基于P H D濾波的相控陣雷達多目標跟蹤算法

袁常順，王 俊，雷 鵬，孫進平，畢嚴先（北京航空航天大學電子與信息工程學院，北京100191）

基于P H D濾波的相控陣雷達多目標跟蹤算法

袁常順，王 俊，雷 鵬，孫進平，畢嚴先
（北京航空航天大學電子與信息工程學院，北京100191）

對于相控陣雷達方向余弦量測，采用擴展卡爾曼概率假設密度（extended Kalman probability hypothesis density，E K-P H D）濾波進行多目標跟蹤時，存在目標數(shù)估計偏高和目標狀態(tài)估計準確度低的問題。針對上述問題，提出了一種新的多目標跟蹤算法——無偏轉換量測概率假設密度（unbiased converted measurements P H D，U BC M-P H D）濾波算法。該算法采用方向余弦量測下的量測轉換方法，保留了更多的量測信息；同時對轉換后的量測偏差進行補償，使量測轉換誤差的均值、方差準確近似原始量測高斯分布的一、二階矩。仿真實驗表明，所提算法可提高目標數(shù)和目標狀態(tài)估計準確性。

相控陣雷達；多目標跟蹤；無偏轉換量測；隨機有限集；概率假設密度濾波

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0 引 言

在多目標跟蹤中，目標數(shù)的變化和量測信息的不確定給多目標跟蹤帶來巨大的困難。如何有效、實時地實現(xiàn)多目標跟蹤，一直是目標跟蹤領域研究的熱點和難點［1 3］。傳統(tǒng)的多目標跟蹤方法采用數(shù)據(jù)關聯(lián)技術，但隨著目標數(shù)或者雜波數(shù)的增加，其計算量指數(shù)增長，如：多假設跟蹤（multiple hypothesis tracking，M H T）［2，4 5］、聯(lián)合概率數(shù)據(jù)互聯(lián)（joint probabilistic data association，JP D A）［1，6］、概率多假設跟_蹤（probabilistic_ M H T，P M H T）［7］和多目標粒子濾波［8］。

近年來，Mahler以有限集統(tǒng)計學為基礎，提出了隨機有限集（random finite set，RFS）的方法。該方法提供了一個簡潔的公式描述多目標跟蹤，避免了數(shù)據(jù)關聯(lián)，很快成為了多目標跟蹤的研究熱點之一［3，9 23］。通過隨機有限集建模多目標狀態(tài)和量測，多目標跟蹤轉換為對多目標后驗密度估計的貝葉斯濾波。但由于多目標密度的組合特性和狀態(tài)、量測空間的多維積分，導致多目標貝葉斯濾波在許多實際應用中無法實現(xiàn)［9 10］。為了解決這個困難，概率假設密度（probability hypothesis density，P H D）濾波作為多目標貝葉斯濾波的一階矩近似被提出［9］。P H D濾波的優(yōu)點是在單目標狀態(tài)空間計算，避免數(shù)據(jù)關聯(lián)。現(xiàn)有PHD濾波實現(xiàn)主要包括：高斯混合PHD濾波、擴展卡爾曼PHD（extended Kalman PHD，EKPHD）濾波、不敏卡爾曼PHD（unscented Kalman PHD，UKPHD）濾波［11］、粒子P H D濾波［10］，以及改進算法［12 14］。到目前為止，P H D濾波已經(jīng)得到廣泛應用，例如：即時定位與地圖構建［15］、機動目標跟蹤［16］、雷達目標跟蹤［17］、圖像序列跟蹤［18］、擴展目標跟蹤［19］、主動聲學跟蹤［20］、醫(yī)學視頻跟蹤［21］等。

但是，對于P H D濾波在相控陣雷達應用的研究較少。相控陣雷達中，量測坐標通常為方向余弦坐標，因在方向余弦坐標下，天線方向圖不隨掃描角變化。采用E K-P H D濾波進行多目標跟蹤時，由于E K-P H D濾波采用一階泰勒級數(shù)近似，忽略高階項，在濾波過程中引入了近似誤差。針對這一問題，本文提出一種方向余弦坐標下無偏轉換量測概率假設密度（unbiased converted measurements，U BC M-P H D）濾波的相控陣雷達多目標跟蹤算法。該算法充分利用P H D濾波和無偏轉換的優(yōu)點，提高了濾波和目標數(shù)估計精度。算法首先根據(jù)非線性量測下的無偏轉換方法，給出了方向余弦坐標下的無偏轉換方法；然后將上述無偏轉換方法與P H D濾波結合實現(xiàn)U BC M-P H D濾波。實驗仿真驗證了該算法對相控陣方向余弦坐標下多目標跟蹤的準確性和有效性。本文的方法主要通過P H D濾波來實現(xiàn)，可直接被推廣到勢概率假設密度濾波［22］和勢平衡多目標多伯努利濾波［23］。

