追溯本質讓數學思想方法真實可感

方芳

《平行四邊形面積》是在長（正）方形面積的基礎上進行學習的，也是學習三角形、梯形等平面圖形的基點。學生不僅要知道怎么計算，還要知道為什么要這樣算，內容體現了“兩轉折”：一是方法的轉折，從數方格向剪拼法的轉折；二從直觀得出向抽象推理發展轉折，合情推理與演繹推理共存。它就像是一把鑰匙，其剪拼轉化的思想方法打開了平面圖形面積與立體圖形體積計算的大門。

在實踐教學中，一般有這樣的兩種流程，第一種：通過長方形、平行四邊形數方格比大小，利用表格中的數據猜想平行四邊形的面積=底×高，通過小組合作、動手操作，運用剪拼法驗證得出計算方法；第二種：出示一個長方形測量計算面積，通過拉動框架，明確鄰邊乘鄰邊是錯誤的，再利用剪拼法驗證得出計算方法。反思這兩種教學，部分學生都會“被剪拼”：第一種方式教學，從結果看，學生還是受易變形的影響，認為周長不變，其面積也是不變的，所以實際的練習中很容易做成鄰邊乘鄰邊，而從過程看，學生會有疑惑，鄰邊乘鄰邊為什么就不可以呢？第二種方式，只能證明底乘鄰邊的計算方法是錯誤的，但不可以否認平行四邊形兩底的變化、角度的變化的確是會帶來面積的變化，從知識銜接的角度看，與長方形面積計算方法的遷移之間斷開……針對這些問題，我做了以下一些改進。

一、 巧設疑，數方格中魚和熊掌兼得

（一） 從學生的認知沖突展開

課堂回放：

今天我們要來學習平行四邊形的面積，你認為平行四邊形的面積和什么有關？

生1：和底，和那條底也有關。

師：這條底我們稱為鄰邊。（課件動態演示底增長或縮短引起面積的變化。圖1）

觀察發現：的確，當底增長或縮短時，面積會隨著變大或縮小。

師：還可能和什么有關？

生3：和高有關。（動態演示圖2）

……

師：平行四邊形的面積可能怎么計算？[板書：底×鄰邊，底×高，（底+鄰邊）×2]你認為哪一個計算方法肯定錯的？學生一下子就排除求周長的）到底哪一個正確？

生1：底×鄰邊肯定是對的，因為把平行四邊形拉一下就變成長方形。

生2：可是如果一直拉扁，這個面積就快變沒有了。（學生拉動框架）

師：把平行四邊形的框架拉動，什么變了，什么沒有變，你們有什么發現？

……

小結：邊、周長沒有變，面積在變。所以，底×鄰邊的確是錯的。那么，底×高就一定是對的嗎？

我的思考：從學生的認知起點出發，不回避學生的原認知。在課前我們曾做過前測，發現354%認為平行四邊形的面積=底×高，其中83%知道公式是怎么來的；625%的學生認為是求周長的；還有4375%認為是邊×邊；43%的學生不知道怎么做。從這些數據看出，還有好多的孩子是認為底和鄰邊有關的，其實認為底×高、底×鄰邊也好，都是合情推理，再運用合情推理進行猜想，用演繹推理進行驗證，是符合學生的發展規律，也是行之有效的。根據學生的原認知，讓學生通過觀察感悟到平行四邊形的面積也的確和兩邊的底有關，當底不變，鄰邊增長時，面積也隨之增大；反之，亦然，高同理。在教學時，學生思維轉折最困難的是易變性，它在干擾學生知識的生成，利用易變性這一特性，讓學生通過操作、辯論、觀察明白平行四邊形的面積并不是底×鄰邊，底×鄰邊是錯的，不等同于底×高就是對的，所以再提出思考：底×高就一定正確嗎？

