解析幾何中的定值證明

幾何的定值問題既是難點(diǎn)問題，也是重點(diǎn)問題.解析幾何中的定值問題，一般是指在諸如動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)直線、動(dòng)弦、動(dòng)角、動(dòng)軌跡等動(dòng)態(tài)事物中尋求某一個(gè)不變量的一定值.定值問題經(jīng)常在解答題中以證明題的形式出現(xiàn)，有時(shí)還需要考生自己探究出定值，然后給出證明.解析幾何中的定值問題的證明一般考查定量問題和定形問題.

例題:已知焦點(diǎn)在x軸上，離心率為的橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)是拋物線y=x2的焦點(diǎn)，過橢圓右焦點(diǎn)F的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)M，且=1，=2，

(1)求橢圓方程;

(2)證明:1+2為定值.

點(diǎn)撥:(1)由題意知b=1，e==，∴ a2=5，所以橢圓的方程為+y2=1.

(2)初看本證明題，可發(fā)現(xiàn)本題是一道常規(guī)的橢圓與直線相交的題目，所以可以從常規(guī)方法入手.但細(xì)看此題，又可發(fā)現(xiàn)本題有個(gè)顯眼的條件——向量的關(guān)系式，那么對(duì)于本題，能否跳過常規(guī)思路，從向量這一條件去著手解答呢?以下，我們可以分析比較一下這兩種方法帶來的不同效果.

若從橢圓與直線相交入手，關(guān)鍵是聯(lián)立它們的方程，所以需先設(shè)出直線方程(設(shè)直線方程需注意其斜率是否存在，本題直線斜率顯然存在)，然后聯(lián)立方程，消去y可得關(guān)于x的一元二次方程為(1+5k2)x2-20k2x+20k2-5=0(這一步是同學(xué)們?nèi)菀壮鲥e(cuò)的地方，而且這一步出錯(cuò)將直接影響后面的解題)，再通過設(shè)而不求法即可解題.設(shè)而不求法的關(guān)鍵在于利用韋達(dá)定理即x1+x2=，x1x2=，此時(shí)利用向量相等這個(gè)條件將1、2用x1、x2表示出來:1=，2=，兩式相加后化簡(jiǎn)為x1+x2、x1x2的形式，再將韋達(dá)定理代入即可.但是，將韋達(dá)定理代入計(jì)算定值時(shí)計(jì)算量是比較大的，所以也容易算錯(cuò).

而若從向量入手，則需將相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)求出或設(shè)出: F(2，0)，A(x1，y1)， B(x2，y2)，M(0，y0)，再通過=1，=2分別將x1、y1用1表示出來和將x2、y2用2表示出來，即x1=，y1=和x2=，y2=.這一步對(duì)同學(xué)們來講不難做到，但下一步該做什么是多數(shù)同學(xué)都茫然的地方.我們?cè)俜治鲱}意便可發(fā)現(xiàn)條件“過橢圓右焦點(diǎn)F的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)”即A、B是橢圓上的兩點(diǎn)沒有派上用場(chǎng)，而A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)已表示出來，只需代入橢圓方程即可得:

+=1，+=1，消去y0便可得到1+2=-10(定值).

啟示:本題有兩個(gè)切入口，一是橢圓與直線相交，二是向量.從橢圓與直線相交入手，是同學(xué)比較容易想到的思路，因?yàn)檫@是解析幾何中最常規(guī)的思路.而從向量入手這一思路相對(duì)同學(xué)們而言比較難想得到，但一旦想到解決起來要比常規(guī)解法簡(jiǎn)單得多.所以對(duì)于解析幾何的證明題，除了要掌握常規(guī)解法之外，還需多反思一些新穎的解法，多從其他角度去考慮問題.這也是對(duì)同學(xué)們思維創(chuàng)新能力的重要考量.

練習(xí):已知點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2≠0 )是拋物線y2=2px(p>0)上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，向量，滿足|+|=|-|. 設(shè)圓C的方程為x2+y2-(x1+x2)x-(y1+y2)y=0，證明線段AB是圓C的直徑.

提示:此題是證明解析幾何中的定直徑(即定弦)問題. 要證明線段AB是圓C的直徑，首先要注意到圓的性質(zhì)——圓的直徑所對(duì)的圓周角是直角，然后再利用此性質(zhì)證明以線段AB為直徑的圓的方程剛好和圓C的方程相同即可. 證以線段AB為直徑的圓的方程即為圓C的方程至少有三種思路:思路一是利用兩向量垂直則數(shù)量積為0來解決，思路二是利用兩直線垂直則斜率乘積為-1來解決，思路三是利用A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)求出其圓心和半徑，直接代入圓的方程得到解決.其中思路一和思路二是證明兩直線垂直時(shí)的常用方法，思路三則有所創(chuàng)新.

反思:在解析幾何中，定值問題往往是與圓錐曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離、過焦點(diǎn)的直線等密切相關(guān)的，因而在這種情況下，我們可以靈活運(yùn)用圓錐曲線的定義、圓錐曲線的焦半徑公式、直線和圓錐曲線方程的關(guān)系、向量知識(shí)以及其他有關(guān)知識(shí)等，證明與其相關(guān)的定值.總而言之，定值問題較為廣泛地聯(lián)系著不同的數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法，滲透著多種數(shù)學(xué)基本思想，因而考生在對(duì)待這類問題時(shí)應(yīng)該加強(qiáng)數(shù)學(xué)基本知識(shí)和綜合能力的鍛煉，才能達(dá)到觸類旁通、舉一反三的功效.