電場對非平整基底上液滴鋪展特性的影響

趙盼盼，戴宇晴，葉學民，李春曦

(華北電力大學 能源動力與機械工程學院，河北保定071003)

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電場對非平整基底上液滴鋪展特性的影響

趙盼盼，戴宇晴，葉學民，李春曦

(華北電力大學 能源動力與機械工程學院，河北保定071003)

基于潤滑理論和漏介電質模型，通過建立電場作用下非平整基底上液滴鋪展的演化模型，利用PEDCOL程序模擬了導電液滴在非平整基底上的鋪展特征。結果表明：非平整基底有助于加快液滴的鋪展速度，其中，鋸齒狀基底下液滴的鋪展速率最大；底部電勢為恒定值時，電場對液滴鋪展起抑制作用；線性底部電勢將誘導液滴中心出現偏移現象，且液膜輪廓呈現與基底外形相似的特征；增加基底波數或高度，均有利于液滴鋪展，但其影響總體較小。

電場；液滴；鋪展；非平整基底

0　引言

放置在固體表面或預置液膜上的導電液滴，在電場作用下呈現鋪展、破裂、重組或電潤濕等現象，其影響因素包括麥克斯韋應力、電毛細力和分離壓等，通過改變電場可顯著改變導電液滴的運動學特征，這一過程在礦物浮選、濕式電除塵優化及醫療等領域有著廣泛的應用和前景[1-3]。

帶電液滴與壁面接觸面間的相互作用引出許多值得探討的電水動力學問題，有研究者通過在基底表面人為設置凹坑或傾斜基底來研究液膜在基底表面的熱質傳遞性能。文獻[14]研究了零雷諾數時液膜在電場作用下沿傾斜波紋狀基底上的鋪展，發現隨韋伯數增大，液膜鋪展速度加快且鋪展愈加穩定。在此后研究，文獻[15-17]進一步提出了描述小幅度甚至是中幅度階躍基底上的漸進模型，分析了重力驅動液膜沿電場存在且有周期性缺口的傾斜基底的鋪展過程；其結果表明，可采用長波近似法分析電場對液膜自由表面毛細狀隆起的影響，導電液膜進入凹槽前毛細隆起高度與電場強度成反比，由此指出穩定條件下可通過調節電場強度來控制液膜表面變形及與相對波紋基底的相位差，進而消除下臺階區域薄膜出現的毛細狀隆起結構。文獻[18]比較了電場作用下理想導體和漏介電質液膜在不同基底上的動力學特性，指出理想導體的平滑曲面出現不穩定現象，而漏介電質液膜依然穩定鋪展。文獻[19,20]對兩相不相溶液體中的液滴在直流電場中的變形進行了模擬，表明外加電場較小時液滴隨時間呈現振蕩狀態，過強的電場則使液滴掙脫表面張力，失去穩定進而導致液滴破裂。文獻[21]研究了徑向電場作用下粘性流體在垂直纖維制品上的動態特征，指出電場不改變振幅和流動速率、長波速度在外電場作用下隨振幅增加而減小。

綜上所述，針對電場作用下平整壁面上的液滴運動特征已開展了大量研究，而非平整壁面上的液滴運動研究尚不完善，且多數研究是針對定常流動，而關于電場和基底對液滴的非定常運動影響的研究還較少。為此，下文開展恒定電勢作用下液滴在不同基底上的動力學特性，分析不同電場和基底形態對鋪展特征的影響。

1　理論模型和特征演化方程

1.1理論模型

圖1　非平整基底上液滴的鋪展示意圖

如圖1所示，基底函數為s(x)，基底高度為D，基底上預置一層厚度均勻為Hb-s(x)的液膜。液滴鋪展而成的液膜與預置液膜交界處，形成鋪展前沿，最大液膜厚度Hmax、鋪展半徑Xd和鋪展前沿Xf是描述鋪展特征的重要參數。假設液滴為不可壓縮牛頓流體，壁面為無滑移無滲透界面，液滴自由表面外為無粘性氣體。液滴初始最大厚度H與流動方向尺度L相比非常小，即∈=H/L<<1，適用潤滑理論[22]。

1.2控制方程

獲取分析信息能力作為考綱要求的四種能力之一，常常是學生的薄弱能力。如果，教師一方面能充分挖掘教材中的各種信息素材，另一方面利用試題素材充分訓練學生獲取信息，利用信息解決問題的能力，那么也許學生在面對新情境的信息試題時，會更加有信心與方法！

