“植樹問題”教學實踐研究

周文婉

【摘要】“植樹問題”具有很強的數學思維和探究空間。本節課，筆者利用學生已有知識，從除法意義入手引申植樹問題，并讓學生經歷探究過程，借助圖示解讀點段的對應關系，體會“一一對應”的思想，建立植樹模型，取得了良好的教學效果。

【關鍵詞】植樹問題化繁為簡一一對應數量關系建構模型

“植樹問題”是人教版《義務教育教科書·數學》五年級上冊“數學廣角”的教學內容，雖有很多優秀教學設計，但在這些經典設計中，不同的課堂上卻出現了類似的問題：① 嘗試畫圖時學生出現圖與信息不對應或無從下手等問題；② 綜合運用時不能靈活運用植樹模型解決問題，只是套用公式。為了對“植樹問題”的教學有一個準確的定位，筆者在課前查閱了大量的資料，并把這些心得應用于教學實踐中，取得了令人滿意的教學效果。

【片段一】 利用除法意義突出數量關系

1. 20米路，每5米分一段，一共分了幾段？

2. 30米長的繩子，剪成6米一段，一共可以剪幾段？

師：怎樣求出段數？為什么要用除法來做？

總結并板書：總長度÷每段長度=段數。

【設計意圖：學生的已有知識，是教學的起點。本環節筆者設計了幾個求段數的除法問題，直接從除法的意義入手，結合學生已有的知識基礎和生活經驗，從除法問題引申出植樹問題。】

【片段二】 基于“段數”，探究新知

1. 出示問題，理解題意。

（1） 課件出示題目：植樹隊要在全長1000米的馬路一邊植樹，每隔5米種一棵樹。一共需要多少棵？

（2） 理解題意。

師：每隔5米種一棵是什么意思？

生：兩棵樹之間的距離是5米。

師：你能畫一畫，讓大家看明白嗎？

學生示范，接著教師演示課件：一棵樹，一個5米的間隔，再出示一棵樹。

2. 嘗試解答，提出設想。

（1） 請你猜一猜，一共需要種幾棵樹？

生1：20棵。

生2：19棵。

生3：21棵。

師：看來，同學們有不同的想法，到底哪種是正確的呢？我們怎樣去驗證？

生：我們可以畫圖。

課件根據學生描述演示情境圖動態生成線段圖。

師：怎么畫？你來說我來畫。現在種了幾米？

生：25米。

師：種完了嗎？

生：沒有。

師：要把1000米種完，你覺得怎么樣？

生：太麻煩了。

師：是的，1000米太長了，研究起來不方便，怎樣才能使我們的研究更方便呢？

生：可以將路縮短一些。

師：真是個好辦法，從小數據入手，探討出規律，然后用規律來解決數據大的問題。這種思想也就是我們數學上常用的“以大見小”的思想不謀而合。那你想將路縮短到多少米長來研究？

學生自由回答。

師：接下來，就用你們的方法，將路縮短到20米來研究，看看植樹問題有沒有規律？

【設計意圖：數學思想方法是數學的生命和靈魂，是數學知識的精髓，是把知識轉化為能力的橋梁。本環節通過開放的問題情境，讓學生猜一猜一共需要幾棵樹，接著學生自然產生用畫線段等方法驗證猜想的想法，教師順應學生的思維，采用課件演示，使學生直觀地感受到“1000米”這個數據太大，畫起來麻煩，引起學生化繁為簡、探究規律的欲望，從而體現化繁為簡的數學思想與研究策略。】

