基于變基床系數下雙參數模型的管棚力學機理研究

盧新建

(福建省建筑科學研究院　福建福州　350000)

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基于變基床系數下雙參數模型的管棚力學機理研究

盧新建

(福建省建筑科學研究院福建福州350000)

針對常基床系數下管棚彈性地基梁模型的缺陷，分析了掌子面前方巖土體基床系數分布規律，基于 Pasternak 彈性地基梁理論，建立了變基床系數下管棚的力學模型，推導了管棚的撓度方程和內力計算公式，并提出求解方法。結果表明：考慮掌子面水平位移影響能較好地反映管棚在隧道開挖過程中的力學行為，更符合實際情況。

隧道；管棚超前預支護；變基床系數；Pasternak模型；力學機理

0　引言

近年來，國內外學者對管棚預加固機制進行了大量的研究，主要包括現場試驗研究、解析分析、數值模擬分析與離心模型試驗研究等。但由于地下工程的影響因素復雜多變，管棚預支護體系的許多基礎理論問題仍缺乏系統的定量研究，管棚預支護的設計方法仍然是依賴于工程經驗的工程類比。因此，進一步研究管棚預支護體系的力學機理，有利于更好地指導復雜地質條件下地下工程的施工，具有重要的現實意義。

本文針對常基床系數下管棚地基梁模型不考慮掌子面水平變形的缺陷，分析掌子面前方土體基床系數的分布規律，建立可考慮掌子面水平位移影響的基于變基床系數下雙參數模型的管棚力學模型，推導了管棚的撓度方程和內力計算公式，并提出求解方法，對管棚的受力和變形進行了深入探討。

1　土的理想化模型

1.1土的理想化模型選取

本文采用Pasternak模型來模擬隧道開挖過程中管棚與圍巖之間的相互作用。Pasternak模型為模擬土體之間的連續性，假設在各獨立的Winkler彈簧單元與一層只能剪切變形而不可壓縮的薄層相連，如圖1(a)所示。其外荷載作用下引起的變形如圖1(b)所示。外荷載與位移之間的關系為：

(1)

式中：k和G為土體參數。

1.2Pasternak模型參數確定

(1)Pasternak模型參數確定

對于Pasternak模型參數確定，文獻[1]采用變分法推導有限深彈性地基雙參數模型，并按照土中應力分布規律給出了矩形均布荷載作用下模型參數的計算方法：

(2)

(3)

式中：E——土體彈性模量，MPa；

H——土體深度；

μ——土體泊松比；

A、B——矩形荷載長短邊；

γ——反應A/B影響的無量綱參數，其取值見表1。

表1　γ的取值

對于管棚荷載，A?B，此時γ可取1.00。H較大時，k0=G0=1，此時k、G的計算式可簡化為：

(4)

(5)

由式(2)～(5)可見，荷載的形狀和尺寸對模型參數有較大的影響，故由上述方法確定Pasternak模型參數，可以消除荷載尺寸和形狀對模型參數的影響，更好地反映管棚預支護體系的受力特性

(2)掌子面附近模型參數的變化

對管棚的力學模型分析來說，土體基床系數k的分布形式、取值大小對管棚的受力和變形情況影響很大。而在目前的研究中，整個隧道未開挖段均被簡單地看作常基床系數下的彈性地基模型(雙參數模型)來考慮。實際上，掌子面在上覆荷載作用下，必然由于水平約束不足而產生水平變形，從而導致掌子面附近范圍內土體基床系數小于該范圍外的值，這對管棚的受力是不利的[2]。下面將針對?；蚕禂迪鹿芘锪W模型的這一缺陷，結合掌子面前方未開挖段土體與管棚相互作用的實際情況，建立考慮掌子面水平位移影響的基床系數分析模型，研究掌子面前方土體的基床系數變化規律。

計算模型下邊界固定，上邊界施加分布荷載，側邊界留出一定高度的自由段，來模擬開挖掌子面，其余高度約束其水平向位移，如圖2所示(僅顯示左半部分)。

確定各點基床系數k值關系為：

k=p/s

(6)

