任意陣列雙基地MIMO雷達的半實值MUSIC目標DOD和DOA聯合估計

張 秦，張林讓，鄭桂妹，李興成（.西安電子科技大學雷達信號處理國家重點實驗室，陜西　西安7007；.空軍工程大學防空反導學院，陜西　西安7005）

任意陣列雙基地MIMO雷達的半實值MUSIC目標DOD和DOA聯合估計

張 秦1，2，張林讓1，鄭桂妹2，李興成2
（1.西安電子科技大學雷達信號處理國家重點實驗室，陜西西安710071；2.空軍工程大學防空反導學院，陜西西安710051）

實值處理具有降低高自由度多輸入多輸出（multiple-input multiple-output，MIMO）雷達角度估計大計算量的優勢。但受制于陣列的共軛對稱性，對于任意陣列結構的雙基地MIMO雷達發射角（direction of departure，DOD）和接收角（direction of arrival，DOA）聯合估計，若不做附加的預處理則無法實現實值操作，故將常規陣列實值處理的多重信號分類（m ultiple signal classification，MUSIC）超分辨算法推廣至任意陣列結構的雙基地MIMO雷達。首先根據MIMO雷達的導向矢量共軛與鏡像的對等性，提取接收信號協方差矩陣的實部，并對其進行特征分解得到“目標加倍”的信號子空間及其應對的噪聲子空間；然后利用Kronecker積的特性對其進行降維處理，得到搜索區域減半的一維半實值域MUSIC譜，取出目標DOD真值與其鏡像代入降維Capon算法來剔除虛擬峰值得到目標DOD估計真值；最后利用特征矢量得到模糊DOA估計值，采用方向余弦差最小范數方法得到目標DOA無模糊估計值。本文算法估計性能與一維搜索復數域MUSIC相當，計算量約降50%，且能夠實現DOD 和DOA的自動配對。仿真結果證明了該算法的有效性。

半實值多重信號分類；多輸入多輸出雷達；任意陣列；發射角估計；接收角估計

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0 引 言

多輸入多輸出（multiple-input multiple-output，MIMO）雷達由于其發射波形的不一致致使其所擁有獨特優勢［1 2］，使其在雷達波束形成、檢測和參數估計等方面得到了廣泛關注［34］，特別是相干MIMO雷達對目標的波達方向等參數估計技術。目前，對于雙基地MIMO雷達發射角（direction of departure，DOD）和接收角（direction of arrival，DOA）的聯合測量問題，主要從3個方面展開：①如何提高DOD和DOA的估計精度。②如何降低角度估計時所產生的高計算復雜度。③如何實現多目標DOD和DOA角度估計的自動配對。下面對其部分研究內容展開分析。

首先，文獻［5］說明了接收信號通過與發射和接收陣元相匹配的匹配濾波器組來分離各正交發射信號，得到更多的虛擬陣元，大大增強了雷達系統自由度，使其較常規相控陣雷達具有更大的虛擬孔徑，從而提高波達方向的測量精度。文獻［6］基于雙基地MIMO雷達，研究利用均勻線陣發射和接收陣列的空域旋轉不變性，應用了旋轉不變估計技術（estimation of signal parameters via rotational invariance technique，ESP RIT）算法來對目標的DOD和DOA進行聯合估計。文獻［7－8］利用Kronecker積的特性，推導出了一維搜索Capon算法和多重信號分類（multiple signal classification，M USIC）算法來聯合估計DOD和DOA以降低兩維搜索算法的計算量。文獻［9］對降維M USIC的內在特點進行了分析，提出利用瑞利熵的特點來達到降維的目的，亦能夠實現DOD和DOA聯合估計的自動配對。文獻［10］利用多項式來估計目標的DOD和DOA，進一步降低了計算量。另一方面，文獻［11］研究了最大似然方法在雙基地MIMO雷達中的應用，以提高DOD和DOA聯合估計的精度與穩健性。文獻［12］利用聯合對角化來擴展陣列以提高陣列的自由度，使其能夠估計多于陣元數的目標個數。文獻［6-12］均建立在復數域操作，文獻［13］將常規陣列的實值處理引入到雙基地MIMO雷達的DOD和DOA估計中，在低快拍條件下提高角度的估計精度，且能夠實現自動配對。文獻［14］利用實值操作來提高多重疊發射子陣MIMO雷達DOD和DOA的估計精度并降低估計計算量。可見實值處理對于MIMO雷達的角度估計有著獨特的優勢，但是實值處理必須依賴于陣列的共軛對稱性，對于均勻線陣組成的發射陣列與接收陣列是可行的，但對于任意陣列則無法實現實值處理。

