非圓錐齒輪的設計及運動學仿真

李文長，賈巨民，張學玲

(1.軍事交通學院 研究生管理大隊，天津 300161；2.軍事交通學院 軍事物流系，天津 300161)

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● 基礎科學與技術Basic Science & Technology

非圓錐齒輪的設計及運動學仿真

李文長1，賈巨民2，張學玲2

(1.軍事交通學院 研究生管理大隊，天津 300161；2.軍事交通學院 軍事物流系，天津 300161)

為提高變傳動比差速器的鎖緊系數，基于保測地曲率映射的非圓錐齒輪設計方法，提出一種非圓錐齒輪的傳動比規律，設計該非圓錐齒輪，建立三維模型，對非圓錐齒輪的傳動進行運動學仿真。將仿真數據與理論計算結果進行對比，驗證了理論設計方法及其模型建立的正確性。

非圓錐齒輪設計；運動仿真；誤差分析

非圓錐齒輪綜合了非圓齒輪與圓錐齒輪的特性，既能夠實現相交軸之間的傳動，又能夠實現變速比傳動。對稱安裝的非圓錐齒輪具有結構緊湊、傳動平穩、傳動效率高且易實現動平衡等優點[1]。非圓錐齒輪作為一種新型的齒輪傳動形式，目前尚無成熟的理論和方法來指導非圓錐齒輪的設計。林超等[1]基于傳統的齒輪范成法原理，對高階橢圓錐齒輪的設計計算方法進行了研究；姜虹等[2]提出了一種非圓錐齒輪的當量設計方法；賈巨民等[3]提出了一種利用保測地曲率映射的方法將非圓錐齒輪球面節曲線映射到平面，將空間嚙合問題轉換為平面問題，給出了齒形的設計計算方法。這些研究成果對非圓錐齒輪的設計制造與推廣應用提供了途徑，但是由于非圓錐齒輪結構的復雜性，均未對所設計的非圓錐齒輪運動規律作詳細分析研究。

1　非圓錐齒輪設計

1.1傳動比變化規律和節曲線設計

對于如圖1所示的一對錐齒輪傳動，當齒輪副的軸間夾角之和∑=δ1+δ2=90°，傳動比為

(1)

式中：φ1、φ2分別為主動齒輪與從動齒輪轉角；δ1、δ2分別為主動齒輪與從動齒輪節錐角。

圖1　一對錐齒輪傳動示意

對于非圓錐齒輪來說，兩個齒輪的節錐角δ1、δ2不再是定值，而是關于兩個傳動齒輪轉角φ1或φ2的函數。

正弦曲線運動規律的加速度規律為余弦規律，加速度曲線連續。由齒輪傳動理論，傳動比函數為周期函數，既保證節曲線的封閉，又使傳動比周期性變化，同時余弦加速度規律減小了沖擊。因此，本文選用傳動比規律為

(2)

根據幾何關系，齒輪1,2的球面節曲線可分別表示為

(3)

式中R為球面半徑。

根據式(1)和式(2)，可得到非圓錐齒輪的δ1、δ2、φ2關于φ1的函數關系為

代入式(3)即為以φ1為參數的球面節曲線方程。

1.2節曲線平面映射

根據微分幾何曲面論的基本定理[2]，若曲面Σ上一條曲線Γ在平面上π展開為平面曲線Γ*，則Γ在曲面上的測地曲率κg等于Γ*在平面上的相對曲率κr，即

κg=κr

(4)

結合平面曲線論的唯一存在定理[4]，已給一個閉區間[s0，s1]里的連續函數kr(s)，平面曲線上的一個點(x0,y0)，和一個矢量a=icosψ0+jsinψ0，有且僅有一條平面有向曲線為

r=x(s)i+y(s)js0

(5)

因此，只要給出曲面上一條曲線的測地曲率以及初始條件，就可以唯一確定一條平面展開曲線，映射后得到平面曲線為

(6)