1 RFS及P H D濾波原理

假設k時刻有M（k）個狀態(tài)為xk，1，…，xk，M（k）的目標。傳感器在k 時刻接收到N （k）個量測zk，1，…，zk，N（k）。在這些量測中，一部分是真實目標產生的量測，一部分是虛假量測，同時有些真實目標產生的量測無法被檢測。基于RFS的多目標模型對目標狀態(tài)和量測沒有明確的順序要求，所以其可被表示為有限集的形式，即

若k-1時刻目標狀態(tài)為Xk-1，則k時刻的目標狀態(tài)Xk可表示為

式中，Sk|k-1（ζ）為k-1時刻到下一時刻存活目標狀態(tài)R FS；Bk|k-1（ζ）為k時刻由上一時刻狀態(tài)ζ衍生目標狀態(tài)R FS；Γk為k時刻新生目標狀態(tài)R FS［9］。

k時刻接收量測Zk可表示為

式中，Κk為雜波量測RFS；Θk（x）為真實目標產生量測RFS［9］。

根據(jù)最優(yōu)多目標貝葉斯濾波理論，基于R FS的多目標后驗概率密度的遞推表達式表示為

式中，fk|k-1（·|·）為狀態(tài)轉移概率密度函數(shù)；gk（·|·）為量測似然函數(shù)；μs為狀態(tài)空間近似Lebesgue測度［9］。

由于式（3）和（4）多維積分的計算量龐大，實現(xiàn)復雜，文獻［9］提出了利用多目標概率密度函數(shù)的一階矩P H D近似多目標后驗概率，實現(xiàn)對目標數(shù)時變且未知的多目標跟蹤。令vk|k-1和vk分別為k時刻的預測P H D和后驗P H D，則其可分別表示為

式中，βk|k-1（x）和γk（x）分別為衍生和新生目標狀態(tài)R FS的預測P H D；pS，k（ζ）為k-1時刻狀態(tài)ζ的目標在下一時刻存活概率；pD，k（x）為k時刻狀態(tài)x的目標檢測概率；κk（·）表示k時刻服從泊松分布雜波R FS的P H D［9］。

2 U BC M-P H D濾波

2.1 方向余弦坐標量測無偏轉換

在多目標跟蹤中，目標的狀態(tài)通常采用笛卡爾直角坐標系描述，但傳感器接收量測通常位于極坐標系或球坐標系。為了實現(xiàn)極坐標系或球坐標系的量測在笛卡爾直角坐標系下跟蹤，量測轉換方法被廣泛的使用。近年來，出現(xiàn)了大量關于量測轉換的改進算法［24 25］，其差異在于量測轉換偏差和方差的估計方法。相控陣雷達由于陣列天線是不動的，當掃描波束偏離法線方向時，波速將會展寬，同時波束形狀也有變化，若采用極坐標來分析會十分復雜，因此提出了方向余弦坐標。針對相控陣雷達方向余弦坐標系下的量測，本文給出了一種無偏量測轉換方法，準確近似了原始量測高斯分布的一、二階矩。

相控陣雷達量測為Zmcos=（Rmαm）T，假設真值為R，α，有

方向余弦量測噪聲Vk=（）T為零均值高斯白噪聲，其方差Rcos各分量為，。方向余弦坐標轉換到直角坐標為

類似于式（7），得到直角坐標真值為

將式（8）帶入式（9），化簡后得到的轉換誤差為因此，直角坐標系下誤差不再獨立，且該誤差與方向余弦、距離量測及原始量測誤差有關。此外，的統(tǒng)計特性未知，且β與α有如下的非線性關系為了使方向余弦坐標系量測轉換誤差的均值、方差準確近似原始量測高斯分布的一、二階矩，本文利用β在αm的四階展開β4來近似，其誤差為，則量測轉換偏差和方差如下：