（二） 巧數方格滲透轉化思想

課堂回放：為了便于研究，我們出示熟悉的方格。

數一數，下面平行四邊形的面積是多少平方厘米？（每小格是1平方厘米。）

（出示圖3）在學生獨立數后，交流，一共有多少平方厘米？（18平方厘米）

師：你是怎么數的？

生1：先數整格有15格，再數半格，半格的格數要除以2，再加起來是18。

生2：把左邊的三角形拼到右邊，這樣就變成一個長方形，三六十八。

生3：左邊的那個三角形下面的給上面的，右邊的也一樣。這樣也是三六十八。

師：為什么剛才拉成長方形，我們說底乘鄰邊是錯誤的，而現在也是變成長方形，卻可以了？

生：前面變成長方形是面積變了，這里大小還是一樣的。

師：你認為怎樣數比較快？

生：把三角形剪下來拼成長方形比較快，這樣只要數一數長有幾格，寬有幾格，長乘寬就行了，這里的長乘寬就是平行四邊形的……

師：那我們就用這種數法準確快速地數。（出示圖4）

學生匯報。

師：這兒的長、寬，就是平行四邊形的……

師：出示圖5，會數嗎？（生大喊轉過來，可是轉過來，還是無法解決，于是提出，像這樣普通的平行四邊形生活中很多，我們該怎么辦？）

……

我的思考：曾一度，教材中的數方格猶如雞肋，“不足一格的按半格計算”的嚴謹性受到質疑，也無法為學生解惑“為什么不能用底乘鄰邊”，僅起到引出猜想的作用。筆者對不同版本教材的進行比對，新人教版與實驗版教材的變化不是很大，都是由比較平行四邊形和長方形的面積引出，而后通過數格子，在觀察中提出猜想；蘇教版教材（圖6、7）從比較方格紙上每組中的兩個圖形面積是否相等入手，引導學生把稍復雜的圖形轉化成簡單的、熟悉的圖形，讓學生感受轉化方法在圖形面積計算中的作用，并為進一步探索活動提供基本思路。在例2時引導學生通過平移把平行四邊形轉化為長方形，而這是利用方格為載體。

反思教材為什么都以數方格為載體？細讀教材，數方格是連接長方形與平行四邊形面積的橋梁，從蘇教版教材更可以看出，數方格其實就是轉化。

查閱詞典與代數后，發現在計算平行四邊形、梯形、三角形的面積時，我們常常滲透轉化思想，這是我們在代數學中重要的思想和方法——出入相補思想的體現。如果我們再深入地追問一下，這其中的“轉化”背后最本源的是什么——用小正方形“密鋪”的思想，因此在教學中我們不能緊緊地局限在比較數方格和計算公式的優劣上，在教學中應該重視數方格的方法和測量內容的教育價值，不只是讓學生算出面積，重要的是幫助學生建立空間觀察。

直接呈現方格，是因為前測中發現學生對于怎樣學習長方形的面積已經遺忘，在選擇是事先復習，還是課堂中提出，這兩種方式都不是特別的恰當，想來想去還是直接請出我們學習面積的好朋友——方格來展開。教學中安排了3次不同要求的數，第一次通過讓學生在數方格時交流不同的數法，不同的數法就呈現出：第一種數法，是學生最原始的數法，而第二、三種數法是剪和拼的過程，了解轉化的思想；第二次讓學生很快地運用這一種數法；第三次正在學生得意之時，提出普通的平行四邊形，我們該怎么辦？三次的數層層遞進，而且第一次為了避免不滿半格按整計算給學生造成的困擾，特意選用都是純半格的。

二、 動手操作，構建平面圖形面積轉化計算的模型

（一） 思考中理解為什么這樣轉化

課堂回放：

師：數方格中，我們初步驗證了平行四邊形的面積等于底乘高，生活中有許多這樣普普通通的平行四邊形，是否也可以這樣計算？

生1：把三角剪下來，拼成長方形。

師：你們認為呢？為什么想到拼成長方形？

生2：長方形的面積我們已經會計算。

……

嘗試轉化。

四人一組合作，要求：

1. 先獨立思考，怎樣把平行四邊形轉化成長方形？小組交流，動手操作，如果操作失敗可以啟用其他的平行四邊形。

2. 轉化成長方形后，你發現和原來的平行四邊形比，有什么相同的地方，有什么不同的地方？

3. 你知道平行四邊形的面積怎么求？為什么？

展示交流討論：你剪了幾次，就能拼成長方形？你發現只要怎樣剪，就能拼成長方形？為什么必須沿高剪？

交流匯報后，引導觀察：一二兩種，有什么相同的地方？什么不同的地方？

思考圖10的方法，你認為可以嗎？為什么？讓學生理解兩層：一是要沿著中點剪再拼；二是不僅可以沿著內高轉化，也可以沿著外高。

展示沒有成功的學生的操作，思考交流：他們為什么失敗了呢？

我的思考：在不同的方法轉化中，我們抓住本質點——沿高剪拼。在實踐中，有的學生可能一次性能轉化成長方形，有的同學經過多次剪拼，有的甚至是不成功的，我們不單單關注成功的，更關注為什么他們不會成功轉化，他們為什么沒有成功？圖10的想法，學生往往思考不到，讓學生以一種思考的形式展開，為三角形、梯形的轉化方法做一個鋪墊。以不同的剪拼方法為載體，通過不斷地思考、追問，讓學生對轉化知其然也知其所以然，從而獲得更好的思維訓練和活動經驗。數方格是特例，讓學生從數方格到一般的圖形轉化推導，建構這樣的思考模式：在特例中猜想，在普例中驗證。