式中：k ——基床系數，MPa/m；

p ——地基土所受壓應力，MPa；

s ——地基的變位，m。

根據計算結果，繪制不同泊松比和開挖高度下的基床系數k沿隧道縱向的分布曲線如圖3所示。

結果顯示：基床系數在自由面處最小，沿隧道縱向逐漸增大，在約1倍自由面高度處趨于穩定。當泊松比μ及開挖高度h不同時，基床系數k的變化形式基本一致，只是基床系數穩定值k0及基床系數最小值與穩定值之比kmin/k0不同。

分別計算不同μ，不同h時kmin/k0的值，對結果進行擬合，可得kmin/k0隨μ和h變化的函數：

kmin/k0=f(h,μ)k0=(1-0.9384μ2log(h+1))

(7)

將擬合結果與數值模擬分析結果對比，二者吻合較好，符合要求，按照擬合結果繪制kmin/k0隨μ和h的變化圖，如圖4所示。

為簡化計算，將基床系數沿隧道縱向變化的規律簡化為如圖5所示折線模型，并得到基床系數沿隧道縱向變化的表達式：

(8)

d=htan(π/4-φ/2)

2　管棚的力學模型建立

2.1管棚力學模型建立的基本假設

要想真實地反映管棚的受力和變形特點，揭示各種因素對管棚預支護效果的影響，模型必須建立在能夠正確描述圍巖條件、支護結構等因素影響的假設上。基于以上的研究并總結前人成果，本文的模型在以下基本假設的基礎上建立[3]：

(1)承受管棚荷載的圍巖為各向同性的連續介質，且符合Pasternak模型假設，其模型參數按照第1節所述確定；

(2)管棚構件的彎曲性態用Bernoulli-Euler梁理論來描述，忽略水平向應力的影響；

(3)將管棚與鋼架的連結端視為有一已知豎向位移的固定端，且考慮初期支護的延滯效應，固定端取在第一榀與上一榀鋼架的中間位置；

(4)長管棚在施工中是一次穿越，不考慮管棚間搭接。

2.2力學模型的建立

隧道開挖過程中管棚的力學模型分為以下兩類：

類型一：當隧道開挖面距管棚前端較遠時，開挖影響尚未達到管棚前端，此時管棚可看作半無限長的地基梁，如圖6(a)。

類型二：當隧道開挖面接近管棚前端時，將管棚看作有限長度的地基梁，如圖6(b)。

2.3微分方程求解

結合前面各節所得結論，由彈性地基梁理論可得管棚的撓曲微分方程。

(1)類型一

AB區段：

(9)

BC區段：

(10)

CD區段：

(11)

不同區段的微分方程通解為：

AB區段：

(12)

BC區段：該區段微分方程為四階變系數常微分方程，考慮該方程求解的復雜性，可將該階段基床系數的變化近似為n段逐漸變化的階梯函數，從而使該變系數微分方程簡化為若干段常系數微分方程，當n的取值足夠大時，便可滿足求解的精度要求。此時，第i段階梯函數所對應的常微分方程通解為：

(13)

CD區段：

ω3(x)=eαλx(A3cosβλx+B3sinβλx)+e-αλx(C3cosβλx+D3sinβλx)

(14)

其邊界條件為：管棚與鋼架連結端既A點為有一已知豎向位移的固定端，其撓度ω(A)=ω0，轉角ω(1)(A)=0；管棚前端既D點在開挖影響范圍之外，撓度ω(D)=0，轉角ω(1)(D)=0；其余管棚各邊界點，截面兩端撓度(ω(x))，轉角(ω(1)(x))，彎矩(-EIω(2)(x))，剪力(-EIω(3)(x))均相等。

(2)類型二

在類型二中，AB區段與BC區段的微分方程及其通解和類型一相同。其邊界條件為：管棚與鋼架連結端既A點為有一已知豎向位移的固定端，撓度ω(A)=ω0，轉角ω(1)(A)=0；管棚前端既C點為自由端，彎矩-EIω(2)(C)=0，剪力-EIω(3)(C)=0；基于管棚各邊界點，截面兩端撓度(ω(x))，轉角(ω(1)(x))，彎矩(-EIω(2)(x))，剪力(-EIω(3)(x))均相等。

