高中數學不等式易錯題型及解題技巧

馮義羽（云南省昆明市祿勸縣祿勸第一中學 云南昆明 651500）

高中數學不等式易錯題型及解題技巧

馮義羽
（云南省昆明市祿勸縣祿勸第一中學 云南昆明 651500）

不等式是高中數學的重要內容，對解決實際問題具有重要幫助，所以本文主要探討了高中數學不等式易錯題型以及解題技巧，希望能夠幫助學生輕松的解題，以此增強學生學習的自信心，提高高中數學成績。

高中數學 不等式 易錯題型 解題技巧

不等式是高中數學的重要組成部分，是學生學習的重點和難點，所以抓住不等式解題技巧，進行快速解題至關重要。在高中數學不等式教學過程中，不等式也是學生的易錯題，所以加強對易錯題型的分析，并對其進行總結，以便為以后的解題提供正確的思路。因此本文在此進一步探討高中數學不等式易錯題型及解題技巧，以此提高學生解決實際問題的能力，培養學生的思維的創造性，下面從三類易錯題型談起。［1］

類型一：不等式恒成立問題

不等式恒成立問題，涵蓋的內容較多，包括不等式、三角、幾何以及函數等知識點，主要考察學生的綜合解題能力，同時由于此類題型解法較為靈活，從而能夠增強學生思維的靈活性以及創造性。關于不等式恒成立問題，可以分為五種類型，即一次函數型、二次函數型、根據函數圖像、變量分離型以及根據函數的性質命題型，其中以變量分離或抽象函數命題的較為常見，由于此類題型具有較強的抽象性，是高中不等式問題的難點，學生在解題過程中，非常容易出現錯誤。

例1：已知，當x∈［-3，3］時，恒成立，求實數a的取值范圍。

解：設F（x）==-2x3+3x2+12x-a，由題意可知，F（x）≤g（x）在x∈［-3，3］恒成立，所以F（x）≤0在x∈［-3，3］恒成立，令F（x）=-6x2+6x+12=0，得x=2或x=-1，而F（-1）=-7a，F（2）=20-a，F（3）=9-a，所以F（x）max=45-a≤0，a≥45，a的取值范圍為［45，+ ∞）。

不等式恒成立問題的解題技巧主要包括判別式法、最值法、分離變量法、變換主元法等等，在解題時，學生應注意觀察題型，選擇的合適的解題方式。例1中考點是結合不等式以及函數，求區間上的最值，對于最值問題，可以將其進行轉化，利用不等式進行求解，需要注意的是，轉化過程中不等號的方向非常容易弄錯，需要遵循“一正、二定、三相等”的原則，同時應注意思維的靈活性，加強對題意的理解和分析。［2］

類型二：含參不等式問題

含參不等式問題也是一種重要的題型，其主要題型包括含參的一元二次不等式、含參數的絕對值不等式、含參數的分式不等式問題，由于含參不等式問題通常需要進行分類討論，在解題過程中，容易出現漏、重的問題。所以對于此類問題，應弄清怎樣進行討論，從合理的角度的出發，保證不重不漏。下面以含參數絕對值不等式為例.

例2：解關于x的不等式｜x2+2x-3｜＞a

解：當a＜0時，得x∈R。當a≥0時，得①x2+2x-3＞a或②x2+2x-3＜-a。

由①解得x＞-1+或，由②得（x+1）2＜4-a。當0≤a＜4，解得-1-＜x＜-1+，當a≥4，不等式無解。由此得出，當a＜0時，不等式的解集為R；當0≤a＜4時，原不等式解集為｛x｜x〉-1+或x＜-1-｝；當a≥4時，不等式解集為｛x｜x＜-1-或x＞-1+｝

例2為含參數的絕對值不等式，其關鍵在于去掉絕對值符號，對于此類問題，思維容易出現混亂，對于本題一是要將絕對值符號去掉，進行分類討論，二是需要對a的范圍進行討論。在平時解題過程中，會經常能夠遇到比較復雜的絕對值問題，對此，應對其進行轉化，復雜的絕對值問題轉化為簡單的絕對值問題，并對沒有絕對值不等式進行求解。總之，對于含參數不等式問題，需要進行科學合理的討論，保證不重不漏，這就需要學生在日常學習過程中，養成認真、仔細的習慣，從審題、分析到做題，都能做到一絲不茍。

類型三：與線性規劃結合問題

線性規劃問題也是重點考點以及熱點，所以加強對線性規劃問題的探討至關重要。與線性規劃結合問題在高中數學占據一定的比例，線性規劃問題，可以能夠有效的解決實際問題，所以能夠培養學生的解決實際問題的能力。對于顯性規劃問題，考察的知識點包括定義域、最值以及面積計算等，所以對于學生來說較為困難，所以在解題過程中，經常出錯。對于這類題型，需要學生對不等式的性質、線性規劃的性質進行準確理解，這樣才能夠夠準確進行不等式的解題。［3］

例3，設x、y滿足條件，若目標函數z=ax+by（a＞0，b＞0）的值是最大值為12，則的最小值為_

A. B C D.4

解：根據上圖進行分析，上述陰影部分由不等式來表示，可以看出ax+by=z（a＞0，b＞0）時，x-y+2=0，3x-y-6=0，兩直線相交于一點，其坐標為（4.6），目標函數取最大值12，所以可以得出4a+6b=12，+=+=+（ ≥=，因此本題選擇A.

對于此類題型，其解題技巧主要包括兩點，一是能夠將實際問題轉化為顯性規劃問題，能夠根據題意，畫出可行域，并且通過對可行域的分析，加強對目標函數的理解，二是帶有參數的目標函數，可以增加問題的開放性以及探索性，所以可以對目標的函數的結論入手，通過對圖形的動態分析，確定相關量。

結語

綜上所述，不等式問題是高中數學的重要內容，是學生學習的重點和難點之一，由于不等式問題涵蓋的知識點較廣，所以學生學習起來較為困難，而且不等式的類型也較多，如含參不等式、不等式恒成立以及與線性規劃結合等類型題，這幾種類型題是不等式考察的重點以及熱點，卻也是學生的易錯題型，所以在解題過程中，必須抓住其解題技巧，并多加練習，遵循解題的基本思路，進而能夠快速的解題，以此提高學生的高中數學成績。

［1］李嚴. 高中數學不等式易錯題型及解題技巧［J］. 亞太教育，2015，22：50.

［2］張尹浩. 高中數學不等式應用及學習策略［J］. 企業導報，2016，02：137+3.

［3］黃東，茍一泉，趙中玲. 高中數學中不等式的證明方法［J］. 湖南農機，2011，07：171-172