式（12）中

最終得到的無偏轉換量測為Zcar=（αmRmβmRm）T+μ，方差為R。

2.2 U BC M-P H D

針對相控陣雷達的特點和E K-P H D濾波不足，本文提出了采用方向余弦坐標下無偏轉換量測的方法和基于隨機有限集的概率假設密度濾波對多目標進行跟蹤，在保證跟蹤精度的同時，實現(xiàn)對目標數(shù)精確的估計。該算法主要包含預測和更新兩部分：預測部分與標準的高斯混合P H D濾波相同；更新部分采用無偏轉換量測的方法將方向余弦坐標量測轉換為直角坐標量測更新目標狀態(tài)，具體如下。

預測 假設k-1時刻多目標后驗概率密度的P H D為高斯混合形式，且可表示為

假設新生目標和衍生目標的P H D也分別為高斯混合形式，且表示為

根據(jù)前面的假設，k時刻預測的P H D也為高斯混合的形式，可表示為

式中

pS，k為目標存活概率。

更新 假設k-1時刻預測P H D為高斯混合形式

k時刻，對于每一觀測z∈Zk，采用第2.1節(jié)給出的無偏轉換量測的方式，求出該量測對應的轉換偏差μk（z）和方差Rk（z）。則更新后的P H D可表示為

式中

該方法相比于文獻［11］中的E K-P H D濾波，通過將量測誤差轉移到與目標狀態(tài)相同的坐標中，在轉換中由于各個變量之間不再是相互獨立，因此轉換后的方差可包含更多的信息。但由于在轉換的過程中存在線性化誤差的問題，采用去偏方式對轉換后的量測進行補償，同時給出了對應的轉換方差，這樣保證在轉換過程中信息丟失最少，準確近似原始量測高斯分布的一、二階矩，提高了算法跟蹤性能。

3 仿真分析

采用一個目標數(shù)目時變且未知的二維相控陣雷達多目標跟蹤場景來驗證本文算法。目標的運動和量測模型分別表示為

仿真場景中共包含12個目標，起始時刻存在2個勻速運動的目標，接著分別有10個勻速和直角轉彎運動的新生目標出現(xiàn)，真實運動參數(shù)如表1所示。新生目標R FS的P H D為

表1 目標真實運動參數(shù)

采樣間隔取T=1 s，共采樣100個時刻，對于E K-P H D和U BC M-P H D兩種濾波算法的最多高斯分量數(shù)為100。仿真場景如圖1所示，其中和□分別表示目標運動起始和結束位置。

圖1 包含雜波量測的目標真實軌跡

圖2給出了U BC M-P H D濾波算法單次仿真實驗對多目標位置的估計結果。從仿真結果可以看出給出的算法可在大量虛警雜波中正確跟蹤單獨目標運動和不同的目標新生和消失量測。

圖2 U B C M-P H D濾波位置估計

通過采用目標航跡固定但雜波量測隨機產生的100次蒙特卡羅實驗來驗證算法的性能。圖3和圖4分別給出了E K-P H D和U BC M-P H D濾波算法的目標數(shù)估計均值和標準差比較結果。從圖中可以看出，U BC M-P H D濾波算法的目標數(shù)估計均值更接近于真實目標數(shù)，E K-P H D濾波算法的目標數(shù)估計均值偏高；U BC M-P H D濾波算法的目標數(shù)估計標準差小于E K-P H D濾波算法。因為U BC M-P H D濾波算法在進行量測更新時，采用轉換量測的方式將量測的誤差全部轉移到與運動狀態(tài)相同的坐標系下，保留了更多的量測信息；同時本算法對轉換后量測偏差進行補償，使量測轉換誤差其均值、方差準確近似原始量測高斯分布的一、二階矩，改善了濾波性能。但E K-P H D濾波算法采用一階泰勒級數(shù)近似，忽略高階項，在濾波過程中引入了近似誤差，同時丟失部分量測信息。

圖3 E K-P H D和U B C M-P H D目標數(shù)估計均值

圖4 E K-P H D和U B C M-P H D目標數(shù)估計標準差

利用最優(yōu)子模式分配（optimal subpattern assign ment O SP A）距離對以上算法性能進行綜合評價，其定義為［26］

式中，p=1，c=300。

圖5給出了兩種算法的O SP A距離比較結果。從圖中可知U BC M-P H D濾波算法的O SP A距離小于E K-P H D濾波算法，進一步表明本文提出的算法具有更高的跟蹤精度；同時發(fā)現(xiàn)在目標數(shù)發(fā)生變化的時刻出現(xiàn)峰值，這主要是在目標新生的時刻，由于有新生目標加入，目標數(shù)出現(xiàn)變化，濾波器在該時刻對于目標數(shù)的估計偏離真實目標數(shù)（如圖3所示）。

