanzhou Gansu 730070, China)

In this paper a new chaos entanglement system was proposed, and the theoretical analysis and numerical results show that chaos attractor exists in the system. In addition, the stability of equilibria and the existence and stability of the Hopf bifurcation were studied by using the theory of nonlinear dynamics. The direction and stability of the Hopf bifurcation were given by computing the first Lyapunov coefficient. Then, the numerical simulation is given to illustrate the theoretical analysis.

chaos entanglement; stability; Lyapunov coefficients; Hopf bifurcation

2016-04-12

國家自然科學基金項目(61364001).

Kutorzi Edwin Yao(1984—),男, 碩士研究生,主要從事非線性動力學方面的研究.

O415.5

A

1673-8004(2016)05-0024-05

[通訊簡介]秦爽(1992—)，黑龍江大慶人，碩士研究生，主要從事非線性動力學及其控制方面的研究.