最優非負變權灰色非線性模型及橋梁變形預測

陳洋，文鴻雁，覃輝，楊志

（1.廣西空間信息與測繪重點實驗室，廣西桂林 541004； 2.桂林理工大學測繪地理信息學院，廣西桂林 541004；3.桂林理工大學廣西礦冶與環境科學實驗中心，廣西桂林 541004）

最優非負變權灰色非線性模型及橋梁變形預測

陳洋1，2，3*，文鴻雁1，2，3，覃輝1，2，3，楊志1，2，3

（1.廣西空間信息與測繪重點實驗室，廣西桂林 541004； 2.桂林理工大學測繪地理信息學院，廣西桂林 541004；3.桂林理工大學廣西礦冶與環境科學實驗中心，廣西桂林 541004）

針對灰色預測模型GM（1，1）擬合精度低的情況，創新性的提出GM（1，1）模型同正弦函數、余弦函數、指數函數和同常數相結合的灰色非線性模型，并給出模型解算和精度評定方法。在此基礎上，根據變權原理又提出了最優非負變權灰色非線性模型解算思路。并用某橋梁變形監測工程實例進行驗證。通過比較分析各模型精度發現：最優非負變權灰色非線性模型預測精度較GM（1，1）模型、灰色非線性模型得到一定程度的提高，可以應用于橋梁變形預測中。

GM（1，1）；灰色非線性模型；最優非負變權灰色非線性模型；橋梁變形預測

1　引 言

橋梁建設是國家重要的基礎設施建設［1］。隨著我國經濟、社會以及科學技術的迅猛發展，我國對交通運輸事業的需求也日益增長。橋梁工程是交通運輸中的咽喉工程。橋梁變形監測是橋梁建造和安全運營當中的重要內容。研究表明，成橋后預警值的設定、損傷監測以及適時維修制度的建立，將有助于從根本上消除隱患以及避免災難性事件的發生［2］。

橋梁規模大，工藝復雜，測量精度要求較高。在橋梁運營中，其受力和線形受到許多諸如氣候，環境等因素的影響。而在實際計算中，往往忽視了這些因素，這就使得計算結果與實際情況有一定的偏差［3］。而灰色理論作為一種預測理論，它能深入挖掘橋梁變形內在信息，具有原理簡單，要求的樣本數據少，運用方便等獨特優勢，因此不少學者將灰色理論運用到橋梁變形預測分析當中［4］。然而，隨著新材料新工藝的開發，致使超大跨度橋梁等現代化橋梁的建造成為可能，這就對橋梁預測精度提出了更高的要求。本文針對當前灰色預測模型GM（1，1）擬合精度低、殘差大的劣勢［4］，提出GM（1，1）同正弦函數、余弦函數、指數函數、常數進行組合的灰色非線性模型，并根據最小方差估計［5］提出最優非負變權灰色非線性模型，最后將各個模型應用到橋梁變形預測工程實例中。通過對比分析各模型精度，證實新算法在橋梁變形預測中是可行的，更具有優越性。

2　最優非負變權灰色非線性模型

2.1GM（1，1）模型

令原始數據列為:x（0）（k）=（x（0）（1），x（0）（2），…，x（0）（n）），對x（0）（k）作一次累加生成（1-AGO）［5］，得到數列x（1）（k）=（x（1）（1），x（1）（2），…，x（1）（n）），其中，k=1，2，…，n。用x（1）的緊鄰均值生成均值序列z（1）=（z1（1），z1（2），…z1（n-1）），其中z1（k）=（x1（k）+x（1）（k+1））/2，k=1，2，…，n-1。

按GM（1，1）的定義，灰色微分方程為［6～8］:

在最小二乘原理準則下求出灰色微分方程系數a，b。

對x（1）求導，建立GM（1，1）預測模型的白化方程:

式中:a是發展系數，控制系統發展態勢的大小；b為灰色作用量，反映數據的變化關系，對式（2）求一重積分，得GM（1，1）白化方程的時間響應式:

通過累減生成GM（1，1）預測值:

2.2灰色非線性組合模型

通過大量的實驗發現，灰色模型方程解與原始數據的偏差在一定的范圍內波動。但如果在白化方程的時間響應式（3）基礎上加上某一個波動函數Cf（t，w）和一個常量C3，此時灰色非線性模型為:

其中，f（t，w）表示不同增減性質的函數。在這種情況下，灰色非線性模型將波動值加入到GM（1，1）模型當中，所以預測精度有望得到進一步提高。根據f （t，w）增減特性，本論文選取正弦函數，余弦函數，指數函數，和常數分別進行計算，主要模型公式如下:

灰色正弦模型:

灰色常數模型:

灰色余弦模型:

灰色指數模型:

（1）灰色非線性組合模型解算

①發展系數v的求解

為了使灰色非線性模型的解在GM（1，1）的解式（3）周圍波動，并且不破壞灰色模型預測的完整性，本論文直接令GM（1，1）的發展系數a作為灰色非線性模型發展系數v。

②最佳適值W的求取

本文通過多次迭代求取最佳適值W。本運算是在MATLAB軟件中完成，通過將周期函數w設定在某一范圍內，使用for循環，以0.1或者更小的數為步長［9］，對于每一個不同的w0。有方程:

在最小二乘原理下求出方程系數C的值

則得到預測模型函數:

通過一次累減得到預測值，再計算預測值的后驗比。不同的數值w0，對應不同的后驗比，選取最小后驗比所對應的數值，即為灰色非線性模型的周期函數解，根據需要依次計算出式（6），式（7），式（8），式（9）中的、后驗比、和最佳預測值。

2.3后驗比精度評定

令S1為原始數列｛x（0）（k）｝的均方差，而S2為殘差序列｛△（k）｝的均方差。后驗差比小誤差概率表示P=P｛|△（k）-△|＜0.6745S1｝，即表示落在［△-0.6745S1，△+0.6745S1］的概率，模型精度等級= max｛P所在的級別，C所在的級別｝［2，6］

模型精度等級　表1

2.4最優非負變權灰色非線性模型

設某橋梁n期實測變形值為Yt，t=1，2…n，用以上4種預測模型對其進行預測，預測值為Yti，i=1，2，3，4，Yti表示第i種模型在t時刻的預測值。令［10］

設eti=（Yt-Yti）表示第i種單項灰色非線性模型在t時刻的預測誤差，et為加權預測值在t時刻的預測誤差，則

設f為最優非負可變加權系數的預測誤差平方和，則以預測誤差平方和最小為目標的函數方程為:

其中，式（17）和式（14）滿足的條件相同，則在式（16）和式（17）條件下求得最優預測值。

3　工程實例對比與分析

某橋梁使用Trimble Di Ni03電子水準儀按國家二等水準要求進行變形觀測。本論文以監測點37922D1連續11期橋墩垂直位移監測數據為例，觀測周期為7天，進行模型論證。垂直位移量是指每次觀測高程與第1次高程比較值，實測下沉數據為表2中的垂直位移量。實測下沉數據少，下沉比較平緩，符合GM（1，1）建模要求。但是，下沉數據并不是呈現指數增長趨勢，所以使用GM（1，1）模型很難滿足預測精度要求。筆者利用監測點前8期的數據分別來建立GM（1，1）模型、灰色非線性模型、最優非負變權灰色非線性模型，并進行后3期的預測，然后進行各模型精度的對比分析。

3.1GM（1，1）和最優非負變權灰色非線性模型比較分析

表2表示GM（1，1）和最優非負變權灰色非線性模型預測對比，而圖1表示GM（1，1）和最優非負變權灰色非線性模型預測圖像。

GM（1，1）和最優非負變權灰色非線性模型預測對比　表2

圖1　GM（1，1）和最優非負變權灰色非線性模型預測數值比較

由表2可知，在數據平穩時，GM（1，1）和最優非負變權灰色非線性模型擬合精度都比較高。在GM（1，1）模型中，最大擬合殘差為6.05×10-2mm，而最優非負變權灰色非線性模型擬合精度更高，最大擬合殘差僅為1.14×10-2mm。但是在進行預測時，GM（1，1）預測精度明顯開始下降，本次預測最大殘差高達21.52× 10-2mm，因其殘差太大而不能使用該模型。然而，最優非負變權灰色非線性模型在后期預測中仍然保持著較高的精度，最大殘差為5.95×10-2mm。殘差在誤差允許范圍內，可以使用。從預測曲線圖（圖1）可以看出最優非負變權灰色非線性模型預測值比GM（1，1）模型預測值較原始數據波動范圍更小。

