數字濾波器性能指標優化中FIR的設計與仿真研究

顧綺芳

（無錫城市職業技術學院，江蘇　無錫　214000）

數字濾波器性能指標優化中FIR的設計與仿真研究

顧綺芳

（無錫城市職業技術學院，江蘇無錫214000）

數字濾波器，通俗來講，就是一種算法或者裝置，一般情況下由數字乘法器、加法器和延時單元3部分構成。對數字濾波器的設計方法研究已有20年的歷史，目前其正處于穩定發展時期。遺傳算法等優化算法的利用，在優化數字濾波器的性能指標以及仿真實現FIR數字濾波器方面進行得如火如荼。這種基于生物界自然選擇和進化機制發展的算法具有并行度高、隨機、自適應搜索等特點，當前在組合優化、生產調度、自動控制、圖像處理、機器學習、數據挖掘等各個方面均有所應用。正如人們所理解的，數字信號處理就是從噪聲中尋找有用的信號，恰巧這也是尋找最優解的過程。可以說，在數字濾波器設計方面，遺傳算法是一個大膽的嘗試。所以，文章針對數字濾波器性能指標優化中FIR的設計與仿真進行了研究。

數字濾波器；性能指標；FIR；設計仿真

數字濾波器的主要工作原理就是使信號頻譜產生變化，運算所輸入的離散信號的數字代碼，具有精度高、可靠性強、可程控改變、集成方便以及應用范圍廣等特點。尤其是對語言、圖像、生物信號處理等方面。然而在設計技術方面，其卻跟不上科學的發展步伐。因此，一種類似于達爾文進化論的遺傳算法誕生，并且在數字濾波器的設計中已經有所應用。這種算法實際上是仿照生態環境中的生物遺傳和進化而逐漸衍變出來的一種算法，具有自適應、全局優化、概率搜索的特點，可以幫助人們解決復雜系統優化的問題。

1　數字濾波器的典型方法設計

1.1數字濾波器的設計要求

在日常工作中所使用的數字濾波器大都為選頻濾波器，其頻響特性函數H（ejω）屬于一種復函數，一般表示如下：

在公式（1）中，|H（ejω）|是幅頻特性函數，說明信號經過濾波器后各頻率成分的衰減問題；θ（ω）是相頻特性函數，主要反映各頻率經過濾波器后在時間上相關延時問題。

圖1為低通濾波器的幅值特性，ωp和ωs分別稱為通帶截止頻率和阻帶截止頻率。通帶頻率范圍為0≤ω≤ωp，在通帶中要求1－δ1＜ωs≤1，阻帶頻率范圍為ωs＜ω≤π，在阻帶中要求，從ωp至ωs稱為過渡帶。通帶內所允許的最大衰減（dB）和阻帶內所允許的最小衰減（dB）分別為αp和αs，分別定義為：

一般要求：

圖1　低通濾波器的幅值特性

1.2數字濾波器的設計方法

數字濾波器的設計方法有很多，其中有一種兼具窗口設計法和頻率采樣法的卷積（convolution）的FIR濾波器。

FIR濾波器（Finite Impulse Response，FIR）的窗口設計方法主要通過自時域出發利用其頻率響應來縮小與理想的）距離， 可以通過利用一個長度為N的窗口函數ω（n）來截取hd（n），即：hd（n）=ω（n）hd（n）來達到用有限長的h （n）來逼近無限長的hd（n）的目的；其頻率采樣法從頻域出發，對理想的頻率響應）再進行等間隔采樣）|2kπ/ N=Hd（k）。把所有的采樣值都作為變量是其最優化設計原理，進而達到獲得最優結果的目的。一般情況下，采用均方誤差最小準則和最大誤差最小化準則。

2　基于遺傳算法的數字濾波器的設計與仿真

2.1MATLAB軟件的概述

矩陣實驗室（Matrix Laboratory，MATLAB）誕生在美

矩陣構成了MATLAB的基本數據，MATLAB中的指令表達式和在數學、工程領域方面應用基本是一致的，用戶可以借助效率非常高的數值計算及符號計算功能來處理繁瑣的數學運算分析；此外，MATLAB還可以利用其自帶的圖形處理功能來達到使計算結果和編程可視化的目的；MATLAB相對來說是比較容易掌握的，用戶界面簡潔明了，類似于數學表達式的語言都降低了用戶學習的難度；信號處理和通信等工具箱等功能為用戶提供了許多便捷的工具，擴大了工具內容和種類。

