高中幾何概型教學策略探討

劉姍++張清芳

【摘 要】 幾何概型是高中數學課程的新增內容，也是一個重要的概率模型，對于概率的學習有著非常重要的意義，高中生在學習這部分內容時存在諸多困難。對此，文章提出了相應的教學策略，以幫助高中生更好地理解并掌握幾何概型知識。

【關 鍵 詞】 幾何概型；高中數學；教學策略

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1671-0568（2016）24-0060-03

幾何概型，是指如果每個事件發生的概率只與構成該事件區域的長度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱幾何概型。幾何概型是高中數學課程改革中的新增內容，也是一個重要的概率模型。相比中學數學中的其它概念，“幾何概型”的概念是比較抽象的，學生在學習這部分內容時往往存在諸多困難，遇到具體問題時常出錯，且不易找到錯誤原因。為此，筆者特提出如下幾點教學應對策略：

一、加強對幾何概型知識的理解

在幾何概型的學習中，深刻理解幾何概型知識主要體現為對幾何概型核心思想（等可能性與無限性）的掌握。學生只要掌握了幾何概型的核心思想，就能夠突破古典概型的干擾，分辨出幾何概型，從而對幾何概型做出自己的解釋與判斷，形成自己的見解，進而通過自己對幾何概型的理解，來解決有一定難度的幾何概型問題。為此，在教學中，教師應做到以下幾點：

1. 對比兩大概率模型，弄清本質區別

幾何概型與古典概型既有聯系又有區別，根據這一特點，教師在教學中一定要重視概率中幾何概型和古典概型的對比，要弄清兩者的區別，讓學生學會區分這兩大概型。

例1 一個黑色的袋子里裝有6個大小完全相同的小球，其中有3個黑色小球，2個黃色小球，1個紅色小球，問：在摸取一次的情況下，摸出是黃色小球的概率是多少？

解題思路分析：問題給定的是6個小球，在只摸取一次的情況下，一共會出現6種可能結果，即基本事件個數滿足有限性；并且摸出任何一個小球的機會是相等的，即滿足基本事件是等可能的，由此可以判斷出該題是一道古典概型的問題。

解：摸出黃色小球的概率[P（A）]為：[P（A）=26=13]。

例2 轉盤游戲，圖中有兩個轉盤，甲乙兩人玩轉盤游戲，規定當指針指向A區域時，甲獲勝，否則乙獲勝，求甲獲勝的概率。

解題思路分析：從這個圖表（圖1）中可以看出A與B分別是整個圓的一半，即在轉盤游戲中，甲或乙獲勝的概率各是[12]，因此，滿足幾何概型基本事件的等可能性。又由于指針落在某一個區域的任何一個點都是有可能的，即基本事件有無限多個，因此可以判斷該題滿足幾何概型的條件，即求甲獲勝的概率只與A區所占的面積與整個圓的面積比有關。

解：甲獲勝的概率：[P（A）=12]。

以上兩題是典型的古典概型和幾何概型的問題，學生解答時常常容易混淆。因此，教師在講解時，應重點指出幾何概型與古典概型的區別，還要將兩大概型的定義、特征以及計算公式對學生講清、講透，讓學生弄清它們的本質區別。

2. 借助多媒體演示，增強對幾何概型的理解

由于幾何概型知識具有抽象性的特點，學生學起來存在一定的困難。針對這一問題，筆者認為，教師在教學中不妨借助實驗演示，引導學生觀察蘊含在具體問題中的幾何概型特點，從而增進對幾何概型知識的理解。

例3 邊長為4厘米的正方形及其內部有一圓，若隨機向正方形內扔一粒豆子，則豆子落在圓和正方形夾部分的概率是多少？

對于這個問題如何求解，多數學生都會感到很茫然，不知從哪里入手。教學時，教師不妨借助多媒體課件，將在正方形內扔豆子這一過程制作成動畫圖片，引導學生觀察隨著圓的大小的改變，豆子的運動軌跡，繼而求出概率。通過多媒體演示，學生直觀感受到從圓的變動到軌跡的形成過程，進而加深對幾何概型的理解。此外，通過多媒體動畫演示，還可以營造出良好的學習氛圍，促使學生積極參與課堂教學，最終提升教學效率。

3. 結合生活經驗，讓學生感知幾何概型

在幾何概型的學習中，應注意結合學生的生活經驗，讓學生自己感知幾何概型，建構對幾何概型的理解，這是對幾何概型知識加深理解的有效策略。比如，在講授幾何概型問題時，可以設置基本事件的個數由有限到無限的、由簡單到復雜的問題情境，讓學生在自己的認知沖突中發掘幾何概型的本質特征，只有這樣，學生習得的知識才會牢固，對幾何概型的理解也才會更加深刻。

二、注重模型的建構和轉化

建構幾何概型的首要任務是計算事件A包括的基本事件對應的區域的長度、面積或體積，但這里的計算并非重點，重點在于如何利用幾何模型，把問題轉化為各種幾何概型問題。為此，可參考以下辦法：適當選擇觀察角度；把基本事件轉化為與之對應的區域；把隨機事件A轉化為與之對應的區域；如果事件A的對應區域不好處理，則可以用對應事件概率公式進行逆向思考。在此基礎上，再從長度、面積和體積分類考慮具體模型的建立。

1. 與長度有關的幾何概型

這類問題通常是在一維空間中出現，即題目中涉及一個變量，可以近似地抽象為一條線段，該問題求解的事件A的概率就轉化成求滿足所求事件的線段長，從而將抽象、復雜的問題簡單化。

