分數階反向累加離散灰色模型及其應用研究

劉解放，劉思峰，吳利豐，方志耕（1.河南科技學院數學科學學院，河南　新鄉453003；.南京航空航天大學經濟與管理學院，江蘇　南京10016）

分數階反向累加離散灰色模型及其應用研究

劉解放1，2，劉思峰2，吳利豐2，方志耕2
（1.河南科技學院數學科學學院，河南新鄉453003；
2.南京航空航天大學經濟與管理學院，江蘇南京210016）

為了減小離散灰色預測模型解的擾動界，增加模型的解的穩定性，并且充分利用系統的新信息，提出了分數階反向累加離散灰色模型。通過數學推導，給出了模型具體的計算公式，并計算了其擾動界。通過比較一階反向累加離散灰色模型和分數階反向累加離散灰色模型擾動界的大小，證明了分數階反向累加離散灰色模型的優越性。最后，將其應用在某型號武器系統的儲存可靠性的預測中，計算結果優于傳統灰色預測模型，預測精度有了大幅度提高，從而拓展了灰色預測模型的理論研究和實際應用范圍。

灰色預測；分數階；反向累加；可靠性

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0 引 言

灰色系統理論主要研究“小樣本、貧信息”問題，近年來得到了學者們廣泛的關注和研究［1-8］。灰色系統理論最基本的方法是灰色生成，生成是建立灰色模型的基礎。累加生成是使灰色過程由灰變白的一種方法，其在灰色系統理論中占有極其重要的地位。通過累加生成可以看出灰量積累過程的發展態勢，使離亂的原始數據中蘊含的積分特性或規律充分表現出來。

對于非負離散序列X（0），其一次累加生成序列X（1）是單調遞增的，因此，其擬合曲線（1）也應該是單調遞增的才合理。但是，對于單調遞減的離散序列X（0），由于X（1）是單調遞增的，其模擬序列（1）也是單調遞增的，那么在對＾X（1）進行累減生成還原時，就會產生不合理的計算誤差，基于此，文獻［9］提出了反向累加生成G O M（1，1）模型，由于反向累加生成序列為單調遞減序列，因此，在對于單調遞減序列進行建模時能取得優于G M（1，1）的計算效果。文獻［10-11］提出了參數的直接求解方法，簡化了計算過程，并將其應用到了農藥降解問題的建模中，取得了優于原始G O M（1，1）的計算精度。在此基礎上，文獻［12］對于G O M（1，1）模型的初值和背景值進行改進，進一步優化了G O M（1，1）模型的參數求解方法，提高了模型的計算精度。文獻［13］給出了模型優化的背景值，不僅提高了建模的精度，而且使得新模型對于遞減和遞增序列都適用，拓展了新模型的適用范圍。在文獻［14-15］離散G M（1，1）模型的基礎上，文獻［16］提出了離散G O M（1，1）模型，并給出了新模型的求解方法，證明了新模型具有白化指數律和線性不變性。上述對于G O M（1，1）模型的改進，改善了該模型的計算效果，擴大了其適用范圍，對于灰色理論的發展具有積極的理論和實際意義。

文獻［17-18］把分數階的思想引入到灰色建模中，取得了不錯的效果。為了減小灰色預測模型的擾動界，增加模型的穩定性，并且充分利用系統的新信息，提出了分數階反向累加離散灰色模型，并將其應用在某型號武器系統的儲存可靠性預測中，計算結果顯示，新模型的計算精度優于傳統灰色預測模型，從而拓展了灰色預測模型的理論研究和實際應用范圍。

1 一階反向累加離散灰色模型及其擾動分析

定義1 設原始非負序列X（0）=｛x（0）（1），x（0）（2），…，x（0）（n）｝為原始序列，X（1）=｛x（1）（1），x（1）（2），…，x（1）（n）｝為X（0）的一階反向累加生成序列，其中