3. 探究規律構建模型。

讓學生利用畫圖的方法研究“在全長20米的馬路一邊植樹，每隔5米種一棵樹，一共需要多少棵？”的植樹情況。

（1） 展示學生三種不同的圖示。

（2） 共同研究“兩端都栽”。

師：我們先來看看這種情況。你是怎樣畫圖的？

生1：先種一棵樹隔5米再種一棵，再隔5米再種一棵，一直到種了20米，一共種了5棵。

生2：20米，每隔5米種一棵，20里面有4個5米，20÷5=4兩端都種所以要種5棵。

師：這里的20和5分別表示什么？4呢？

生：20表示路的總長是20米，5就是每隔5米種一棵，也就是每段長度，4表示有這樣的4段。

師：4段栽了幾棵樹？

生：5棵樹。

（3） 引導比較，進行梳理。

師：比較“在全長20米的馬路一邊植樹，每隔5米種一棵樹。一共需要多少棵？”和“20米路，每5米分一段，一共分了幾段？”這兩題，有什么相同的地方？

生：都是20米。

生：都有算式：20÷5=4。

師：為什么都要用除法計算？

生：因為都是把總長20米，5米一段進行平均分。

師：不一樣的是什么？

生：第二個問題還要加1。

師：既然兩題都是平均分成4段，為什么這里要再加1呢？

生：因為兩端都要種。

師：兩端都要種，那為什么不加2而加1呢？

（4） 把現實世界中的“樹”和“間隔”抽象看成“點”和“段”。

同學們，平均分是一段一段分的，但是我們種樹的時候是種在哪里的？（種在點上）。

（5） 以“一一對應”為基礎，再次借助線段圖建構“點段關系”。

這里點和段之間有什么關系？根據學生回答，完成下列線段圖。

師：是的，一個點對應一個段，一個點對應一個段，4個點對應了4個段，最后還多出一個點，所以要加1。

（6） 學生借助線段圖分析只種一端和兩端都不種的情況。

……

【設計意圖：授人以魚不如授人以漁。本環節主要想利用圖示，重點解讀點段的對應關系，體會“一一對應”的思想，把抽象的思維過程形象直觀化，為構建植樹問題的數學模型夯實基礎。】

4. 對比異同整體構建。

師：同一道題目，有三種不同的栽法，這三種情況，有什么相同之處？

生：都是先算20÷5。

師：20÷5表示什么？（段數）

師：那這三種情況有什么不同之處呢？

學生分析三種情況樹與段數之間的關系。

師：看來要解決植樹問題，準確地找到段數是關鍵所在。

……

【設計意圖：通過植樹問題三種情況的比較，準確地認識到樹的棵數變化的原因，讓學生從中發現規律，抽取其中的數學模型，使“植樹問題”的數學模型真正根植于學生的內心，而非簡單的被動記憶，促使學生形成比較完善的認知結構。】

【且聽我們論道】

一、 整體構建知識體系

教材是學習材料的文本體現，是一個載體，需要我們教師認真研讀、感悟、領會。教師解讀教材有多深，就決定他的學生在課堂上走多遠。本節課筆者對教材進行了整合，將“兩端都種”這個條件舍去，促使學生主動聯系生活實際，發現植樹中遇到的具體情況，再以學生熟知的“段數”入手，重點分析“兩端都種”的植樹情況，再利用遷移規律以點帶面，整體構建植樹問題的知識體系。這樣的教學有利于讓學生從整體上加以比較，通過對比認識，溝通這三種情況的聯系，促進相互理解，使學生從潛移默化中感受到點段之間的聯系，獲得比較完整的認知結構，遵循了知識的生成原理，有利于學生從整體上理解、宏觀上把握解決植樹問題的思想方法。

二、 準確把握教學起點

《數學課程標準》指出：“數學的教學過程，是一個以學生已有知識和經驗為基礎的主動建構過程。”本節課筆者利用學生已有的知識經驗，直接從除法的意義入手，從除法問題引申出植樹問題，并通過比較分析，讓學生認識到“植樹問題”只是除法意義在生活中的延伸，明白“植樹問題”其實只是點和段之間的問題，這樣既減輕了學生理解“間隔數”的困難，又避免了“間隔”這個詞與生活中的“間隔”相混淆，符合學生的知識與生活經驗，體現“以學定教”的精髓。

三、 滲透思想授人以漁

數學思想方法是數學的靈魂和精髓，不管是數學概念的建立、規律的發現，還是數學問題的解決，乃至整個數學大廈的構建，其核心問題在于數學思想方法的培養和建立。因此，教學中，我們不僅要重視知識形成過程，還要重視挖掘在數學知識的發生、形成和發展過程中所蘊藏的重要思想方法。傳統教法，教師往往把本節課的著眼點放在對規律發現后的棵數與間隔數之間的數量關系的掌握上，學生死記硬背數量關系式，這樣的目標定位造成學生嚴重的認知負荷。本節課，筆者設計一系列合理有效的教學活動引導學生經歷數學建模的整個過程，把教材體系中“知識”與“思想”這一明一暗兩條線完美糅合。首先，筆者讓學生以猜一猜的形式，對例題做初步的猜測，引發認知沖突，在此基礎上引導學生認識到為了便于研究可以把復雜問題簡單化，滲透化繁為簡的數學思想。在建構植樹模型時，筆者先指導學生整體理解題意，再把現實世界中的“樹”和“間隔”抽象看成“點”和“段”，利用畫圖的方式建構“點段”關系。再通過對比構建植樹問題的基本模型：總長度÷間距=段數，至于棵樹是否等于段數，或是否加減1，需具體情況具體分析。

筆者期望，當學生離開教室時，留在學生腦中印象最深的是“一一對應”“化繁為簡”“植樹模型”等數學思想方法，這才是“植樹問題”真正的教學價值所在。