對于任意陣列構形的雙基地MIMO雷達，文獻［15-16］利用陣列流形分離技術和特殊的陣列旋轉不變性解決了單基地MIMO雷達DOA估計問題和雙基地MIMO雷達四維DOD和DOA的聯合估計問題。此外，鑒于MUSIC超分辨算法適用于任意陣列，文獻［8-9］可直接應用于任意陣列構形的雙基地MIMO雷達DOD和DOA的聯合估計，但上述方法［8 9，15 16］仍采用復數域處理。

本文將常規任意陣列的實值MUSIC算法推廣至雙基地MIMO雷達，以實現任意陣列雙基地MIMO雷達DOD 和DOA聯合估計的實值處理來降低計算量。本文所提半實值MUSIC方法估計性能與復數MUSIC相當，計算量約降50%，且能夠實現DOD和DOA聯合估計的自動配對。

1 信號模型

雙基地MIMO雷達是由M個陣元組成的發射線陣，N個陣元組成的接收線陣，其中發射陣元和接收陣元任意排布，如圖1所示，并分別以發射和接收陣列左邊第一個陣元為參考點，則發射陣元位置為：Dt=［0，dt，1，…，dt，M-1］，接收陣元位置為：Dr=［0，dr，1，…，dr，N-1］，。則發射陣列的導向矢量可表示為

式中，φ∈［-π/2，π/2］為DOA，并定義u=sinφ為DOA的方向余弦。

圖1 任意陣列結構雙基地MIMO雷達示意圖

這里發射信號采用M個同頻但時域正交的窄帶波形信號，考慮有K個獨立目標存在于同一個距離單元，且發射和接收陣列的孔徑遠小于目標距離即滿足遠場條件。接收信號經過N個匹配濾波器組（每組濾波器含M個匹配濾波器，總共則有M·N個匹配濾波器與發射和接收相對應，具體濾波過程見文獻［5］），濾波之后對目標的接收信號進行數據重排［5］

式中，整個MIMO陣列雷達的導向矩陣為A（θ，φ）=［a（θ1，φ1），a（θ2，φ2），…，a（θK，φK）］，其導向矢量a（θk，φk）為發射陣列導向矢量與接收陣列導向矢量的Kronecker積

信號矢量s（t）=［s1（t），s2（t），…，sK（t）］T，sk（t）=βk· ej2πfkt，式中，βk為反射回波復幅度，fk為多普勒頻率，上標T表示轉置。n（t）是協方差矩陣為M N、均值為0的復高斯白噪聲，IM N為M N×M N維單位陣。本文的主要任務就是從式（3）的信號模型來估計該任意陣列雙基地MIMO雷達的目標DOD和DOA兩維方位角｛θk，φk|k=1，2，…，K｝。

2 常規復數域MUSIC的DOD和DOA聯合估計算法

采用最大似然估計方法得到匹配濾波后M N維虛擬陣列的接收信號協方差矩陣：＾R，其中L表示快拍數，上標H表示共軛轉置操作。對虛擬陣列接收信號協方差矩陣＾R進行特征值分解得到，其中FS為MN×K維信號子空間，對應于最大K個特征值的特征矢量，剩余特征矢量構成MN×（MN-K）維噪聲子空間FN。

根據文獻［8］可得兩維復數域MUSIC搜索算法可表示為

通過式（5）的搜索譜值，其對應的最大K個峰值，即為目標的DOD和DOA估計值，但其涉及到兩維搜索，計算量巨大，可利用文獻［8－9］提出的Kronecker積的特性對其進行降維處理。首先利用Kronecker積的性質將a（θ，φ）改寫為

根據式（6）將式（5）改寫為

通過文獻［8］可知通過式（8）的一維搜索可得到DOD估計值

根據式（9）結果，應用最小二乘方法得到目標的DOA估計值。

3 半實值域MUSIC的DOD和DOA聯合估計算法

3.1 兩維半實值域MUSIC

本文將文獻［17］中的常規任意陣列實值MUSIC算法推廣至任意陣列雙基地MIMO雷達中以達到減少常規復數域MUSIC的DOD和DOA聯合估計算法的計算量目的，同時保持自動配對的優點。