則稱

為G O M（1，1）模型［9］。

定理1［19-20］設A∈Cm×n，b∈Cm，A是矩陣A的廣義逆矩陣，當A的列向量線性無關時，方程‖Ax-b‖有唯一解。

定理2［19-20］設A∈Cm×n，b∈Cm，A是矩陣A的廣義逆矩陣，B=A+F，c=b+k∈Cn，假設方程‖Bx-c‖2= min與‖Ax-b‖2=min的解分別為x+h和x，若rank（A）= rank（B）=n，而且當‖A‖2‖F‖2＜1時，有

其中

稱x（1）（k+1）=β1x（1）（k）+β2（k=1，2，…，n-1）為一階反向累加離散灰色模型。

定理3 一階反向累加離散灰色模型

x（1）（k+1）=β1x（1）（k）+β2（k=1，2，…，n-1）的參數β1，β2可以利用最小二乘估計來計算，即

定義2 設原始非負序列為

一階反向累加序列為

其中

證明 略。

定理4 離散灰色模型的解可以按照最小二乘法‖Y-Bx‖2=min進行求解，假設模型的解為x。下面考慮系統存在擾動的情況，為了證明簡便，不妨假設系統的第二項有擾動，即（0）（2）=x（0）（2）+ε，那么，解的擾動界為

由于B的列向量線性無關，因此，方程‖Y-Bx‖2= min有唯一解x=YB。

因為

又因為

所以

根據定理2，可以得到

限于篇幅，此處不再具體推導。

從L（x（0）（t））的計算公式可以看出，其擾動界是數據量t的增函數，即

則，系統的擾動界呈現出遞增的特性，那么，當新信息發生擾動之后，其擾動界會大于老信息發生擾動之后產生的擾動界，說明模型對于新信息的變化更加敏感，這和灰色系統理論的“新信息優先原理”比較相符。因此，與正向累加生成相比，反向累加生成具有一定的優越性。

2 r階反向累加離散灰色模型及其擾動分析

為了進一步分析分數階反向累加離散灰色模型的性質，增加模型解的穩定性，減小灰色預測模型的擾動界，本節建立了r階分數階反向累加離散灰色預測模型，并且對其擾動界進行研究。

定理5 假設原始非負序列

則r次反向累加生成序列為

證明 利用數學歸納法進行證明

當r=1時

當r=2時

假設當r=p的時，等式成立，即

那么，當r=p+1時

綜上所述，根據數學歸納法即可得到

定義3 設序列X（0）、X（r）的定義同定理5，稱x（r）（k+1）= β1x（r）（k）+β2（k=1，2，…，n-1）為r階反向累加離散灰色模型。

為了分析r階反向累加離散灰色模型的穩定性，以下分析其解的擾動情況。

定理6 假設r階反向累加離散灰色模型的解為x，根據反向累加生成的性質和分析問題的方便，首先分析當數據序列第n項發生擾動的情況，即＾x（0）（n）=x（0）（n）+ε，因為

因為

根據定理2，可以得到

當數據序列的第n項發生擾動時，即＾x（0）（n）=x（0）（n）+ε，基于r階反向累加的離散灰色模型的擾動界為

從上面的證明過程可以推導出，當數據序列的第t項發生擾動時，即＾x（0）（t）=x（0）（t）+ε，基于r階反向累加的離散灰色模型的擾動界為

限于篇幅，此處不再具體證明。

從第1節的計算結果可知，基于一階反向累加的離散灰色模型的擾動界為

因此，當0＜r＜1時，基于r階反向累加的離散灰色模型的擾動界要小于基于一階反向累加的離散灰色模型的擾動界，從理論上來說，所建立的模型具有更好的穩定性。

3 算例分析

某型號的武器裝備，其定期檢測數據如表1所示，運用本文提出的分數階反向累加離散灰色預測模型對系統可靠度的點估計進行預測。其中，n表示檢測個數，k表示失敗個數，R表示可靠度的點估計。

