差異產品的最優定價決策

李梅英，趙　晗， 陳　靜，李亞玲

(1.軍事交通學院 基礎部，天津 300161； 2.軍事交通學院 學員旅，天津 300161)

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● 基礎科學與技術Basic Science & Technology

差異產品的最優定價決策

李梅英1，趙晗2， 陳靜1，李亞玲1

(1.軍事交通學院 基礎部，天津 300161； 2.軍事交通學院 學員旅，天津 300161)

針對差異產品定價問題，考慮有一個制造商和兩個零售商組成的供應鏈系統，該制造商生產兩種差異產品并把這兩種產品分別批發給這兩個競爭的零售商，然后再由他們銷售給顧客。利用博弈論的方法在兩種不同情形下探討了該供應鏈中每一個參與企業的定價決策，研究了各參與企業在面臨變化的環境時的決策行為，分析了參數對于各參與企業的決策及收益的影響，可為企業決策提供一定的理論依據。

定價決策；博弈論；差異產品

近年來，許多制造商通過分離他們的基本產品的一些關鍵屬性 (如顏色、外觀形狀、附加功能等)來擴大產品的種類，以此來贏得更多的產品市場份額。Ho等[1]指出許多公司每年都以高于10%的速度擴大自己產品的種類。盡管增加產品的種類能得到消費者的極大歡迎，但是這同時也給零售商帶來了許多新的挑戰。首先，同一種產品的不同類型(如不同顏色、不同外觀形狀、不同附加功能等)之間在某種程度上存在著需求相互替代的關系，在這種情形下零售商該如何決定產品的分類以最大化自己的銷售利潤？其次，對于給定的產品種類零售商該如何決策每種產品的訂貨量來最大化自己的利潤？第三，當不同類型的產品可以產生需求互相替代時，零售商如何通過調整零售價格來最大化自己的利潤？對于存在零售競爭的零售商來講，既不能把自己所銷售的產品價格定得過高，否則，市場對自己所售產品的需求會轉移到競爭者所售的產品上去；同樣，也不能把自己所銷售的產品價格定得過低，否則，會降低自己的銷售利潤。

目前一些關于差異產品的定價問題的研究，陳兆波等[2]針對產品的品牌和產地存在的差異性，研究了供應鏈網絡的均衡模型，構建了具有隨機需求的多種差異產品的供應鏈網絡均衡模型，運用隨機效用理論和多項式logit模型分析了需求市場上產品的隨機選擇問題。羅勇等[3]研究了商品存在彈性需求的情況下，企業銷售功能相同但有差異產品時的選址和定價問題，基于Hotelling模型，建立了彈性差異產品的雙寡頭競爭選址定價模型，利用兩階段博弈過程，得出了企業的最優選址和相應定價。Tsay等[4]研究了有一個制造商和兩個獨立的零售商組成的銷售系統，該制造商為這兩個零售商供應同一種產品。Zhao等[5]研究了由一個零售商、一個制造商組成的系統的多周期問題，在該模型中需求是確定的、價格是敏感的、依賴于時間的。

與現有研究不同，本文考慮了一個存在零售競爭的差異產品的二級供應鏈定價博弈問題，產品的需求依賴于存在競爭的兩種差異產品的零售價格，利用博弈論方法給出了在3種不同情形下制造商和零售商的最優決策，同時分析了參數對于企業決策的影響。

1　問題描述與建模

假設系統中有一個制造商和兩個競爭的零售商(分別記作零售商1、零售商2)，該制造商生產兩種不同的差異產品(分別記作產品1、產品2，產品i的單位制造費用為ci,i= 1,2)，并且把這兩種產品分別批發給這兩個獨立經營的零售商(把產品1批發給零售商1，把產品2批發給零售商2，產品i的單位批發價格為wi)，然后再由他們銷售給終端顧客。假定每一種產品的市場需求都是只依賴于這兩種產品的零售價格的確定性需求，產品i的需求函數定義為

Di(pi,pj)=ai-βpi+γpj

(1)