MATLAB在信號處理、圖像處理、通訊、財務以及計算生物學等方面都有所應用，可見其應用面之廣。而且具有專用MATLAB函數集的附加工具箱提高了MATLAB的工作空間，對于那些特定的問題處理起來更加方便。

2.2基于遺傳算法的FIR數字濾波器的設計與仿真

2.2.1基于遺傳算法的FIR數字濾波器的設計

首先討論一下4種線性相位濾波器的特點：

第一類，如果相位為零較為理想，那么FIR濾波器的幅頻特性對于ω=0，π，2π皆成偶對稱。

H（k）=H（N－k），N為奇數，h（n）=h（N－1－n）（5）

第二類，對于符合理想的零相位FIR濾波器的幅頻特性對ω=π為奇對稱，且幅頻特性非零，對ω=0，2π為偶對稱的過濾器，高通濾波器和帶阻濾波器不予采用。

第三類，當零相位FIR濾波器的幅頻特性對ω=0，π，2π都為奇對稱，同時ω=0，π，2π情況下，幅頻特性均是零。

第四類，理想的零相位FIR濾波器的幅頻特性對于ω=0，2π成奇對稱，對于ω=π成偶對稱，且ω=0，2π處，幅頻特性都為零。

H（k）=H（N－k），H（0）=0，N為偶數，h（n）=-h（N－1－n）

（8）

例：用頻率采樣法設計一個FIR帶通濾波器，技術指標：低阻帶邊緣頻率ω1s=0.2π，低通帶邊緣頻率ω1p=0.3π，通帶邊緣頻率ω2p=0.7π，高阻帶邊緣頻率ω2s=0.8π，通帶最大波動AP=0.3dB，阻帶最小衰減As=40dB，采樣點數N=40。

設過渡中的值用T1來表示，則Hk=T1，k=5， 15， 25， 35 （10）

因為是帶通濾波器且N=40為偶數，所以為第四類線性濾波器。

對于線性相位濾波器的對稱脈沖響應，有

式中k取整。

所以，

本文就是利用遺傳算法尋找合適的過渡帶采樣值，以使阻帶最小衰減取的最大值。

遺傳算法的具體步驟如下：

（1）估計參數0＜T1＜1，對T1進行編碼；

（2）初始化種群，假設群體規模（染色體）為S，即每代中的個體也是估計參數的個數，G為遺傳算法的代數，Pm為變異概率，Pc為交叉概率，在遺傳算法的每i代中，對第j個估計參數譯碼得到一個T1，并計算出對應的阻帶最小衰減Asij，通過下式計算出該估計參數的適應度fij，即：

fij越大說明此最小衰減Asij適應度越大，被保留的可能性越大，否則就會被優解淘汰；

（3）選擇策略方面，由達爾文適者生存的進化論可以知道在一個群體中經常出現為了生存而打斗的現象，往往適應能力強的取勝。針對這個情況，采用輪盤賭選擇法作為生存策略。

此法與賭場所用的輪盤有一樣的原理，即遇到每一個數據都具有相同的概率。可以按照自己需要來設置輪盤格子數，再隨機旋轉轉盤，用這個隨機結果代表是哪一個格子。個體的適應能力按比例換算為選中的概率。表1中分別顯示了11個個體的適應度、選擇概率和累積概率。可通過多次重復試驗來進行個體選擇。每次試驗可產生一個［0， 1］隨機數，把這個隨機數當成選擇指針以確定選擇哪個個體。如圖2所示，若第一輪隨機數為0.81，則第六個個體被選中，第二輪隨機數為0.32，則第二個個體被選中，以此類推，若第3，4，5，6的隨機數分別為0.96，0.01，0.65，0.42，則第9，1，5，3個個體依次被選中。這樣經過選擇產生的種群由以下個體組成：1，2，3，5，6，9。