結合各段通解和邊界條件，使用數學軟件Mathematica可求解各待定系數，帶入各式即可得管棚的撓度方程。

以上為僅在單次開挖條件下管棚的變形。由于土體沉降的不可逆性，管棚在隧道每一步開挖時所引起的變形都會逐步積累。所以，隧道開挖過程中每一步的總撓度都是之前各步開挖所引起的管棚變形之和，其表達形式為：

(15)

式中：ωi,m——管棚上第i點在第m步開挖時的總撓度，mm；

ωi,j——管棚上第i點在第j步開挖時所引起的撓度，mm。

2.4管棚力學行為的分析

在求得管棚撓度之后，可由以下各式解得管棚的轉角、彎矩、剪力，由式(6)求得地基反力。

(16)

(17)

(18)

下邊將以上節所求的管棚受力和變形方程為基礎，分析管棚作用的力學機制。取以下工程數據：土方開挖前施做長管棚預支護，長管棚選用直徑159mm，壁厚6mm的熱軋無縫鋼管，間距40cm，管內注M25水泥砂漿；圍巖彈性模量E=20MPa/m，泊松比μ=0.40，重度γ=18.5kN/m3；隧道埋深H=5m，開挖高度h=8m，開挖步距s=2.4m；管棚與鋼架連結端A點的初始豎向位移ω0=5mm。

(19)

計算可得管棚撓度曲線及受力情況如圖7(a)(b)所示(以格柵與管棚連結端為縱向位置0點)：

由計算結果可知：(1)管棚的最大撓度和彎矩均發生在開挖面后方靠近開挖面處，說明管棚在隧道已開挖但尚未施作初期支護的位置處于最不利狀態，是隧道開挖最危險的區域；(2)?；蚕禂禃r管棚的最大撓度為 13.39mm，最大彎矩為31.72kN·m，但考慮土體基床系數變化后，最大撓度達到14.65mm，最大彎矩達到34.25kN·m，分別相對超出9%、8%，且考慮土體基床系數變化后，其撓度及彎矩曲線有一定的延后，最大值位置更加靠近掌子面。所以，為了正確評估隧道開挖時管棚的變形和受力，在對管棚的力學分析中考慮掌子面開挖引起的基床系數變化很有必要。

3　結論

(1)掌子面前方巖土體的基床系數并非常數，而是沿著隧道開挖方向逐漸增大，且到一定距離后逐漸趨于穩定； 隨土體泊松比和掌子面開挖高度呈二次拋物線變化，泊松比越大，開挖高度越高， 越小。

(2)分析管棚力學機制過程中，考慮掌子面水平變形引起的變基床系數后，更符合實際受力情況，能較好地反映管棚在隧道開挖過程中的真實力學行為。

[1]董軍，彭立生.雙參數地基模型研究及基礎梁計算[J].武漢水利電力學院學報，1991，24(4)：427-438.

[2]鄭俊杰，章榮軍，楊慶年. 淺埋隧道變基床系數下管棚的力學機制分析[J]. 巖土工程學報，2009，31(8)：1 165-1 171.

[3]賈金青，王海濤，涂兵雄，等. 管棚力學行為的解析分析與現場測試[J].巖土力學，2010, 31(6)：1 858-1 864.

Mechanical mechanism of piperoofs based on the pasternak model with variable coefficient of subgrade reaction

LUXinjian

(Fujian Academy of Building Research ，Fuzhou 350000)

In order to improve the elastic foundation beam model for pipe roofs with constant coefficient of subgrade reaction, the distribution law of coefficient of subgrade reaction in front of the excavation face is discussed.Furthermore, an analytical approach based on Pasternak elastic foundation beam theory with variable coefficients of subgrade reaction for pipe roof reinforcement was put forward，and the differential equations of corresponding deformations, turn angles, bending moments and shear were deduced.The results show that if take the lateral deformation effect of excavation face into account during the analysis, can gives more accurate calculation and is proved to be a better way to understand the reinforcement mechanism and improve design practice.

Tunnel; Pipe roof reinforcement; Variable coefficient of subgrade reaction; Pasternak elastic foundation beam; Mechanical mechanism

盧新建(1990.07-)，男，助理工程師。

E-mail:1497918149@qq.com

2016-04-13

TU4

A

1004-6135(2016)06-0058-05