描述界面電荷密度q的方程[22]93為

(1)

無量綱水動力學[23]控制方程組為

(2)

(3)

(4)

無量綱邊界條件為

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

結合式(1)～式(9)，通過積分運算可得液膜厚度和界面電荷密度的演化方程組為

(10)

(11)

2　數值模擬

采用PEDCOL程序[24,25]求解演化方程式(10)和式(11)，該程序為基于Petrov-Galerkin有限元法和非均勻網格Gear時間分析法的高效數值計算程序，可有效求解非線性拋物型偏微分方程，已廣泛應用于相關領域研究中。選取-15

程序中的初始條件為：

(12)

(13)

波紋狀基底函數為：

(14)

鋸齒狀基底函數為：

(15)

三角狀基底函數為：

(16)

梯形狀基底函數為：

(17)

式中：F(x)=0.5[1+tanh(100x)]為海氏階躍函數；s(x)為基底函數，由于s(x)是關于x的任意函數，通過改變s(x)，可得不同特征的基底表面。其中，無特殊說明時無量綱預置液膜厚度Hb=0.2。

程序中的邊界條件

(18)

3　結果分析

3.1不同基底的影響

對基底施加恒定底部電勢Φ=1，不同基底上導電液滴鋪展過程的特征參數變化如圖2所示。圖2(a)表明，平整基底上最大液膜厚度隨時間的減小率為Hmax～t-0.12，與此相比，非平整基底上Hmax的減小率均有所增加，其中鋸齒狀基底下的Hmax～t-0.16減小速率最快，其次為梯形狀和波紋狀基底下的Hmax～t-0.14，最次為三角狀基底下的Hmax～t-0.13，由此表明，基底表面的不平整性對液滴鋪展過程有明顯影響。

圖2　不同基底上液滴特征參數的變化

由圖2(b)和2(c)可知，基底的外形結構也顯著影響液滴的鋪展半徑Xd和鋪展前沿Xf。與平整基底的Xd～t0.17相比，鋸齒狀基底下液滴鋪展稍有加快，為Xd～t0.18；波紋狀和梯形狀基底同鋸齒狀相比，其不平整度有所增加，因而液膜局部壓力變化幅度增大，所以液滴向兩側鋪展的速度比鋸齒狀基底快，為Xd～t0.19；三角狀基底下液滴向兩側鋪展的速度增加最快，為Xd～t0.20。鋪展前沿的變化率依次為：鋸齒狀Xf～t0.215，三角狀Xf～t0.203，波紋狀和梯形狀Xf～t0.200，均比平整基底時的Xf～t0.190要快。這是因基底表面的不平整度將影響液滴鋪展速率，與三角狀、波紋狀和梯形狀基底相比，鋸齒狀基底的不平整度最大，由此使液滴鋪展成的液膜表面變形顯著增大，進而其鋪展前沿隨時間的變化速率最快。

3.2不同電場強度的影響

為研究電場強度對液滴鋪展特征的影響，以波紋基底為例，對液滴施加恒定電勢Φ=1、30和50進行對比。圖3(a)為t=50時液滴鋪展示意圖，觀察x=0處h(x，t)+s(x)可知，隨底部電勢增大，Hmax下降幅度減小；相對于平整基底上鋪展過程，波紋狀基底時，液滴向兩側鋪展有所加快，但不同電場強度下的液滴鋪展半徑和鋪展前沿基本保持不變。圖3(b)表明，隨底部電勢值增加，Hmax隨時間的變化率減小；其中，Φ=1時Hmax～t-0.1368減小得最快，其次為Φ=30的Hmax～t-0.134，當Φ=50時，為Hmax～t-0.1283。

圖3　不同恒定電勢對液滴鋪展的影響

3.3不同電勢形式的影響

實際應用中，液滴所處電場不僅僅局限于恒定電場，還可根據不同應用場合，通過改變電場形式進而控制液滴鋪展過程。如圖4(a)所示，Φ=1時，液滴向兩側對稱鋪展，與平整基底上的鋪展特征類似。當改底部電勢形式為Φ=1+Sx，圖4(b)和4(c)分別為S=-1和1時液滴的鋪展形態。由圖可知，在基底波谷處形成凹陷，波峰處形成隆起，這是因在電場力和基底共同作用下波峰/波谷處液膜表面壓力不同所致。隨時間持續，液膜變形區域逐漸擴大、且變形愈加明顯，并逐漸呈現與基底輪廓類似的表面波形。觀察最大液滴高度所在位置可知，在線性電勢作用下，液滴分別呈現右移和左移現象，這與文獻[26]所得模擬結果一致。