式中：i、j=1、2,i≠j，aj>0，0<β<1，0<γ<β；pi為零售商i對于產品i所給出的零售價格；ai為該種產品的市場基礎，假定參數ai足夠大以保證需求Di的取值總是非負的；β為每種產品的市場需求對于其自身零售價格反應程度的度量，即價格彈性；γ為每種產品的市場需求關于競爭產品價格敏感程度的度量。

假定在各參與企業之間沒有任何勾結或合作，每一個系統成員都有相同的目標，即最大化自己的利潤，并且他們之間的信息是對稱的、完全的，制造商決策兩種產品的批發價格來最大化自己的利潤，兩個零售商分別決策他們各自所銷售產品的零售價格來最大化自身利潤。即零售商i的目標是最大化自己的利潤(記作πri)，πri定義為

πri=(pi-wi)Di(pi,pj)

(2)

式中：i=1，2;j=3-i；wi為制造商所給出的產品i的批發價格。

制造商的目標是最大化自己的利潤(記作πm)，πm定義為

(3)

注意到每一個系統成員在系統中的地位可以影響本模型中價格博弈的求解順序。一般來說，在一個行業中處于壟斷地位的制造商所擁有的討價還價能力要比相應的零售商所擁有的討價還價能力強，因此在實際決策上就具有優先地位；相反，如果零售商具有較強的協商能力，則他們就可以在某種程度上降低制造商的利潤，而將這部分利潤轉移到自身上。因此，研究探討供應鏈系統中的成員的協商能力如何影響供應鏈系統的平衡解是非常重要的。本文分別按制造商是主導者的Stackelberg博弈、零售商是主導者的Stackelberg博弈兩種情況進行討論分析。

2　模型求解

2.1制造商是主導者的 Stackelberg 博弈

2.1.1零售商的決策

在制造商是主導者的Stackelberg博弈中，制造商首先給出他的兩種產品的批發價格，零售商根據制造商所給出的兩種產品的批發價格，同時決策他們將對各自所售產品所要收取的零售價格。考慮到兩個零售商要同時給出決策，我們需要首先求解他們之間的Nash均衡解。

(4)

利用式(1)(2)，可以求得其一階導數分別為

(5)

(6)

利用式(5)(6)可得二階導數為

(7)

由式(7)看出零售商i的利潤函數πri是關于決策變量pi的凹函數。因此根據上面所得到的一階和二階最優條件可以算出每一個零售商的最優零售價格。

令式(5)(6)等于零，并同時求解兩個方程，可得在制造商是主導者的Stackelberg博弈方式下，給定制造商關于兩種產品的批發價格w1、w2時，兩個零售商的最優零售價格分別為

(8)

(9)

2.1.2制造商的決策

(10)

(11)

(12)

式中：M=a1-a1A+(a2-a1)E-a2B+Gc2-Hc2；N=D+F+G；Q=F-C+H；R=a2-a2A+(a1-a2)E-a1B+Gc2-Hc1。

2.2零售商是主導者的Stackelberg博弈

零售商是主導者的Stackelberg博弈情形發生在零售商的地位比其制造商的地位高的情形，如沃爾瑪、家樂福、蘇寧電器、國美電器等大的零售商要比許多制造企業擁有更高的討價還價能力(或者說協商能力)。在此，不失一般性，令mi表示零售商i在產品i上所獲得的利潤，即

pi=wi+mi

(13)

式中mi>0。

2.2.1制造商的決策

(14)

式中πm(wi,wj|p1，p2)為在給定零售商的決策結果p1、p2的條件下，且制造商給出的兩種產品的批發價格分別為w1、w2時的利潤。

利用式(3)可得πm關于w1，w2的一階導數(為了書寫方便，把πm(wi,wj|p1，p2)簡寫為πm)為

(15)

(16)

利用式(15)(16)可求得二階導數：

(17)

通過式(17)，可以驗證制造商的利潤函數πm關于w1、w2的Hessian矩陣是負定的。

令式(15)(16)等于零可得兩個方程，求解這兩個方程可得在零售商是主導者的Stackelberg博弈方式下，分別給定兩個零售商的零售價格p1、p2時,制造商的最優批發價格為

(18)

(19)

2.2.2零售商的決策

(20)

