關于繩結打法對其自動松脫和繩子強度影響的研究

劉香園，吳　濤，程強強

(1.安徽財經大學 金融學院，安徽 蚌埠 233030；2.安徽財經大學 統計與應用數學學院，安徽 蚌埠 233030)

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關于繩結打法對其自動松脫和繩子強度影響的研究

劉香園1，吳濤2，程強強2

(1.安徽財經大學 金融學院，安徽 蚌埠 233030；2.安徽財經大學 統計與應用數學學院，安徽 蚌埠 233030)

針對繩結打法對其在承受負荷時是否容易自動松脫和對繩子強度影響的問題，本文以繩結打法為切入點，通過相關數據的查找和手動測量，運用MATLAB軟件，主要構建了繩結交叉點數與其松脫時所承受負荷大小的擬合模型，繩結半徑與達到極限強度時的應力關系的數學模型，得到判定繩結是否容易松脫的方法以及繩結半徑越大，結點處的極限強度越大的結論。

繩結打法；繩結松脫；負荷；繩結強度

在登山、航海、垂釣、野外生存等活動中，結繩是必不可少的技能之一，而繩結的松脫程度對于使用者有著重大的意義。針對不同用途，有多種繩結的編制方法，不同種類的繩結，其松脫程度以及強度存在差異。本文旨在給出判定繩結是否容易自動松脫的方法以及建立合適的數學模型估計不同繩結的強度(詳見2015年認證杯數學中國數學建模網絡挑戰賽第二階段A題[1])。本文創新性的提出了判斷繩結是否容易松脫的方法，可為現實生活中的生產使用提供參考。

1　問題總分析

不同的打結方法會影響繩結在承受負荷時是否容易自動松脫，首先對繩結進行分類，根據繩結的用途不同可以把繩結分為固定繩結、接繩繩結、保護繩結和操作繩結等類型。固定繩結是將繩索一端直接固定于自然物體上的打結方法；接繩繩結是將短繩接成長繩的使用的繩結；保護繩結使繩索之間或繩索與鐵索之間能夠產生摩擦和滑動；操作繩結用于特殊的攀登和下降技術中所采取的結法。

2　判定繩結是否容易自動松脫

2.1建模思路

打結方法與繩結松脫程度的關系，不易找到，但不同的打結方法，繩結間的交叉點數不同，而繩結的松脫程度可以用其松脫時承受的負荷力來衡量。因此通過繩結交叉點數和其自動松脫時所承受負荷力的分析可以估計出打結方法與繩結松脫程度的關系，其中，繩結交叉點數的確定如圖1所示。

圖1　繩結交叉點數

2.2模型的建立與求解

假設現在有一段PE繩子，分別打出八種常見的繩結:平結、稱人結、半結、水結、蝴蝶結、雙套結、雙漁人結和“8”字結，得出相應的交叉點數，通過查閱資料以及實驗，得到上述八種打結方式自動松脫時所承受的負荷力(平均值，取整)如表1：

表1　不同繩結的交叉點數及繩結所承受的負荷數

運用MATLAB軟件進行曲線擬合[2]，得出相應的擬合圖形如圖2所示：

圖2　繩結交叉點數與所承受負荷的擬合

可以得出，繩結交叉點數與其所承受負荷之間的函數表達式為：

F1=4.9083*k+1.4037

忽略其它因素，從表達式中大致可以得出繩結交叉點數與所承受的負荷力之間是成正相關的。而繩結松脫時所承受的負荷力越大說明了其越不容易松脫，因此當繩結交叉點數越多時，繩結越不容易松脫。所以對于不同繩結的打法，可以通過測量交叉點的個數，從而得到該繩結是否容易脫落。

繩結的交叉點數與其是否容易自動松脫是成正相關的，即繩結交叉點數越多，繩結越不容易松脫。當交叉點數在2～6間時，繩結易松脫；當交叉點數在7～10間時，繩結不易松脫；當交叉點數在10或10以上時，繩結難松脫。

檢驗：用一根繩子實驗，當繩結為營釘結時，繩結不易松脫；當繩結為普魯士結時，繩結易松脫。而通過測量，知道營釘結的交叉點數為7個，普魯士結的交叉點數為2個，這與上述結論相一致。