式中s0、s1、ψ0、x0、y0由邊界條件確定。

對于本文實例，按上述方法求出其平面映射節曲線如圖2所示，非圓錐齒輪副的嚙合傳動相當于圖2中節曲線的純滾動。

圖2　球面節曲線在平面上伸展—映射節曲線

1.3平面齒形設計

通過解析法直接由節曲線方程推導齒形方程，根據基本嚙合原理[5]，采用漸開線齒形為例進行說明。如圖3所示，以節曲線上的右齒形為例，則齒形上任意一點b的方程可寫為[6]

rb=ra+Iab

(7)

式中：ra為節曲線a點處的矢徑；Iab為齒形上b點的法矢量。

根據齒形法線法原理(如圖3所示)，有

Iab=a0acosαn=scosαn

(8)

式中αn為齒條刀具齒形角。

圖3　齒形計算原理

(9)

同理，可得出左齒形方程

(9)

根據以上公式，以當量齒輪節曲線為基礎，就可以借助平面嚙合原理進行非圓錐齒輪傳動的齒形分析和設計。

1.4非圓錐齒輪模型創建

給定齒厚、頂圓高和齒根高，結合數學軟件，根據設計理論編制數學程序，計算錐齒輪的齒廓坐標，將齒廓坐標計算結果導入Solidworks軟件中，利用輪廓數據點生成樣條曲線來創建齒輪齒廓，生成非圓齒輪三維模型。用上述方法設計的非圓錐齒輪對如圖4所示，齒數分別為7、14。同理設計齒數分別為9、18的齒輪對。

圖4　7—14齒非圓錐齒輪對

2　運動學仿真分析

為檢驗所設計非圓錐齒輪對的運動情況，檢查其齒形能否正確嚙合，以及兩個齒輪能否提供預設的傳動比，要對其三維模型進行干涉檢查和運動學仿真。

2.1仿真分析方法

將設計的大小兩個非圓錐齒輪進行配合，創建非圓錐齒輪裝配仿真模型(如圖4所示)。小齒輪為主動齒輪，繞其固定軸線轉動，通過齒輪間的嚙合，將運動傳遞給大齒輪，大齒輪繞其軸線轉動。

進入SolidWorks Motion分析環境，選取兩個模型，對裝配好的兩個齒輪進行接觸的定義[7-9]。定義伺服電動機，選擇小齒輪的連接軸作為伺服電動機的驅動對象，并且規定電動機的轉動方向，設定小齒輪的當前位置為初始位置，定義伺服電動機的速度為常數“60 r/min”。

最后，對運動分析屬性進行設置，運動幀數設置1 000，接觸精度0.000 000 001，高級設置中設置解算器WISTIFF，以獲得足夠的運動數據，保證運動分析數據的精確性。

2.3運動分析數據獲取

運動分析后，可得大齒輪運動仿真速度數據，取極限位置為起始點，一個周期的數據分析。部分數據見表1。

2.4誤差計算及分析

設計不同齒數的非圓錐齒輪進行配合，分別設計7齒與14齒、9齒與18齒兩組齒輪進行嚙合運動仿真。小齒輪轉速n1=360 deg/s，代入傳動比設計規律式(2)，則大齒輪的理論角速度為n2t=n1i12=360×i12。

表1　齒輪運動仿真速度數據與理論角速度

對于數據采集點j處，其理論速度與仿真分析角速度差為

Δnj=n2t-n2

(10)

則角速度差的均值為

(11)

則角速度差的方差為

(12)

對角速度差數據處理，計算其均值和方差。去除運動仿真時嚙合機構運行的啟動階段數據，速度曲線及計算結果見表2。

從7—14齒齒輪對模型計算結果可以看出，仿真速度曲線與理論設計曲線相吻合，速度差值較小，由方差可以看出理論與分析速度差變化幅度小，運動相對穩定。

表2　大齒輪理論與仿真分析計算結果

設計9—18齒齒輪對模型，與7—14齒齒輪對模型進行對比，由于齒數的增加，嚙合傳動更加充分，速度差的均值變小，其方差也變小，運動更平穩。兩組模型的均值和方差計算結果都較小，在合理范圍內，表明非圓錐齒輪的設計計算、模型建立以及仿真方法的正確性。