例4 若A=[1，10]，則從A中任意取出一個數，求出這個數不大于4的概率是多少？

解答思路分析：在1至10中任意取一個數是一個基本事件，基本事件有無數個，且每一個基本事件的發生都是等可能的，因此，事件發生的概率只與長度有關，符合幾何概型條件。endprint

解：記B為“在1至10中任意取一個不大于4的數”，畫出從1到10的線段長（如圖2），將線段分為9段長，而不大于4的線段長為3段，所以[P（B）=39=13]。

一般說來，將每個事件理解為從某個特定的幾何區域內隨機地取一點，該區域中每一點被取到的機會都一樣，而一個隨機事件的發生則理解為恰好取到上述區域內某個指定區域中的點，這樣的概率模型就可以用幾何概型求解。

2. 與面積有關的幾何概型

當概率問題中涉及兩個變量，則此問題可以利用平面直角坐標系來討論，從而將實際問題轉化為求面積之比，建立起概率模型。

例5 兩人相約8點到9點在某地見面，先到者等候后到者20分鐘，過時就可離開，求這兩人能會面的概率是多少？

解題思路分析：此問題中的“兩人在8點到9點之間的任何一個時間到達某地”是一個基本事件。顯然，這里的基本事件有無數個，且基本事件發生都是等可能的。同時考慮到兩個人能見面，有兩個變量，因此，事件發生的概率只與面積有關，符合幾何概型的條件。

解：記事件A為“兩人在8點到9點之間能見到面”，分別設出兩人到達時間為x和y，

依題意x和y滿足[|x-y|≤20，0≤x≤60，0≤x≤60。]

根據線性規劃在坐標系中畫出可行域，可知圖中（如圖3）陰影部分的面積即為事件A發生的相應區域，故所求事件概率為[P（A）=602-402602=59]。

在解答這類問題時要根據題意找出條件，依據線性規劃在坐標系中畫出可行域，并求出事件A發生的相應區域。解答這類問題的關鍵就是建立起關于面積的概率模型。

3. 與體積有關的幾何概型

當幾何概型問題中涉及3個變量，或是在三維空間中進行的概率計算，可轉化為體積計算。

例6 在棱長為4的正方體內有一內切球，若在正方體內任取一點，求該點在球內的概率。

解題思路分析：此題中“在正方體內切球內任取一點”是一個基本事件，基本事件也有無數個，且基本事件發生都是等可能。由此可結合正方體圖形的特點，引入3個空間變量。故此，事件發生的概率與體積有關，符合幾何概型條件。

解：記A為“在正方體內任取一點在內切球中”，分別求出正方體與球的體積，

所以[P（A）=43πr3a3≈33.564=67128]。

此題的結果顯然與正方體和球的體積有關，只要分別求出正方體與球的體積問題就解決了。在這類問題中，關鍵是找到變量個數，以便建立體積模型。

三、加強思維訓練

1. 暴露思維過程，把握思維脈絡

我們知道，教學并不是單向地傳輸知識的過程，而是對知識的一個加工、轉化和處理的過程。幾何概型是古典概型的拓展與延伸，其學習過程蘊涵著重要的思維過程。因此，教師在教學過程中應注意以下兩點：首先，在講授幾何概型知識時，應將學生原有的古典概型知識經驗作為幾何概型知識新的生長點，使學生對已有的古典概型知識經驗進行重新改造、加工、擴展，從而更好地理解并豐富幾何概型新知識。其次，教師在教學過程中不僅要注意展示問題發生、發展的思維方式，還應聽取學生的想法，注意創造機會，讓學生在自主、合作與探究學習的過程中，將自己對幾何概型問題的認識、思考和分析的思維過程暴露出來，以利于教師準確地把握學生的思維脈絡，掌握學生在解決幾何概型問題的困難所在，從而有針對性地進行教學。比如，對于一道幾何概型題的講解，我們應關注如下問題：學生是如何讀題的，又是如何思考的？解答中有什么困惑？等等，其目的就是讓學生的思維得以充分暴露，使教師能夠掌握學生的思維動態，從而使幾何概型教學更具針對性和有效性。

2. 多角度舉例，培養思維的深刻性

高中生在剛剛接觸幾何概型的時候，對新知識存在理解上的困難，學生無法準確掌握幾何概型與古典概型的本質區別，沒有養成幾何概型的概率思維。因此，教師在教學中應當進行多角度舉例，讓學生全方位感受幾何概型的特點，從而理解新知識。在舉例方面，教師既要運用正例，也要選用合適的反例：正例有利于學生鞏固幾何概型知識，反例則能強化或深化學生對幾何概型知識的本質理解。實踐證明，合理、恰當地運用正反例，不僅能有效引導學生的思維，有助于幾何概型知識的學習和掌握，而且還能培養學生思維的深刻性。

3. 變式教學，培養思維的靈活性

在幾何概型的教學過程中，我們經常會聽到老師們抱怨：“這個問題明明講過，學生也做過，考試時只是稍微變了一下形式而已，他們就不會做了！”這說明學生并未真正理解問題，變通能力不強。變式教學可以為解決這個問題提供方法和途徑，比如，改變幾何概型問題的條件或結論，將條件的范圍擴大或者縮小，等等，通過對此類問題的改變，學生在解題時就可以舉一反三、觸類旁通。

參考文獻：

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[3] 程海奎，陳雪梅.是強調幾何度量還是關注模型的建構[J].數學通報，2014，（11）：26.

（編輯：朱澤玲）endprint