3　有關繩結強度的定量估計

3.1問題的分析

一根完整的繩子在兩端受到拉力時，有一個被拉斷的極限強度。在繩子中間打了一個結后，由于繩結位置的彎折與纏繞，將使繩結位置成為整根繩子強度最低的一個薄弱點。對于不同種類的繩結，從直觀上去判斷其強度較為困難。而不同種類的繩結其繩結半徑是不同的，通過繩結半徑和繩結達到極限強度時應力的關系，可以估計出其強度。

3.2模型的準備

在一根完整的繩子兩端給予拉力時，繩子開始會產生彈性形變，到達一定程度時彈性形變結束進而產生塑性形變，此過程中力的大小不變繩子會繼續出現拉伸現象，塑性形變結束后需要增加力才會使繩子繼續拉伸，隨著力的加大，繩子拉伸得越長，直到繩子斷開。

查閱相關資料，得到直徑為0.5 cm的PE直繩，其彈性限度的彈性系數為2 000N·m-1，而讓其產生塑性形變需要140N的力，當加大外力時繩子會繼續形變直到斷裂。根據已有的數據及資料[3]建立相關模型如下：

選用一根直繩在兩端受到外力時繩子開始會產生彈性形變(在0～0.07這一段)，到達一定程度時彈性形變結束進而產生塑性形變(在0.07～0.09這一段)，此過程中力的大小不變繩子會繼續出現拉伸現象，塑性形變結束后需要增加力才會使繩子繼續拉伸，隨著力的加大，繩子拉伸得越長，直到繩子斷開，直繩的極限強度在200N。

3.3模型的建立與求解

選取兩根半徑相同都為0.25 cm的繩子打出八種常見的繩結，并測出各自的直徑結果如圖3(a,b,c,d,e,f,g,h)所示：

圖3　八種常見繩結直徑測試

查閱相關資料[4]，得到了八種常見繩結達到極限強度時的應力大小，整合以上測量以及查找的數據，如表2：

表2　繩結直徑與應力數據表

運用MATLAB軟件進行擬合，得到圖4：

圖4　繩結直徑與其所能承受的應力關系圖

相應的函數表達式為：

F=174.2d0.099 31

其中，R2=0.9857，可以看出函數擬合效果較好[5]。

結論：繩結半徑越大，其結點處的極限強度越強；半徑越小，結點處的極限強度越小。但始終都不會超過直繩的極限強度，可以通過估計繩結直徑從而來定量估計繩結強度。

[1]http://www.tzmcm.cn//wenjian/201502/A.rar

[2]吳禮斌.經濟數學與建模(第2版)[M].北京：國防工業出版社，2013:6.

[3]李俊峰,張雄.理論力學[M].北京：清華大學出版社,2010：8.

[4]過祥龍,董慎行,晏世雷.基礎物理學(上冊)[M].蘇州：蘇州大學出版社，2003:8.

[5]楊桂元. 數學建模[M].上海：上海財經大學出版社，2015:2.

責任編輯王菊平

Impact of rope knotting on its automatic slackening and strength

LIU Xiang-yuan1, WU Tao2, CHENG Qiang-qiang2

(1.Financial College, Anhui University of Finance & Economics, Bengbu 233030, Anhui, China;2. College of Statistics and Applied Mathematics, Anhui University of Finance and Economics, Bengbu 233030, Anhui, China)

Aiming to solve the problem whether rope knots slacken easily when loaded and their impact on rope strength, this paper starts with the types of rope knots. Through data and measurement, we build the fitting model of crossing points and force when rope knots slacken. Then we develop a mathematical model of knots radius and force when rope knots reach their ultimate strength. We have obtained the methods to tell whether a rope knot would slacken easily and reached the conclusion that the larger a knot radius is, the greater its ultimate strength would be.

knotting; loads; ultimate strength; knots radius

TS959.9

A

1003-8078(2016)03-0018-04

2015-11-15

10.3969/j.issn.1003-8078.2016.03.05

劉香園,女，安徽阜陽人，安徽財經大學2013級本科生。

2015年國家級大學生創新創業訓練計劃項目(201510378061)。