式中：i=1，2，j=3-i;πri(pi|pj，w1，w2) 為在給定零售商j的零售價格pj和制造商的批發價格w1、w2的前提下，零售商i設定產品i的價格為pi時的利潤。

利用式(1)及式(18)(19)，可以得到πri關于pi的一階、二階最優條件(為了書寫方便，把πri(pi|pj,w1，w2)簡寫為πri)。由二階最優條件可知利潤函數πri(pi|pj,w1，w2)是關于變量pi的凹函數。然后再對一階最優條件進行求解可得在零售商是主導者的Stackelberg博弈方式下，零售商1和零售商2的最優零售價格為

(21)

(22)

3　參數敏感性分析

利用數值算例來比較上面兩種情形所求得的理論結果，同時研究分析各參與企業在面臨談判地位變化的環境時的決策行為。通過上面不同情形下所求得的理論結果，很容易看出最優批發價、最優零售價以及需求數量都是兩種產品的市場基礎和生產費用的線性函數。下面分析兩種情形下參數β是如何影響產品的零售價格、批發價格以及各參與方的利潤。

3.1制造商主導情形下參數β的變化

從仿真結果(如圖1、2所示)可以看出，在制造商為主導者的情形下，兩種產品的批發價格、零售價格、市場需求量及制造商和零售商的利潤都隨參數β的增加而減少。

圖1　批發價格、零售價格關于β的變化

圖2　利用函數關于的β變化

3.2零售商主導情形下參數β的變化

從仿真結果(如圖3、4所示)可以看出，在零售商為主導者的情形下，兩種產品的批發價格、零售價格、市場需求量以及制造商和零售商的利潤都隨參數β的增加而減少。

圖3　批發價格、零售價格關于β的變化

圖4　利潤函數關于的β變化

4　結　語

本文考慮了包含一個制造商和兩個競爭零售商的二級供應鏈系統中的差異產品定價問題，利用博弈論方法，分別在兩種不同博弈方式下給出了每一個參與企業的定價決策。另外，還對相關參數進行了數值分析，這將為企業決策提供一定的理論依據。今后可以進一步研究隨機需求下企業的決策問題。

[1]HO T H, TANG C S. Research Advances in Product Variety Management[M]. Netherlands: Kluwer Publishers, 1998:25-26.

[2]陳兆波,滕春賢,姚鋒敏.具有隨機需求的多種差異產品供應鏈網絡均衡模型研究[J].經濟數學,2008,25(3)：271-276.

[3]羅勇,涂菶生,彭鐵根,等.具有購買彈性的差異產品選址定價研究[J].南開大學學報(自然科學版),2007,40(4)：78-82.

[4]TSAY A A, AGRAWAL N. Channel dynamics under price and service competition[J].Manufacturing and Service Operations Management, 2000, 2(4)：372-391.

[5]ZHAO W, WANG Y. Coordination of joint pricing-production decisions in a supply chain[J]. IIE Transactions, 2002(34): 701-715.

(編輯：張峰)

Optimal Pricing Decisions of Two Differentiated Products

LI Meiying1, ZHAO Han2, CHEN Jing1, LI Yaling1

(1.General Courses Department, Military Transportation University, Tianjin 300161, China;2.Cadets Brigade, Military Transportation University, Tianjin 300161, China)

As to the pricing of differentiated products, suppose there is a supply chain involving one manufacturer and two retailers. This manuafcturer manufactures two differentiated products and sells them respectively to the two retailers who then sell the products to their own end customers. In this paper, by using game-theoretical approach, we examined the pricing strategy of each involved party and the different decisions they make in different situations. We also analyzed the effects of the parameters on the decisions and profits each of them make. The study is of theoretical reference value for the decision-making of an enterprise.

pricing decision； game-theory； differentiated product

2015-12-09；

2016-01-27．

國家自然科學基金資助項目(60474062, 70501014)；軍事交通學院科研基金項目(2016B16).

李梅英(1981—)，女，碩士，講師.

10．16807/j.cnki.12-1372/e.2016.05.021

C934

A

1674-2192(2016)05- 0085- 05