3.2各模型精度綜合比較分析

表3表示各模型的擬合值平均殘差，擬合值后驗比和預測值平均殘差等的比較。由表2可算出原始數據的標準差S1為11.86，根據各殘差方差計算后驗比。由表1可知當后驗比小于0.35，且滿足小概率發生事件，則模型等級為一級。

各模型精度綜合比較　表3

圖2是各灰色非線性模型預測值圖。由圖2和表3數據可知，GM（1，1）模型的擬合值和預測值與原始數據相差最大。其擬合平均殘差為12.02%，只滿足一般要求，而其預測殘差高達21.52%，則不能進行使用。可以從殘差圖（圖3）中得到進一步了解。而灰色非線性模型和最優非負變權灰色非線性模型卻具有良好的預測效果，其擬合平均殘差最大2.02，后驗比最大為0.0455，最優非負變權灰色非線性模型預測平均殘差僅為4.32%。在本次試驗中的最優非負變權灰色非線性模型既保留了GM（1，1）的預測穩定性，同時還具有擬合精度和預測精度高等獨特優勢。其擬合值平均殘差較GM（1，1）模型減小了7倍，而后驗比大小減少了5.5倍，預測精度提高了5倍。所以在實際運用中，能夠運用本試驗中的最優非負組合模型來預測橋梁后幾期數據的大小，或者設定預定值，估計沉降到預定值所需要用的時間。這就為了快速判斷橋梁的安全狀態，準確識別險情，保障橋梁安全施工與安全運營提供了理論基礎。

圖2　灰色非線性模型預測值對比

圖3　各預測模型殘差對比圖

4　結 論

針對GM（1，1）模型擬合精度和預測精度不高的情況，本文提出了灰色非線性模型和最優非負變權灰色非線性模型的算法。并以某橋梁變形數據為例，進行了試驗驗證。通過工程實例對比分析得出如下結論:

（1）變形是自然界普遍存在的現象。將灰色理論運用于橋梁變形監測當中，能夠得到挖掘變形數據中潛在的某種規律，為橋梁變形監測提供理論基礎。

（2）灰色非線性模型與GM（1，1）模型相比，灰色非線性模型能夠有效地減小平均殘差大小，擬合曲線與原始數據曲線更加逼近，預測值具有更高的可信度。

（3）從預測值精度的角度看，最優非負變權灰色非線性模型相對GM（1，1）、灰色非線性模型擁有最高的精度，它既有GM（1，1）模型能夠挖掘數據中潛在規律的優勢，同時又擁有了灰色非線性模型擬合精度高的特點，因此可以運用于橋梁變形預測工程實際當中。

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The Optimal Non-negative Variable Weight-grey Nonlinear Model and Bridge Deformation Prediction

Chen Yang1，2，3，Wen Hongyan1，2，3，Qin Hui1，2，3，Yang Zhi1，2，3
（1.Guangxi Key Laboratory of Spatial Information and Geomatics，Guilin 541004，China； 2.College of Geomatics and Geoinformation，Guilin University of Technology，Guilin 541004，China； 3.Guangxi Scientific Experiment Center of Mining，Metallurgy and Environment，Guilin University of Technology，Guilin 541004，China）

The GM（1，1）model fitting precision in some case is low，so this paper put forward the grey nonlinear model which combined GM（1，1）with sine function，cosine function，exponential function and constant.the accuracy evaluation method also given by this paper.On this basis，the optimal non-negative variable weight combination model and it's calculating way have been proposed according to the principle of variable weight.The project of bridge deformation monitoring is used to verify the feasibility of the model.By comparing the precision，we found that the optimal non-negative variable weight combination forecasting accuracy is higher than GM（1，1）model and the grey nonlinear model. Therefore，we can apply the optimal non-negative variable weight combination model to the bridge deformation prediction.

GM（1，1）；the grey non-linear models；the optimal non-negative variable weight combination model；the bridge deformation prediction

1672-8262（2016）04-126-05

TU196，P258

A

2016—05—07

陳洋（1991—），男，碩士研究生，主要從事精密工程測量與變形監測數據處理及變形數據處理理論優化研究。

國家自然科學基金項目（41461089），廣西“八桂學者”崗位專項經費資助項目，廣西空間信息與測繪重點實驗室資助課題（桂科能151400702，140452402）；廣西礦冶與環境科學實驗中心資助課題（KH2012ZD004）；廣西研究生教育創新計劃項目（YCSZ2014151，YCSZ2012083）；廣西自然科學基金項目（2014GXNSFAA118288）。