關于多元凸函數性質的探討

胡　芳

(武漢商貿職業學院 電商管理學院，湖北 武漢 430205)

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關于多元凸函數性質的探討

胡芳

(武漢商貿職業學院 電商管理學院，湖北 武漢 430205)

凸性及廣義凸性問題已經引起了數學工作者們極大的興趣與關注，并取得了很多重要結果，但是由于許多理論問題尚處于發展之中，很多結論仍有待進一步完善，對凸性的認識還需進一步系統化。文章充分運用文獻研究法，在翻閱大量國內外的參考文獻的基礎上，給出線性拓撲空間中函數的凸性定義及等價定義，進一步完善多元凸函數的性質及判定等問題，從而豐富了凸函數的理論。

凸集；多元凸函數；凸性

近2個世紀，凸函數的研究主要有以下幾個方面： 其一，凸函數的應用研究.Jensen首次給出凸函數的概念. 自建立凸函數理論以來，許多數學工作者都致力于一元凸函數在不等式中的應用，如Jensen、Holder不等式的巧妙應用[1]，使證明簡練明了.其二，凸函數的性質研究.徐海巖介紹二元函數諸如有界性、連續性等性質[2]，f(x)凸性與f(x)的上圖凸性關系[3]，凸之和仍凸、復合函數的凸性,由f(x)的凸性推及到g(x)=(f(x)+|f(x)|)f(x)的凸性，并給出了此性質在求解線性與非線性不等式組及線性規劃中的應用[4].其三凸函數的判定研究.楊新民在文獻[5]研究了擬凸函數構成凸函數的條件，連續凸函數的判定定理[6].

凸性及廣義凸性問題已經有很多重要的結果.但仍然有許多理論問題尚處于發展之中，有待進一步完善和系統化，筆者力求通過本文的研究，給出凸函數較為全面、系統地介紹.

定義1設D?Rn是非空開集，若對?x,y∈D，及任意實數λ∈[0,1]，恒有：λx+(1-λ)y∈D，則稱D是凸開集[5]．

定義2設D?Rn是凸開集，f是定義在D上的n元實值函數[5]，若對?x,y∈D，及?實數λ∈[0,1]，恒有：

(1)

則稱f是D上的下凸函數，簡稱凸函數．

注：-f是D上的下凸函數，則稱f是D上的凹函數．

若當λ∈[0,1]且x≠y時,(1.1)中的不等式為嚴格不等式，則稱f是D上的嚴格凸函數．

則稱f是D上的凸函數．

定義4設D?Rn是凸開集，若f是定義在D上的n元實值函數，稱圖像空間Rn+1=Rn×R中的集合epif為f的上圖，其中epif={(x,c)T∈D×R|f(x)≤c}.

定義5設D?Rn是凸集，若f是定義在D上的n元實值函數，稱集合S(f,c)為水平集,

定理1定義2與定義3等價．

證明定義3?定義2顯然．

用數學歸納法證明定義2?定義3

n=2，顯然成立.

(2)

由歸納假設知，

(3)

定理2設D?Rn是凸開集，f是定義在D上的n元函數，則f是凸函數的充要條件是epif是Rn+1中的凸集.

證明先證“?”.

f∶D→R是凸函數.設任意(x,c1)T、(y,c2)T∈epif，即：f(x)≤c1，f(y)≤c2

由f凸性知：f[λx+(1-λ)y]≤λf(x)+(1-λ)f(y)≤λc1+(1-λ)c2

則有：(λx+(1-λ)y,λc1+(1-λ)c2)T∈epif

λ(x,c1)T+(1-λ)(y,c2)T∈epif

可知：epif是Rn+1中的凸集.

再證“?”.設epif是Rn+1中的凸集. ?x,y∈D，?λ∈[0,1]

若(x,f(x))T∈epif，(y,f(y))T∈epif，由epif的凸性得：

從而f是凸函數.

定理3設D?Rn是凸開集，f、g分別都是定義在D上的n元實值凸函數，則h(x)=max{f(x),g(x)}也是D上的凸函數[7].

