一類帶參數的Hilbert型積分算子及其應用

陳廣生，唐慧羽，韋銀幕，覃茂華

(廣西現代職業技術學院建筑與信息工程系， 廣西　河池　547000)

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一類帶參數的Hilbert型積分算子及其應用

陳廣生，唐慧羽，韋銀幕，覃茂華

(廣西現代職業技術學院建筑與信息工程系， 廣西河池547000)

在廣義區間(a,b)上給出了一個含有參數的Hilbert型奇異積分算子T，研究了它的界及其涉及內積的等價形式;作為應用，研究它對一類偏微分方程解的估計．

Hilbert型奇異積分算子；Hilbert型不等式；算子范數；內積；H?lder不等式

則下面的Hilbert型積分不等式[1]成立：

(1)

(2)

本文擬在廣義區間(a,b)上，建立一個新的Hilbert型奇異積分算子，并討論其有界性問題及一些相關結果．作為應用，給出了一類偏微分方程解的估計．

1　主要結果

首先給出Hilbert型奇異積分算子：

(3)

(4)

(5)

則有

ωλ(x,A2,p)

(6)

ωλ(y,A1,q)

(7)

證明作變換u=yλ/xλ，則有

根據文獻[10]中廣義的算術幾何不等式得到

因此有

ωλ(x,A2,p)

同理可證明

ωλ(y,A1,q)

(8)

證明設

g(y)=y(p-1)(λ-1)+p(A1-A2)×

這里y∈(a,b).由文獻[10]中的H?lder不等式，得

根據引理1中的結果

從而得到

因此(8)式成立.

2　等價形式及特例

假定函數f(x)、g(x)在(a,b)上是非負可測的，將內積(f,g)定義為

‖f‖p,ω′‖g‖q,ω″

(9)

證明假設ω=x(p-1)(λ-1)+p(a-b)，利用H?lder不等式及(8)式，有

‖f‖p,ω′‖g‖q,ω″

所以(9)式成立.由(9)式可導出(8)式，故(9)式與(8)式等價.

(10)

(11)

這里

證明在定理1和推論1中，令A1=A2=A，便可得到(10)式和(11)式.

3　偏微分方程解的估計

考慮下面的偏微分方程：

(12)

滿足條件:

ux(x,b)=0a≤x≤b

(13)

u(a,y)=0,a≤y≤b

(14)

由(12)式和(13)式得

因此

(15)

由(14)、(15)式得

(16)

根據(16)式，得到

(17)

由于a≤x≤b，a≤y≤b， 根據(17)式，得

(18)

應用(10)式，根據(18)式，得到

即有

[1]楊必成. 關于一個推廣的Hardy-Hilbert不等式[J].數學年刊，2002，23A(2)：247-254.

[2]HARDYGH,LITTLEWOODJE,POLYAG．Inequalities[M]．Cambridge：CambridgeUrav．Press，1952．

[3]MITRINOVICDS，PECARICJE，FINKAM.Inequalitiesinvolvingfunctionsandtheirintegralsandderivatives[M]．Boston：KluwerAcademicPublishers，1991．

[4]XIEZT，ZENGZ．AHilbert-typeintegralinequalitywhosekernelisahomogeneousformofdegree-3[J]．JournalofMathematicalAnalysisandApplications，2008，339(1)：324-331．

[5]楊必成．關于一個推廣的具有最佳常數因子的Hilbert類不等式及其應用[J]．數學研究評論，2005，25(2)：341-346.

[6]洪勇．一個新的Hilbert重積分不等式[J]．西南師范大學學報(自然科學版)，2005，30(4)：594-599．

[7]YANGBC．Onthenormofanintegraloperatorandapplication[J]．JournalofMathematicalAnalysisandApplications，2006，32(1)：182-192．

[8]洪勇．關于Hardy-Hilbert積分不等式的全方位推廣[J]．數學學報，2001，44(4)：619-626．

[9]洪勇.一類Hilbert型奇異積分算子的范數及其應用[J].西南師范大學學報(自然科學版)，2010，35(5)：40-44.

[10]匡繼昌．常用不等式[M]．濟南：山東科學技術出版社，2004.

(責任編輯穆剛)

A Hilbert’s type singular integral operator with some parameter and its application

CHEN Guangsheng, TANG Huiyu, WEI Yinmu, QIN Maohua

(Department of Construction and Information Engineering, Guangxi Modern Vocational Technology College, Hechi Guangxi 547000, China)

In this paper，we define a Hilbert type singular multiple integral operator with parameters，and from the generalized interval betweenaandb, the boundary and norm of T and the equivalent forms are studied．As their applications, we consider estimates for the solutions of a class of partial differential equations．

Hilbert’s type singular integral operator；Hilbert’s type inequality；norm of operator; inner product ；H?lder’s inequality

2016-02-13

廣西教育廳科學研究項目(KY2015YB468).

陳廣生(1979—)，男，廣西北流人，副教授，碩士，主要從事解析不等式、小波分析方面的研究.

O178

A

1673-8004(2016)05-0015-04