下面推導任意陣列雙基地MIMO雷達的導向矢量共軛與鏡像的對等性。定義噪聲子空間及其共軛的交集空間為

式中，上標（*）表示共軛操作。任意陣列雙基地MIMO雷達的共軛導向矢量可重構為

根據式（11）將K個目標組成矩陣形式，可得共軛導向矩陣與目標鏡像的導向矩陣相等，即A*（θ，φ）=A（-θ，-φ）。此外，總所周知，噪聲子空間FN垂直于導向矩陣A（θ，φ），結合式（10）可知交集空間Π垂直于導向矩陣A（θ，φ）及其目標鏡像導向矩陣可得常規實值MUSIC一維搜索域減半，對應于兩維實值域MUSIC算法，則搜索域減為其搜索表達式為

由文獻［17］的定理1可知：交集空間Π與實數空間｛Re（R）-σ2I｝張成相同空間。并由定理1可推導得到交集空間Π可由實值協方差矩陣Re（R）特征分解得到的MN× （M N-2K）維的實數噪聲子空間構成，即協方差矩陣Re（R）所對應目標數量加倍的噪聲子空間。根據式（12）可知，由于搜索區域減少了3/4且特征分解采用實數操作，該算法計算量大大減少。注意到上述流程中協方差矩陣和式（12）搜索采用復數域處理，特征分解采用實值處理且搜索區域減少，故本文稱之為半實值處理。

3.2 一維半實值域MUSIC

但是兩維搜索的實值域MUSIC算法所帶來的大計算量仍然難以接受。故下面提出利用文獻［8-9］的降維方法來對式（12）進行降維處理以進一步減少計算量。

定義式（12）的搜索方程中分母為Θ，即

利用Kronecker積的性質將式（13）轉化為

注意到ar（φ）Har（φ）=N，則（14）可轉化為

利用Rayleigh-Ritz理論［18］可得到式（15）的最小值為

式中，λmin（θ）為Q（θ）的最小特征值。則目標的DOD估計值可通過如下的一維搜索得到

因采用實值噪聲子空間，可知式（17）中的DOD估計值中既包含目標的真實DOD估計值亦包含目標鏡像，即｛，…，｝。下面闡述如何利用文獻［7］的降維Capon方法來剔除其假峰。

首先給出雙基地MIMO雷達的常規兩維Capon估計譜

利用Kronecker積的性質將式（18）改寫成

利用拉格朗日乘子法可得，通過提取U（θ）-1的第一行第一列元素的最大值可得到DOD的估計值

取出真實DOD估計值在式（16）中對應的特征矢量：

式中，βn（）表示ar（）的第n個元素的角度值即βn（）=∠ar（）。當每個陣元之間間隔均大于半波長，則

則其周期模糊項為

則第k個目標第n個DOA估計值為

為提高估計精度，對N-1個估計值進行平滑處理得到第k個目標DOA估計值為

注意式（28）得到的目標DOA的估計值與式（21）的目標DOD估計值是配對的，無需任何額外的配對處理。

3.3 算法流程

本文所提針對任意陣列結構的雙基地MIMO雷達的半實數域MSUIC目標DOD和DOA聯合估計算法具體流程如下。

步驟1 根據接收快拍數據計算任意陣列雙基地MIMO雷達的復數域接收數據協方差矩陣R；

步驟2 取出接收數據協方差矩陣R的實數矩陣Re（R），并對Re（R）進行特征分解得到信號空間維數加倍的實數域噪聲子空間Π，維數為：M N×（M N-2K）；

步驟3 根據式（14），利用實數域噪聲子空間Π和發射陣列導向矢量at（θ）構造矩陣Q（θ），對Q（θ）進行特征值分解得到其最小特征值λmin（θ），并通過式（17）的一維搜索得到其DOD的真實和鏡像估計值｛，…，｝；

