一類廣義Emden-Fowler阻尼方程的振動準則

惠遠先，王俊杰

(普洱學院數學系， 云南　普洱　665000)

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一類廣義Emden-Fowler阻尼方程的振動準則

惠遠先，王俊杰

(普洱學院數學系， 云南普洱665000)

文章研究一類廣義Emden-Fowler阻尼方程的振動性質，利用廣義Riccati變換和積分平均技巧，建立了保證方程一切解振動或者收斂到零的若干新的充分條件.所得結論推廣和改進了最近文獻中的若干結果.

廣義Emden-Fowler阻尼方程；廣義Riccati變換；振動準則

微分方程解的振動性是微分方程解的重要性態之一，它在很多領域具有廣泛的應用.本文考慮一類廣義Emden-Fowler方程：

(E)

其中 ：

Z(t)=x(t)+p(t)x(τ(t)),r(t)∈C1([t0,∞),R),p(t),τ(t),g(t)∈C[t0,∞)，α,β

是兩個常數.本文假設下面條件成立.

(H1)α>0,β>0；

(H2)0≤p(t)≤1,q(t)≥0,g(t)≥0；

方程(E)的一個非平凡解是振動的，如果它有任意大的零點.否則為非振動的.如果方程(E)的一切解都是振動的則稱該方程是振動的.近年來，關于動力學方程的振動性與非振動性的研究引起了學者們的廣泛興趣，出現了大量優秀研究成果[1-9].2006年，MENG[3]給出了方程

的振動結果.2012年,LIU[9]給出了方程

(E1)

在α≥β>0情形下的振動準則.

由于方程(E1)沒有阻尼項，且受條件α≥β>0限制，該文所得的振動結果具有很大局限性.本文利用廣義Riccati變換和積分平均技巧，將文獻[9]的相關結論由非阻尼方程(E1)推廣到阻尼方程(E)的情形，而且將條件α≥β>0推廣到α>0，β>0的一般情形.

1　引理

引理1設x(t) 是廣義的Emden-Fowler阻尼方程(E)的最終正解，則相應Z(t)只有下面兩種情況：

Z′(t)]′≤0；

證明設x(t) 是廣義的Emden-Fowler阻尼方程(E)的最終正解，由Z(t)的表達式得到Z(t)≥x(t)>0.由方程的(E)得到兩種可能：Z′(t)>0 或Z′(t)<0.

(Ⅰ)設Z′(t)>0，由方程(E)可以得到：

(Ⅱ)設Z′(t)<0，由方程(E)可以得到：

由條件(H2)和Z′(t)<0可以得到兩種可能：

對上式從t1到t積分，可以得到：

讓t→∞，利用(H3)得到Z(t)→-∞.這與Z(t)>0矛盾.

引理2[4]設存在兩個函數A(θ)>0,B(θ)>0 且θ>0，則

(1)

引理3設x(t)是廣義的Emden-Fowler阻尼方程(E)的最終正解，相應的Z(t)滿足(Ⅰ),則

[r(t)Z′(t)α]′+g(t)Z′(t)α+Q1(t)Zβ(δ(t))≤0

(2)

其中，Q1(t)=[q(t)(1-p(δ(t)))]β.

證明由Z(t)=x(t)+p(t)x(l(t))可得x(t)=Z(t)-p(t)x(l(t))，利用(H4)和Z′(t)>0，可得：

x(t)=Z(t)-p(t)x(l(t))≥Z(t)(1-p(t))，

x(δ(t))β≥Z(δ(t))β(1-p(δ(t)))β，

再由方程(E)，可得：

Q1(t)Zβ(δ(t))≤0.

?′(t)≤-ρ(t)Q1(t)+Q2(t)?(t)-

其中：

證明由?(t)的定義及引理3得：

≤-ρ(t)Q1(t)+Q2(t)?(t)-

(i)β>α>0時，

由引理3知，[r(t)Z′(t)α]′≤-g(t)(Z′(t))α-Q1(t)Zβ(δ(t))≤-Q1(t)Zβ(δ(t))≤0.所以r(t)Z′(t)α單調遞減，r(t)(Z′(t))α≤r(δ(t))(Z′(δ(t)))α.由(H3)知，

從而

當β>α>0時，

?′(t)≤-ρ(t)Q1(t)+Q2(t)?(t)-

(3)

(ii)α≥β>0時，

?′(t)≤-ρ(t)Q1(t)+Q2(t)?(t)-

(4)

現記T=max{T1,T2}，λ=min{α,β}，

綜合(3)式和(4)式可得α>0,β>0時的廣義黎卡提不等式為：

?′(t)≤-ρ(t)Q1(t)+Q2(t)?(t)-

(5)

2　主要結果

定理1假定引理1—引理4 成立，x(t)是廣義的Emden-Fowler阻尼方程(E)的最終正解，且相應的Z(t)滿足(Ⅰ).若

(6)

則x(t)振動.