（二） 推導中形成幾何思考

如何讓學生形成推導的模型，為今后學習平面圖形打下扎實的基礎呢？

課堂回放：

思考1：剪拼成的圖形與原來的平行四邊形相比，什么變了？什么沒有變？

學生經過小組討論后反饋交流，形成板書：

思考2：把平行四邊形轉化成長方形的前提是什么？（面積是不變的）

思考3：為什么要轉化成長方形呢？

生：平行四邊形的面積我們是不會計算的，長方形的面積我們是已經會計算的。

小結：我們把平行四邊形轉化成長方形，形狀變了，面積不變，像這樣的我們稱為等積變形。轉化真是一個好方法，對你以后的學習有什么幫助呢？

生1：我們以后也可以用于轉化學習三角形、梯形等。

生2：可以用不同的方法轉化。

生3：三角形沿高剪不一定行。

……

我的思考：平行四邊形面積的教學目的不只是解決這一圖形的面積，而是引發今后學習所有平面圖形的方法，串起平面圖形面積轉化推導的知識鏈，抓住什么變了，什么沒變，幫助學生進一步理解和掌握等積變形的轉化思想。從學生的思考中看出其對其他的平面圖形的面積蠢蠢欲動，這便是學習。

三、 練習組織，鞏固提升數學思考

（一） 層層遞進，清晰運用

課堂回放：

師：要求平行四邊形的面積，需要知道什么？

生齊答：底和高。

師：給你底和高。（逐個出示）

下面平行四邊形的面積是多少？（單位：厘米）

師：出示圖12，現在呢？

生1：四五二十。

生2：4和5不是一對的。跑上來指圖說，4要和下面的底是一對，5和另外的一條高是一對。

師：也就是要求面積，底和高是要對應的。那你覺得現在可以求嗎？還需要知道什么？（出示下面的底7.5）現在呢？

生3：4×7.5=30（平方厘米）

師：根據現在的信息你能求出什么？

生4：我覺得30÷5=6（厘米），就是下面的底。

圖13要求學生獨立解決，反饋交流。

師：如果這里的底和高分別用a和b表示，面積用S表示呢？

我的思考：知識的鞏固需要在不斷地立與破的辯論中深化，在得出計算方法時，學生已經構建平行四邊形的面積=底×高，但對于對應的理解部分學生還是比較懵懂，第二小題破了原先的想法，重新構建清晰的知識。設計這樣一組題組有幾點好處：準確辨析要求面積需要對應的底和高；使學生理解在同一個平行四邊形中，兩組底乘高的積是相等的，即面積相等，根據面積相等可以求另一組底或高；讓字母公式不顯得突兀。

（二） 操作思考，提升思維品質

我在方格紙上畫一個面積是12平方厘米的平行四邊形，每小格邊長為1厘米。

分三個層次推進：① 學生獨立畫后反饋展示、判斷；② 除了這些，你覺得還有嗎？誰能有序地找完？學生得出1×12，2×6，3×4……追問：如果不要求底和高是整數的，你覺得面積是12平方厘米的平行四邊形還有嗎？得出只要兩個數的乘積是12就行；③ 在這一基礎上讓學生動態判斷，下面的平行四邊形可以嗎？你發現了什么？

我的思考：練習中，第一層次讓學生熟練地利用公式，快速地找到方法是幾乘幾等于12；第二層次是引導學生有序地思考面積是12平方厘米的平行四邊形，從而得出只要兩個數相乘的積是12就可以，也滲透學生找一個數因數的方法；第三層次在動態的演示中發現等底等高的平行四邊形面積相等。

通過挖掘圖形面積的本質，有效改進教學中的思維含量，加深了學生對轉化思想的本質理解和轉化經驗的積累，數學思想、思考的方法不再只是寫在目標里，更是顯在過程中。