維度的基礎(chǔ)問(wèn)題

查理德·韋伯

維度是什么

你可能認(rèn)為如此基礎(chǔ)的問(wèn)題應(yīng)該早就有一個(gè)簡(jiǎn)單的答案了，可惜并非如此。事實(shí)上，給維度下定義是一個(gè)非常棘手的事情。

對(duì)維度最直觀、最古老的描述是：一個(gè)系統(tǒng)所擁有的維數(shù)是物體能夠移動(dòng)的獨(dú)立方向的數(shù)目。上和下是一個(gè)維度，因?yàn)樯虾拖率且粋€(gè)硬幣的兩面，向上走就是遠(yuǎn)離下方。左和右、前和后也一樣，但上和右、下和后等之間就沒(méi)有這種關(guān)系。所以古希臘幾何學(xué)家說(shuō)：我們生活在三維世界中。

到目前為止，一切還很簡(jiǎn)單，但接下來(lái)馬上就要失控了。我們需要同時(shí)使用空間和時(shí)間來(lái)定義我們?cè)谟钪嬷械奈恢谩Ｔ缭?8世紀(jì)末，法國(guó)人達(dá)朗貝爾和拉格朗日就發(fā)現(xiàn)用于描述時(shí)間的數(shù)學(xué)語(yǔ)言和用于描述空間的非常相似。所以，當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家很快得出結(jié)論：時(shí)間就是第四維度。

將時(shí)間看作第四維度這種新的觀念遠(yuǎn)超出維度的原始定義，大大地?cái)U(kuò)充了維的概念。從那時(shí)候開(kāi)始，維不再僅僅是描述物理的空間坐標(biāo)，而成為描述確定物體狀態(tài)的獨(dú)立坐標(biāo)或變量。

這一手實(shí)在高明，從此數(shù)學(xué)家可以運(yùn)用幾何分析這一利器去處理他們想研究的任何事情。例如，現(xiàn)在一個(gè)經(jīng)濟(jì)學(xué)家可以將整個(gè)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)看作一個(gè)巨大的多維度客體。面包和黃油的價(jià)格升降可以被描述為價(jià)格坐標(biāo)在多維空間中的運(yùn)動(dòng)，與我們?cè)谇昂蠡蛏舷路较蛏系倪\(yùn)動(dòng)完全類似。當(dāng)然，這僅是描述經(jīng)濟(jì)狀態(tài)的數(shù)百萬(wàn)個(gè)維度中的兩個(gè)。

理解維度

現(xiàn)在，請(qǐng)看本句末尾的這個(gè)小黑點(diǎn)（英文中的句號(hào)，“.”），然后盯著它看。恭喜，你已經(jīng)目睹了零維空間。現(xiàn)在用你的手指沿著紙邊移動(dòng)，然后再看看這整張紙，它們分別是一維和二維空間，也挺容易吧？但現(xiàn)在，嘗試想象超過(guò)三維的空間。

很費(fèi)解？別擔(dān)心，很多人跟你一樣。“我個(gè)人無(wú)法想象超過(guò)三維的空間。”倫敦國(guó)王學(xué)院的弦論學(xué)者邁克爾·杜夫說(shuō)。事實(shí)上，在工作中，他時(shí)常要處理十維或十一維的研究對(duì)象——自己都不能想象，理論物理學(xué)家為何還能對(duì)他們的理論充滿信心？

17世紀(jì)的法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡兒把真實(shí)的幾何空間轉(zhuǎn)換成抽象的代數(shù)方程。例如，你可以用一個(gè)方程描述一個(gè)長(zhǎng)度不變的線段圍繞自己的一端在二維空間里旋轉(zhuǎn)形成的圖形。這個(gè)方程實(shí)際上描述了線段旋轉(zhuǎn)時(shí)x坐標(biāo)和y坐標(biāo)滿足的關(guān)系，這就是一個(gè)圓的代數(shù)表達(dá)。

這種想法非常了不起，從此以后，數(shù)學(xué)家只要通過(guò)引入更多的坐標(biāo)，就能夠隨心所欲地增加維度。比如，通過(guò)引入新的坐標(biāo)軸z就可以像剛才描述二維空間中的圓形一樣來(lái)描述三維空間中的球體。

1854年，數(shù)學(xué)家黎曼將立體幾何（三維）推廣到了任意維數(shù)，寫(xiě)出了四維、五維和六維空間中的“超球體”的方程。普林斯頓高級(jí)研究學(xué)院的弦論學(xué)家威頓說(shuō)：“（這種高維方程）結(jié)果處理起來(lái)不算困難。”

從數(shù)學(xué)上看的確如此，但我們總不免好奇，那些高維數(shù)的物體實(shí)際上看起來(lái)是什么樣的。紐約大學(xué)物理學(xué)家賈·德瓦利認(rèn)為，這實(shí)際上無(wú)關(guān)緊要，只要你腦子里能夠想象出一些管用的圖像就行了。他說(shuō)：“方程的本質(zhì)通過(guò)圖像和動(dòng)畫(huà)可以非常容易地記在腦子里。”對(duì)他而言，牛頓引力定律的圖像是一個(gè)有質(zhì)量的物體產(chǎn)生的引力場(chǎng)的力線沿所有方向延伸到無(wú)限遠(yuǎn)處。不管你想象的空間有多少維，這幅圖像同樣有效。他認(rèn)為，這種物理圖像雖然與實(shí)際的額外維空間無(wú)關(guān)，但是它讓我們可以很容易地把定律推廣到高維空間。