但從兩組模型的仿真速度曲線可以看到，在靠近速度最大與最小的極限位置，速度波動程度相對較大，出現小幅度速度突變。以7—14齒齒輪對為例，速度突變處對應的極限位置分別如圖5、圖6所示。

圖5　極限位置1

圖6　極限位置2

節曲線的設計在理論上是處處光滑的，極限位置1、2處既是傳動比變化最大處，也是節曲線變化最大處，該位置出現速度曲線突變的原因，一方面是該處曲線齒廓曲線精度較低，另一方面齒廓曲線采用數值方法來設計，必然存在一定誤差，這也是未來需要深入研究之處。

通過分析可知：齒數增加可以減小誤差，但齒數增加同時減小輪齒的“模數”，從而減小抗彎強度，這是實際的一個矛盾點；另一方面，減小鎖緊系數可以減小誤差，這與設計期望相矛盾。綜合考慮，設計參數合理，且在工程誤差允許范圍內。

3　結　語

本文基于保測地曲率映射的非圓錐齒輪傳動設計分析方法，提出新的傳動比規律，設計非圓錐齒輪，提高鎖緊系數。設計兩組不同齒數的配合齒輪對，分別進行運動仿真以及誤差分析，均值和方差計算結果都在合理范圍內；分析了最大誤差位置及誤差產生的主要原因，齒數增加可以減小誤差，使運動更平穩，增大鎖緊系數會增大誤差。所設計齒輪能實現預期的運動特性，為非圓錐齒輪的設計和制造提供了參考方法和理論依據。

[1]林超，龔海，侯玉杰，等．高階橢圓錐齒輪齒形設計與加工[J]．中國機械工程，2012，23(3)：253-254．

[2]姜虹，王小椿. 三周節變傳動比限滑差速器設計與實驗[J]. 農業機械學報，2007,38(4)：31-34.

[3]賈巨民，高波，趙德龍．基于保測地曲率映射的非圓錐齒輪傳動設計分析方法[J]．機械工程學報，2008，44(4)：53-57．

[4]吳大任. 微分幾何學講義[M]．北京：人民教育出版社，1982：222-225．

[5]李福生，尹種芳，張遵連，等．非圓齒輪與特種齒輪傳動設計[M]．北京：機械工業出版社，1983：111-117．

[6]賈巨民，高波，索文莉，等．越野汽車新型變速比差速器的研究[J]．中國機械工程，2012,23(23)：2845-2846．

[7]顧婷婷．槽輪機構在SolidWorks中的建模裝配與運動分析[J]. 機械工程與自動化，2007，142(3)：144-145.

[8]柴樹峰，張學玲，李玉蘭．非圓齒輪設計及運動學仿真分析[J]．軍事交通學院學報，2014，16(9)：36-40．

[9]林超，侯玉杰，冉小虎，等．高階橢圓錐齒輪的傳動模型與干涉檢查的運動仿真[J]．重慶大學學報，2010，33(10)：4-5．

(編輯：史海英)

Design and Kinematic Simulation of Noncircular Bevel Gears

LI Wenchang1, JIA Jumin2, ZHANG Xueling2

(1.Postgraduate Training Brigade, Military Transportation University, Tianjin 300161,China;2.Military Logistics Department, Military Transportation University, Tianjin 300161,China)

To improve the locking coefficients of variable ratio differentials, by using preserved geodesic curvature designing method, this paper presents the laws of transmission ratio, comes up with a new design of noncircular bevel gear and builds a 3-Dimentional model by which kinematical simulation are carried out with the transmission of this gear. The comparison between the data obtained from the kinematic simulation and the results of the theoretical calculation verifies the method and the model.

noncircular bevel gear; kinematic simulation; error analysis

2015-10-15；

2015-11-13．

天津市應用基礎與前沿技術研究計劃項目(12JC2DJC34600)．

李文長(1992—)，男，碩士研究生；

賈巨民(1965—)，男，博士，教授，碩士研究生導師．

10．16807/j.cnki.12-1372/e.2016.07.021

TH132.4

A

1674-2192(2016)07- 0091- 05