步驟4 將該估計值代入式（21）的降維Capon的代價函數剔除其鏡像估計值，得到目標的真實DOD估計值；

步驟5 通過式（22）求得真實DOD估計值所對應的特征矢量ar（），即接收陣列導向矢量的估計值；

步驟6 若有相鄰陣元的間隔小于半波長，則利用式（23）求得相同目標DOD所對應的DOA估計值。若相鄰陣元的間隔均大于半波長，通過式（24）得到方向余弦u的估計值un，k，并通過式（25）至式（28）的擬合解模糊步驟得到其對應相同目標的DOA估計值。

3.4 計算復雜度分析

本文所提半實數域MSUIC算法與常規復數域MUSIC算法均是針對長度為M N的虛擬陣列的輸出數據進行處理。

本文算法計算量主要集中在協方差矩陣計算、實數噪聲子空間的獲取、一維譜搜索、角度解模糊運算。

步驟1 協方差矩陣計算需要O｛（MN）2L｝次復乘運算；

步驟2 實數域噪聲子空間Π的獲取需要O｛（MN）3/ 4｝次復乘運算；

步驟3 一維譜搜索需要對Q（θ）進行特征值分解，O｛n（N M-K）（M N2+N2）｝次復乘運算，n為搜索點數；

步驟4 需要O｛2K M N3｝次復乘運算；

步驟5 計算量可忽略不計；

根據文獻［9］可得一維復數域MUSIC搜索方法的計算量為：O｛M2N2L+M3N3+2n［（N M-K）（M N2+N2）+ N2］｝次復乘運算。

為直觀表示，圖2給出其計算量對比圖，設發射陣元與接收陣元相等，即M=N?？炫臄礚=100，搜索間隔為0.01°，則搜索點數n=9×103，陣元間隔均設為Dn=λ （n=1，…，N-1），目標數為K=3。從圖2中可看出本文所提半實數域MSUIC算法比常規復數域MUSIC算法計算量約小1/2（注意搜索域雖然減少但是一維搜索仍需其他處理，故計算量大約只降低一半）。

圖2 復數域與實數域MUSIC計算量比較

3.5 克拉美羅界

將待估計參數寫成矢量形式其對應的費舍爾信息矩陣（Fisherinformation matrix，FIM）為4塊-子陣塊：

利用文獻［19］中的結果可以得到L次快拍數據的FIM子陣塊Jhk，（h，k=θ，Φ）的第（i，j）個元素等于

式中，R為MN×MN維虛擬陣列接收數據協方差矩陣：

式中，cr（φk）=josφk［0，dr，1，…，dr，M-1］T；⊙表示矢量對應元素相乘。把式（33）和（34）代入式（31），得到子陣塊Jθθ的第（i，j）元素等于

4 計算機仿真結果與分析

考慮一個任意結構陣列雙基地MIMO雷達的發射陣元數M=4，接收陣元數N=4，發射陣元與接收陣元位置為：K=3個獨立目標存在于同一距離單元，目標DOD為：θ=［-20°，10°，30°］，目標DOA為：=［-30°，5°，20°］，快拍數L=100，信噪比（signal to noise ratio，S N R）S N R=20 dB。圖3給出一維半實數域MUSIC算法的DOD估計譜，從圖3中可看出該譜存在目標真實估計值與其鏡像估計值，驗證了本文理論分析的正確性。將該2K個目標真值與鏡像代入Capon代價函數計算得到圖4的功率譜值，從圖4中可看出真值功率遠大于鏡像功率，故可剔除，與上述理論分析一致。最后得到100次蒙特卡羅試驗的DOD和DOA估計值，如圖5所示。從圖5中可看出該算法能夠正確估計出目標DOD和DOA且配對正確，驗證了本文算法的正確性。

仿真1 半實數域MUSIC算法的正確性驗證

圖3 實數域一維MUSIC算法的DOD估計譜

圖4 目標真值與鏡像的Capon功率譜值

仿真2 估計性能與信噪比關系比較

考慮一個任意結構陣列雙基地MIMO雷達的發射陣元數M=5，接收陣元數N=6，發射陣元與接收陣元位置為：目標DOD、 DOA和快拍數與仿真1相同，完成1 000次蒙特卡羅實驗，并定義均方根誤差（root mean square error，R M SE）為：和DOA估計值，α=｛θ，｝為目標DOD和DOA真實值?？疾毂疚囊痪S半實數域MUSIC算法與文獻［8－9］的一維復數域M USIC算法以及CRB的性能比較。圖6給出了目標DOD和DOA估計均方根誤差隨信噪比變化曲線。從圖中可以看出，一維半實數域MUSIC估計性能接近一維復數域MUSIC性能，但本文算法的計算量僅約為一維復數域MUSIC的一半，且兩種算法的估計性能均接近于RCRB（CRB的求根形式）。