表1　輪盤賭選擇法的選擇概率計算

圖2　輪盤賭選擇法

按照輪盤賭選擇法進行選擇操作。計算每個染色體的適度fij，根據適應度求出第j個染色體的累積概率qi，

在［0，1］內產生S個均勻分布的隨機數r，若r≤qi，則染色體 x1被選中；若qk-1＜r≤qk（2≤k≤N），則染色體xk被選中，從而生成新的種群；

（4）交叉操作，按照概率pc挑選出將要配對的個體，如果待配對個體是奇數，就自動去掉最后那個，以保證待交叉的個體是偶數，再與鄰近個體配對，然后得到一個隨機交叉點，在此點進行配對個體的交叉操作；

（5）變異操作，概率pm為依據，先假設等待變異的種群規模S和每一個染色體的編碼位數相乘之后等于n，這里的n就是指基因總數，會得到n個［0，1］間的隨機數，然后尋找隨機數中小于變異概率的數的具體位置，這就是待變異的染色體的基因的位置，變異操作就可以進行；

（6）如果i=G，那么結束算法，否則轉至步驟（2）。

2.2.2基于遺傳算法的FIR數字濾波器的仿真結果

對比分析圖3和圖4的仿真結果可以發現，濾波器幅度響應曲線由遺傳算法繪出的比查表法要好，也得到了合適的過渡帶采樣值，以得到更大的阻帶最小的衰減。加之普通算法的最小衰減是達不到題目要求的。然而遺傳算法的隨機性大，執行結果每次都不相同，因此如何選擇最優仿真結果需要進一步研究。

（1）用一般算法實現FIR濾波器的程序代碼及仿真結果：

圖3　本例題一般算法的仿真結果（T1=0.5，As=40.0129dB ）

（2）本題基于遺傳算法設計的仿真結果

圖4　本例題遺傳算法的仿真結果（T1=0.5378， As=42.7316dB）

3　結語

這種基于生物界自然選擇和進化機制發展的算法具有并行度高、隨機、自適應搜索等特點。當前在組合優化、生產調度、自動控制、圖像處理、機器學習、數據挖掘等各個方面均有所應用。一直以來，在濾波器的設計中如何運用遺傳算法，如何優化濾波器都是非常熱門的研究話題。隨著科學計算水平的不斷提高，可編程邏輯器越來越多地被應用在濾波器的設計中，這也為濾波器的硬件提供了一條新思路。

雖然相較于其他算法，遺傳算法結構比較簡單，但是在解決一些問題時，存在不容易選擇群體大小、交叉變異概率等問題，而且搜索效率并不理想。隨機性大可以是優勢也可以是劣勢，因為根據其進行的最優選擇也是隨機的，不可能每次都得到最優解。針對這個問題，還需要進行更深層次的研究。

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Study on FIR design and simulation of digital flter performance index optimization

Gu Qifang
（Wuxi City College of Vocational Technology， Wuxi 214000， China）

Digital filter is a kind of algorithm or device in terms of popularity， which is composed of three parts: digital multiplier，adder and the delay unit generally. Study on the design method of digital flter has a history of 20 years， which is currently in a stable development period. The use of genetic algorithm in optimization algorithm for optimal performance index and simulation of FIR digital flter area is developing rapidly. This kind of algorithm based on the development of natural selection and evolution has the advantages of high degree of parallelism， random， adaptive search， etc. Which is currently applied to combination optimization， production scheduling，automatic control， image processing， machine learning， data mining and other aspects. As we all know， the digital signal processing is to fnd the useful signal in the noise， which is just the process to fnd the optimum solution. It can be said that in the design of digital flter，genetic algorithm is a bold attempt. Therefore， the design and simulation of performance index optimization of digital flter in FIR were studied in the article.

digital flter； performance index； FIR； design and simulation

無錫城市職業技術學院教改課題；項目名稱：高職校企合作人才培養與就業一體化研究—以計算機應用技術專業為例；項目編號：WXCY-2014-JG-015。

顧綺芳（1980— ），女，江蘇無錫，碩士，講師；研究方向：計算機仿真，圖像處理技術。國的mathworks公司，在科學計算、可視化及交互式程序設計等技術含量高的計算環境的背景下，可以通過一個視窗把數值分析、矩陣計算、科學數據可視化以及非線性動態系統的建模和仿真等許多功能集中體現，MATLAB在必須進行有效數值計算的領域發揮著日益重要的作用，而且避免了像C語言，Fortran語言等傳統非交互式程序設計語言的編輯模式，是國際科學計算軟件的領頭羊。