證明假設x(t)不振動，不失一般性，令x(t)是廣義的Emden-Fowler阻尼方程(E)的最終正解.由引理4可得：

?′(t)≤-ρ(t)Q1(t)+Q2(t)?(t)-

由引理2可得：

對上面方程從T到t積分可得：

當t→+∞時，由(6)式可得?(t)→-∞.矛盾，所求得證.假定ρ(t)=δn(t)，可得以下推論：

推論1假定引理1—引理4 成立，x(t)是廣義的Emden-Fowler阻尼方程(E)的最終正解，且相應的Z(t)滿足(Ⅰ).若

則x(t)振動.

定理2假定引理1—引理4 成立，x(t)是廣義的Emden-Fowler阻尼方程(E)的最終正解，且相應的Z(t)滿足(Ⅰ).若

(7)

則x(t)振動.

證明假設x(t)不振動，不失一般性，令x(t)是廣義的Emden-Fowler阻尼方程(E)的最終正解，由引理4可得：

?′(t)≤-ρ(t)Q1(t)+Q2(t)?(t)-

利用引理2可得：

兩邊同時乘以(t-s)n，再從T到兩邊積分(t>T)可得：

≤(t-T)n?(T).

兩邊同除以tn可得：

(8)

(9)

這與(7)式矛盾，假設不成立，所求得證.假定ρ(t)=δn(t)，由定理2可得以下推論：

推論2假定引理1至引理4 成立，x(t)是廣義的Emden-Fowler阻尼方程(E)的最終正解，且相應的Z(t)滿足(Ⅰ).若

以下利用Philos型積分平均條件，給出廣義的Emden-Fowler方程(E)的振動準則.為此令

D0={(t,s)：t>s≥t0}

D={(t,s)：t≥s≥t0}

我們稱函數H(t,s)∈C1(D,R)為屬于F類，記作H(t,s)∈F，如果滿足

(Ⅰ)H(t,t)=0，t≥t0，H(t,t)>0；

(Ⅱ)存在ρ(t)∈C1([t0,∞),R+)，h∈C(D0,R)，使得

(10)

定理3假定引理1—引理4 成立，x(t)是廣義的Emden-Fowler阻尼方程(E)的最終正解，且相應的Z(t)滿足(Ⅰ).若

(11)

則x(t)振動.

證明假設x(t)不振動，不失一般性，設x(t) 是廣義的Emden-Fowler方程(E)的最終正解，利用引理4可得：

?′(t)≤-ρ(t)Q1(t)+Q2(t)?(t)-

兩邊同乘以H(t,s)，并從T到t(t>T)兩邊積分，再由引理2及方程(10)得：

(12)

由方程(12)可得：

(13)

這與(11)式矛盾，原假設不成立，所求得證.若取H(t,s)=(t-s)n，則定理3可簡化為Kamenev型結果如下：

推論3假定引理1至引理4 成立，x(t)是廣義的Emden-Fowler阻尼方程(E)的最終正解，且相應的Z(t)滿足(Ⅰ).若

則x(t)振動.

推論4假定引理1—引理4 成立，x(t)是廣義的Emden-Fowler阻尼方程(E)的最終正解，且相應的Z(t)滿足(Ⅰ).若

則x(t)振動.

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(責任編輯穆剛)

Some oscillation results of a generalized Emden-Fowler equation

HUI Yuanxian, WANG Junjie

(Mathematics Department,Puer University, Puer Yunnan 665000, China)

The purpose of this paper is to study the oscillation properties of a generalized Emden-Fowler equation with damping. Using a generalized Riccati transformation and integral averaging technique, some new sufficient criteria were established to insure that any solution of this equation oscillates or converges to zero. The results extend and improve the ones in recent literature.

a generalized Emden-Fowler equation with damping; generalized Riccati transformation; oscillation criteria

2016-03-29

云南省教育廳基金項目(2015Y490)；普洱學院校級科研創新團隊項目(2015CXTD003)；普洱學院課題(2015xjkt20).

惠遠先(1983—)，男，河南南陽人，講師，碩士，主要從事微分方程方面的研究.

O175.25

A

1673-8004(2016)05-0019-05