圓. 向量數量積.定值

例題 如圖1，已知圓M為Rt△ABC的外接圓，A(-2，0)，B(0，-2)點C在x軸上，點P為線段OA的中點，若DE是圓M中繞圓心M運動的一條直徑，試探究·是否為定值?若為定值，請求出;若不為定值，請說明理由.

探究 設點C的坐標為(x，0)，Rt△ABC中，AB⊥BC，故kAB·kBC=-1，即有×=-1，求得x=4，圓M中，易得M(1，0)，又點P為線段OA的中點，故P(-1，0).探究·是否為定值，可先從特殊位置入手，當DE與AC重合時，·=·=1×5×cos180°=-5;當DE與AC垂直時，有D(1，3)，E(1，-3)，故=(2，3)，=(2，-3)，此時·=22-32=-5，故猜想·為定值-5，證明如下:

點撥一 (設而不求)

設D(x1，y1)，E(x2，y2)，當直線DE的斜率存在時，不妨設其為k，則直線DE的方程為y=k(x-1)…①，又圓M的方程為(x-1)2+y2=9…②，由①②聯立方程組消去y得:x2-2x+=0，利用根與系數的關系有:x1+x2=2，x1x2=，所以y1y2=k2(x1-1)(x2-1)=k2·[x1x2-(x1+x2)+1]=-.

而=(x1+1，y1)，=(x2+1，y2)，則·=(x1+1)(x2+1)+y1y2=3-=-5，特別地，當直線DE的斜率不存在時，·=-5，故總有·=-5.

點撥二 (整體思想)設D(x，y)，則E(2-x，y)，此時=(x+1，y)，=(3-x，y)，故·=(x+1)(3-x)-y2=4-[(x-1)2+y2]=4-9=-5.

點撥三 (化歸思想)

·=(·)·(·)=2+·(·)++=4+0-9=-5.

點撥四 (利用向量的投影)

如圖2，延長EP交圓M于點Q，連結DQ，則·=cos∠DPE=-×cos∠DPA ×=-==-5.

點評 思路一容易想到，但有一定的運算量，特別是直線的斜率是否存在的討論容易被忽略;思路二利用圓的對稱性在思路一的基礎上優化了設法，進而利用整體思想巧妙求解;思路三由于、的長度、夾角均在變化，直接用定義求解不方便，故利用圓的性質將其轉化成有長度、有夾角的向量后再求解，這體現了化歸的思想;思路四揭示了本題中運動定常的內在原因.

再探究 給定半徑為r的圓M，直徑DE繞圓心M旋轉，動點P沿給定的方向從圓心M向圓外運動，探究·的變化情況.

如圖3，設定方向為的方向，下面分三種情形討論:

(1)(點P在圓M內)特別地，當動點P與圓心重合時，·=-r2，當動點P在圓內且不是圓心時，·=cos∠DPE=-，由相交弦定理知·=-;

(2)(點P在圓M上)·=0;

(3)(點P在圓M外)·=cos∠DPE=，由切割線定理知·=s2(s為由點P引圓M的切線長).

由此可見，本題是基于圓冪定理而提出的探究性問題，當點P從圓心沿定方向向圓外運動時，·變化情況為:-r2→0→s2→+∞，并且只要給定點P的位置，·就為定值.

類題練習 已知圓C:x2+(y-3)2=4，一動直線l過A(-1，0)與圓C相交于P、Q兩點，M是PQ中點，l與直線m:x+3y+6=0相交于N.

(Ⅰ)求證:當l與m垂直時，l必過圓心C;

(Ⅱ)當PQ=2時，求直線l的方程;

(Ⅲ)探索·是否與直線l的傾斜角有關，若無關，請求出其值;若有關，請說明理由.

答案 (Ⅰ)∵l與m垂直，且km=-，∴ k1=3，又kAC=3，所以當l與m垂直時，l必過圓心C.

(Ⅱ)①當直線l與x軸垂直時，易知x=-1符合題意.

②當直線l與x軸不垂直時，設直線l的方程為y=k(x+1)，即kx-y+k=0，

因為PQ=2，所以CM==1，則由CM==1，得k=，

∴直線l:4x-3y+4=0. 從而所求的直線l的方程為x=-1或4x-3y+4=0.

(Ⅲ)因為CM⊥MN，∴ ·=(+)·=·+·=··當l與x軸垂直時，易得N(-1，-)，則=(0，-)，又=(1，3)，∴ ·=·=-5.

當l的斜率存在時，設直線l的方程為y=k(x+1)，

則由y=k(x+1)，x+3y+6=0，得N(，)，則=(，)，

∴ ·=·=+=-5.

綜上，·與直線l的斜率無關，且·=-5.

另解1:①當l與x軸垂直時，易得M(-1，3)，N(-1，-)，又A(-1，0)，則=(0，3)，=(0，-)，∴ ·=-5.

②當l的斜率存在時，設直線l的方程為y=k(x+1)，代入圓的方程得(1+k2)x2+(2k2-6k)x+k2-6k+5=0，則xM ==，yM =k(xM+1)=，

即M(，)，則=(，).

又由y=k(x+1)，x+3y+6=0，得N(，)， 則=(，)，

∴ ·=+

==-5.

綜上，·與直線l的斜率無關，且·=-5.

另解2:連結CA并延長交m于點B，連結CM，CN，由(Ⅰ)知AC⊥m，又CM⊥l，∴四點MCNB都在以為CN直徑的圓上，由相交弦定理得:·=-AM·AN=-AC·AB=-5.

責任編校徐國堅