圖5 目標DOD和DOA聯合估計星座圖

圖6 參數估計RMSE隨SNR變化曲線

仿真3 估計性能與快拍數關系比較

假設S N R=10 dB，其他仿真條件與仿真2相同。圖7給出了目標DOD和DOA估計R M SE隨快拍數變化曲線。從圖7中可得與仿真2相同的結論。

圖7 總體R M SE隨快拍數變化曲線

5 結 論

本文推導了實值域MUSIC超分辨算法在任意陣列結構雙基地MIMO雷達DOD和DOA聯合估計中的應用。該算法能夠實現搜索空域的減半，計算量約減為復數域MUSIC搜索的一半，且本算法能夠實現DOD和DOA估計的自動配對，估計精度接近于復數域MUSIC算法。

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Joint DOD and DOA estimation for bistatic MIMO radar with arbitrary array using semi-real-valued MUSIC

ZHANG Qin1，2，Z H A N G Lin-rang1，ZHENG Gui-mei2，LI Xing-cheng2
（1.N ational Laboratory of Radar Signal Processing，Xidian University，Xi’an 710071，China；2.Air and Missile Defense College，Air Force Engineering University，Xi’an，710051，China）

Real-valued do main processing has the advantage of reducing the heavy computational complexity for multiple-input multiple-output（MIMO）radar angle estimation with large degrees offreedom.Unfortunately，real-valued do main processing cannot be applied to bistatic MIMO radar with the arbitrary array structure for direction of departure（DOD）and direction of arrival（DOA）estimation except additional pre-processing because the array do not have the characteristic of conjugate symmetry.Therefore，the multiple signal classification（MUSIC）super resolution algorithm for conventional array with the real-valued do main processing extends to the bistatic MIMO radar with the arbitrary array structure.According to the equivalent characteristic between conjugation and image of the steering vector of MIMO radar，the real part of the received signal covariance matrix is firstly extracted and an eigen-decom position is performed to obtain the signal subspace with “double targets”and its corresponding noise subspace.Then the characteristic of Kronecker product is used to reduce the dimension of the process to achieve one dimensional search MUSIC spectrum in the semi-real-valued do main.The true DOD and its images estimations are substituted into reduced-dimensional Capon spectrum to eliminate the peaks of images.Finally，the eigenvectors are utilized to obtain am biguous DOA estimations and the minim u m norm of the direction-cosines difference method is used to disambiguate the DOA estimations.The proposed algorithm has the similar estimation performance and half computational complexity co m pared with the one dimensional search complex do main MUSIC algorithm.Moreover，the proposed algorithm can realize auto-matic pairing between DOAs and DODs.Simulation results verify the effectiveness of the proposed algorith m.

semi-real-valued multiple signal classification（MUSIC）；multiple-input multiple-output（MIMO）radar；arbitrary array；direction of departure（DOD）estimation；direction of arrival（DOA）estimation

TN958

A

10.3969/j.issn.1001-506 X.2016.03.09

1001-506 X（2016）03-0532-07

2015-05-06；

2015-10－12；網絡優先出版日期：2015－12-15。

網絡優先出版地址：http：∥w w w.cnki.net/kcms/detail/11.2422.T N.20151215.1629.004.html

國家自然科學基金（61501504）；中國博士后科學基金（2015 M 581097）資助課題

張 秦（1974-），男，副教授，博士研究生，主要研究方向為雷達信號處理、陣列信號處理、精確制導與目標跟蹤。

E-mail：kinzh@263.net

張林讓（1966-），男，教授，博士研究生導師，主要研究方向為雷達信號處理、陣列信號處理、自適應信號處理和MIMO雷達。

E-mail：lrzhang@xidian.edu.cn

鄭桂妹（1987-），男，講師，博士，主要研究方向為矢量傳感器陣列、MIMO陣列雷達信號處理。

E-mail：zhengguimei1987@163.com

李興成（1978-），男，副教授，博士，主要研究方向為雷達對抗、雷達系統仿真。

E-mail：lixingcheng2008@sina.com