定理4設D?Rn是凸開集，f、g分別都是定義在D上的n元實值凸函數，則Φ(x)=μ1f(x)+μ2g(x)也是D上的凸函數[7]，其中常數μ1≥0， μ2≥0.

定理6設D?Rn是凸開集,f是定義在D上的n元實值函數，?x,y∈D，令F(?)=f(?x+(1-?)y),?∈[0,1]，則f是D上的凸函數的充要條件是F(?)在[0,1]上是凸的[8].

定理7設D?Rn是凸開集, f是定義在D上的n元實值非負凸函數，若S(x)=f2(x),則S(x)也是D上的凸函數.

證明由f是非負凸函數，?x,y∈D，?λ∈[0,1]，有：

即：

(4)

又

則：

(5)

結合式(4)、(5)得：

推廣定理7可得：

定理8設D?Rn是凸開集, f和g都是定義在D上的n元實值凸函數，且f和g是具有相同單調性的單調函數，又f(x)≥0，g(x)≥0，若W(x)=f(x)g(x),則W(x)也是D上的凸函數.

證明 由f和g都是凸函數，?x,y∈D，?λ∈[0,1]，有：

(6)

又

若f(x)=f(y)≡C或g(x)=g(y)≡C，其中C為常數.由定理4，結論顯然.

若f和g不恒為常函數，又f和g是具有相同單調性的單調函數，則有：

則有：

(7)

由式(6)、(7)得：

即W(x)是D上的凸函數.

證明僅就限制在Dxi上的情況進行證明.

則有：

即：f[λx+(1-λ)y]≤λF(x)+(1-λ)F(y).

注：當沿某一方向上f(p)是凸函數，并不足以說明f是D上的凸函數.

定理10設D?Rn是凸開集, f是定義在D上的n元實值凸函數，f(x)是凸函數的充要條件是f限制在任何的Dxi上是一元凸函數，

證明“?”定理9已證.

下證“?”，f限制在任何的Dxi上f(x)是一元凸函數，設?s,t∈D，(s≠t)

定義F(u)=f(x0+au)且由充分性假設F(u)是一元凸函數得：

從而有： f[λs+(1-λ)t]≤λf(s)+(1-λ)f(t)，即f(x)是凸函數.

[1]徐娜.凸函數的性質及應用[J].數學學習與研究,2013,(13):117.

[2]徐海巖.多元凸函數的某些性質[J].湖北師范學院學報(自然科學版)，1988,7(1): 90-94.

[3]蔣善利,普豐山.凸函數的性質與判斷[J].新鄉學院學報(自然科學版),2009,26(6):13-14.

[4]時貞軍.r-凸函數與幾個重要不等式的聯系與應用[J]. 四川師范大學學報(自然科學版),2010,33(5):703-706.

[5]Yang X M, Teo K L, Yang X Q. A Characterization of Convex Function[J].Applied Mathematics Letters,2000,13(1):27-30.

[6]陶有德,朱葉,陶亦文.連續凸函數的判定定理[J].淮北師范大學學報(自然科學版),2012,33(3): 27-29.

[7]Rockafellar R T.Convex Analysis[M].Pinceton University Press,1970.

[8]陳喬.E-凸函數的一個新性質[J].重慶師范大學學報(自然科學版),2008,25(4):8-11.

責任編輯王菊平

A discussion about the properties of the multivariate convex function

HU Fang

(School of E-Business Management, Wuhan International Trade College, Wuhan 430205, Hubei, China)

Convexity and generalized convexity problems have aroused great interest in and attracted great attention of professionals of mathematics, and many significant achievements have been attained. However, because of the underdevelopment of many theories, many conclusions remain imperfect and the understanding of convexity needs to be further systematized. Applying literature research method and based on numerous domestic and international literature, the paper presents convexity definition and equivalence definition of linear space of convex function in linear topological space. By doing so, it is supposed to further improve the properties and determination of multivariate convex function, so as to enrich the theory of convex function.

convex set; multiple convex function; convexity

O1

A

1003-8078(2016)03-0004-04

2016-03-17

10.3969/j.issn.1003-8078.2016.03.02

胡芳，女，湖北武漢人，講師，主要研究方向為基礎數學。