表1 某型號武器裝備的試驗信息

根據表1，可以計算得到某型號武器裝備的可靠度的點估計序列為

此處可靠度的點估計為沒有引入Bayes方法的計算結果。

為了和傳統的灰色預測模型進行比較，本文選擇了G M（1，1）模型和D G M（1，1）模型作為比較的對象，不同模型的計算結果及相對誤差如表2所示，其中R D G M（1，1）表示本文提出的分數階反向累加離散灰色預測模型，計算得到的平均絕對百分比誤差（mean absolute percent error，M A PE）如表2所示。根據遺傳算法求得最優階數r=0.22，限于篇幅，具體的計算步驟不再逐步列舉。

表2 不同模型的計算結果和相對誤差

其中

從表2可以看出，當原始數據的第3個數據出現擾動的時候，G M（1，1）模型和D G M（1，1）模型的預測相對誤差較大，而本文提出的模型，由于其擾動界較小，模型的解比較穩定，計算結果的相對誤差較小，模型的模擬和預測精度較高。

4 結 論

本文提出了分數階反向累加離散灰色模型，通過數學推導，得出了模型的求解公式，求出了其擾動界，通過和一階反向累加離散灰色模型進行比較，發現其擾動界減小，從而提高了模型解的穩定性。由于反向累加更加有效地利用了系統的新信息，所以模型的預測精度更高。最后，將分數階反向累加離散灰色模型應用在某型號武器裝備的儲存可靠度的預測中，取得了很好的模擬和預測效果，為此類武器系統的維修保障提供了理論上的支持，拓展了灰色預測模型的應用領域，在理論和實際應用上都有著重要的價值。

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Fractional order reverse accumulative discrete grey model and its application

LIU Jie-fang1，2，LIU Si-feng2，W U Li-feng2，F A N G Zhi-geng2
（1.School of M athematical Science，H enan Institute of Science and Technology，Xinxiang 453003，China；2.College of Economics and M anagement，N anjing University of Aeronautics and Astronautics，N anjing 210016，China）

In order to reduce the perturbation bounds of the solution of discrete grey forecasting m odel，increase the stability ofthe solution ofthe m odel，and make full use of new information ofthe system，a fractional reverse accu m ulative discrete grey m odelis put forward.Its calculation form ula is deduced and its perturbation bounds are calculated.The specific calculation form ula is given by mathematical deduction，and the perturbation bounds are calculated.The superiority of the fractional order reverse accu m ulative discrete grey m odelis proved by co m paring the perturbation bounds ofit with the first-order reverse accu m ulative discrete grey m odel.Finally，it is applied in storage reliability prediction of a certain type of weapon system，and the calculation resultis better than the traditional grey prediction m odel.The prediction accuracy has im proved dramatically.The proposed model expands the scope of the theoretical research and practical appl ication of grey forecasting model.

grey prediction；fractional order；reverse accu m ulation；reliability

N 941.5

A

10.3969/j.issn.1001-506 X.2016.03.37

1001-506 X（2016）03-0719-06

2014-10-30；

2015-11-05；網絡優先出版日期：2015-11-20。

網絡優先出版地址：http：∥w w w.cnki.net/kcms/detail/11.2422.T N.20151120.1801.012.html

歐盟第7研究框架瑪麗·居里國際人才引進計劃（FP7-PIIF-G A-2013-629051）；國家自然科學基金（91324003，71171113，71271226）；國家自然科學基金與英國皇家學會國際合作交流項目（71111130211）；國家社會科學基金重點項目（12AZD102）資助課題

劉解放（1980-），男，講師，博士，主要研究方向為灰色系統理論、復雜裝備研制管理。

E-mail：liujf101@126.com

劉思峰（1955-），男，教授，博士研究生導師，主要研究方向為灰色系統理論、系統工程。

E-mail：sfliu@nuaa.edu.cn

吳利豐（1983-），男，博士研究生，主要研究方向為灰色系統理論、復雜裝備研制管理。

E-mail：wlf6666@126.com

方志耕（1962-），男，教授，博士研究生導師，主要研究方向為質量管理、系統工程。

E-mail：zhigengfang@163.com