圖5 E K-P H D和U BC M-P H D的O SP A距離

圖6給出了在不同雜波密度ρc下兩種濾波跟蹤性能，其中檢測概率pD，k=0.98。采用O SP A距離來進行比較，從比較結果可顯著的發(fā)現(xiàn)U BC M-P H D濾波算法的性能優(yōu)于E K-P H D濾波算法；同時隨著雜波密度ρc的增加，兩種算法的性能都降低。

圖7給出了不同檢測概率pD，k下兩種濾波跟蹤性能，其中雜波密度固定為ρc=31.25×10-3個/k m2。仍然采用O SP A距離來進行比較，從比較結果可以顯著的發(fā)現(xiàn)兩種濾波算法的跟蹤性能隨著pD，k的減小而變差。這主要是由于P H D濾波必須在解決比較高的檢測不確定性的基礎上接著解決目標數(shù)不確定，因此隨著檢測不確定的增加，目標的不確定性也增加了。但由于本文算法考慮了轉換量測后偏差的補償，因此跟蹤性能會優(yōu)于E K-P H D濾波算法。

圖6 不同雜波率下的O SP A距離

圖7 不同檢測概率下的O SP A距離

4 結束語

在相控陣雷達中，量測坐標通常為方向余弦坐標，采用E K-P H D濾波算法進行多目標跟蹤時，由于E K-P H D濾波采用一階泰勒級數(shù)近似，忽略高階項，在濾波過程中引入了轉換誤差。針對這一問題，本文提出了一種基于隨機有限集的U BC M-P H D濾波算法，該算法采用轉換量測的方式將量測誤差轉移到與運動狀態(tài)相同的坐標系下，保留了更多的量測信息；同時對轉換后的量測偏差進行補償，使量測轉換誤差的均值、方差準確地近似原始量測高斯分布的一、二階矩。仿真結果表明，本文所提算法可提高目標狀態(tài)和目標數(shù)估計準確度。該算法主要通過P H D濾波來實現(xiàn)，可以直接被推廣到勢概率假設密度濾波和勢平衡多目標多伯努利濾波。

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Multi-target tracking based on P H D filter for phased array radar

Y U A N Chang-shun，W A N G Jun，L EI Peng，S U N Jin-ping，BI Yan-xian
（School of Electronics and Information Engineering，Beihang University，Beijing 100191，China）

The extended Kalman probability hypothesis density（E K-P H D）filter has a higher biasin the estimation of the number of targets and a lower estimation accuracy oftheir states by using the direction cosine coordinate measurements for the phased array radar.To solve this problem，a novel multi-target tracking algorith m called unbiased converted measurements probability hypothesis density（U BC M-P H D）filter algorith mis proposed.The proposed algorith mutilizes the unbiased converted method to remain more information about the direction cosine coordinate measurements.Meanw hile，it compensates the bias caused by the converting direction cosine coordinate to Cartesian coordinate measurements，and the means and variances of the converted errors could accurately approximate the first-order and second-order moments of Gaussian distribution for original measurements.The simulation results indicate that the proposed algorith mim proves the estimation accuracy of both the number of targets and their states.

phased array radar；multi-target tracking；unbiased converted measurements；random finite set；probability hypothesis density filter

T N 953

A

10.3969/j.issn.1001-506 X.2016.03.10

1001-506 X（2016）03-0539-06

2015-01-06；

2015-09-11；網(wǎng)絡優(yōu)先出版日期：2015-11-18。

網(wǎng)絡優(yōu)先出版地址：http：//www.cnki.net/kcms/detail/11.2422.T N.20151118.1208.012.html

國家自然科學基金（61171122，61201318，61471019，61501011，61501012）；中央高校基本科研業(yè)務費專項資金（Y W F-15-GJS Y S-068）資助課題

袁常順（1987-），男，博士研究生，主要研究方向為雷達信號處理、隨機有限集多目標跟蹤。

E-mail：yuanchang61@126.com

王 俊（1972-），男，教授，博士，主要研究方向為雷達信號處理、實時信號處理。

E-mail：wangj203@buaa.edu.cn

雷 鵬（1985-），男，講師，博士，主要研究方向為信號處理、頻譜分析、目標識別。

E-mail：peng.lei@buaa.edu.cn

孫進平（1975-），男，教授，博士，主要研究方向為高分辨雷達信號處理、壓縮感知等。

E-mail：sunjinping@buaa.edu.cn

畢嚴先（1988-），男，博士研究生，主要研究方向為雷達信號處理、目標識別。

E-mail：biyanxian@126.com