圖4　不同電勢下波紋狀基底上液滴的鋪展

圖5　不同作用力分析圖

為進一步探討液滴呈現上述不同形態的內在原因，圖5給出了液滴鋪展過程中的各作用力變化。由式(10)可知，方程右側第1項為底部電勢作用項，第2項為毛細壓和基底共同作用項。在恒定電勢Φ=1下，液滴受電毛細壓和基底的共同作用，作用力主要集中在液滴上，預置液膜區域受影響很小，因此液滴向兩側均衡鋪展而成的液膜未出現任何波動。當S=-1和1時，因液滴鋪展半徑處于基底第一波谷處，毛細壓和基底及底部電勢作用明顯，加快了液滴向兩側鋪展的速率，并在此處出現凹陷。當S=-1時，液滴中心左側底部電勢作用強于右側，此時左側底部電勢起減小液膜厚度而右側起增大液膜厚度的作用，表現為液滴整體右移；受基底影響，表面呈現波紋狀特征；S=1時電勢作用方向與S=-1相反，液滴向左偏移。

3.4不同基底參數的影響

為分析基底波數k和高度D對鋪展過程的影響，圖6給出了t=50時液滴的鋪展特征。圖6(a)表明，當D=0.1，k=0，1，2，3時，在相同鋪展范圍內，液膜經過的基底波數增多，從而抑制了液滴鋪展過程，最大液膜厚度的減小率降低并接近平整基底情形。圖6(b)表明，隨波數k增大，鋪展前沿的變化率依次減小，當k=3時，非平整基底上的鋪展前沿變化率已接近平整基底時的Xf～t0.19。由此表明，增加基底波數可能抑制液滴鋪展，對液滴鋪展速度影響較小。

圖6　不同波數下的鋪展特征

圖7給出了k=1，D=0，0.1，0.2，0.3時的鋪展特征。該圖表明，隨基底表面的不平整度增大，液滴高度不斷減小并始終保持對稱形狀向兩側鋪展，且鋪展前沿逐漸增大；非平整基底上的鋪展前沿變化率略高于平整基底時的Xf～t0.19，表明增大D有助于加速液膜鋪展過程。

圖7　不同基底高度下的鋪展特征

4　結論

(1) 基底形式的改變對液滴的鋪展速度有顯著影響，鋸齒狀基底最大液膜厚度Hmax減小速度最快，梯形和波紋狀基底次之，三角狀基底最慢，但均明顯快于平整基底。

(2) 恒定電勢對液滴鋪展過程有明顯的抑制作用，增大Φ值時，電場力對液滴鋪展的作用加強，最大液膜厚度減小速率變慢；恒定電場對液滴的影響體現在垂直方向上，鋪展半徑和鋪展前沿無明顯變化。

(3) 底部電勢形式為Φ=1+Sx，當S=-1和1時液滴的鋪展形態整體呈基底輪廓狀，液滴鋪展中心分別呈現右移和左移特征。

(4) 增加基底波數或基底高度，有利于液滴鋪展過程，鋪展前沿變化率均高于平整基底情形，但其影響總體較小。

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Effect of Electric Field on Droplet Spreading on Uneven Substrate

ZHAO Panpan, DAI Yuqing, YE Xuemin, LI Chunxi

(School of Energy Power and Mechanical Engineering, North China Electric Power University, Baoding 071003, China)

An evolution model on uneven substrate is established, based on the leaky dielectric model and theory of lubrication, to analyze the spreading of a conductive droplet in the presence of electric field. The PEDCOL program is applied to the numerical simulation during modelling. Results show that the uneven substrate can accelerate the speed of spreading, and the maximum rate occurs when the droplet spreads on serrated basement. The spreading of droplet is suppressed in the constant electric field. When the electric potential becomes linear, deviation from the droplet centre appears with its spreading profile similar to that of uneven substrate. Increasing the wave number or height of the substrate facilitates the droplet spreading, but the effect is relatively weak.

electric field; droplet; spreading; uneven substrate

2016-04-17。

國家自然科學基金(11202079)；河北省自然科學基金(A2015502058)。

趙盼盼(1989-)，女，碩士研究生，研究方向為微觀流體力學理論與應用，E-mail:huadianzhaopanpan@126.com。

O361；TQ021

A

10.3969/j.issn.1672-0792.2016.08.009