有理三角 Bézier曲線曲面光滑融合的構(gòu)造

劉華勇， 李　璐， 張大明， 謝新平，王煥寶

(安徽建筑大學(xué) 數(shù)理學(xué)院， 安徽 合肥 230601)

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有理三角 Bézier曲線曲面光滑融合的構(gòu)造

劉華勇， 李璐， 張大明， 謝新平，王煥寶

(安徽建筑大學(xué) 數(shù)理學(xué)院， 安徽 合肥 230601)

為了使自由曲線曲面在較為簡(jiǎn)單的條件下能夠達(dá)到相對(duì)高階的光滑拼接，并在不改變控制頂點(diǎn)的情況下自由調(diào)整曲線曲面的形狀，構(gòu)造了含多個(gè)形狀參數(shù)的有理三角函數(shù)．基于該組基函數(shù)，定義了含多個(gè)形狀參數(shù)的有理三角曲線曲面，并討論了曲線曲面的光滑拼接條件．根據(jù)拼接條件，分別定義了由含多個(gè)形狀參數(shù)的有理三角曲線曲面構(gòu)成的分段組合曲線、分片組合曲面.這種新的曲線曲面能夠自動(dòng)保證組合曲線、曲面的連續(xù)性．?dāng)?shù)值實(shí)例的結(jié)果顯示了該方法的有效性.

三角Bézier曲線;融合;連續(xù)性;封閉的曲線曲面

Journal of Zhejiang University(Science Edition), 2016,43(5):554-559,566

在計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)(CAGD)中，Bernstein多項(xiàng)式和Bézier曲線曲面設(shè)計(jì)發(fā)揮了極其重要的作用.Bézier曲線曲面結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、計(jì)算相對(duì)方便、設(shè)計(jì)相對(duì)有效，但在實(shí)際應(yīng)用中存在缺陷，即在控制多邊形不變的情況下，無(wú)法調(diào)整曲線曲面的外形.有理的B-spline曲線曲面雖然在一定程度上克服了上述困難，但畢竟是有理形式，曲線曲面拼接的條件較復(fù)雜.

為了克服Bézier和B-樣條曲線曲面的上述缺點(diǎn)，許多學(xué)者通過(guò)引入形狀參數(shù)構(gòu)建了新的曲線曲面.例如，李軍成[1]介紹了一種構(gòu)造任意類三次三角曲線的方法.嚴(yán)蘭蘭等[2]定義了形狀及光滑度可調(diào)的自動(dòng)連續(xù)組合曲線曲面. ZHANG[3-4]給出了帶形狀參數(shù)的三角多項(xiàng)式均勻B樣條.這些曲線或曲面都與Bézier曲線或B-spline樣條曲線曲面具有許多共同的基本特性，并可通過(guò)參數(shù)調(diào)整曲線曲面的形狀.HAN[5]介紹了帶參數(shù)的二次三角多項(xiàng)式樣條曲線.劉華勇等[6]構(gòu)造了帶參數(shù)的二次三角樣條曲線擴(kuò)展.在自由曲線曲面造型中, 一般以多項(xiàng)式為基函數(shù)構(gòu)造參數(shù)曲線曲面,而三角函數(shù)空間具有一些獨(dú)特的性質(zhì)，使得在三角函數(shù)空間中也能構(gòu)造參數(shù)曲線曲面[7-14]. 但與曲線曲面的融合較為困難，且連續(xù)性不高[16-18].為了使自由曲線曲面在簡(jiǎn)單的條件下具有相對(duì)較高的光滑融合，同時(shí)在不改變控制頂點(diǎn)的情況下可以修改曲線曲面的形狀，本文基于文獻(xiàn)[2]的思想，構(gòu)造了帶形狀參數(shù)的有理三角Bézier基函數(shù)，基于該組基函數(shù)，定義了λRC-Bézier曲線曲面，并詳細(xì)討論了該曲線曲面光滑拼接的條件．

1　帶形狀參數(shù)的有理三角Bézier基函數(shù)的定義及其性質(zhì)

定義1對(duì)于t∈[0,π/2]， ω1,ω2≥0，0≤λ1<1, 0<λ2≤1，記

(2)

為帶參數(shù)的有理三角Bézier基函數(shù)，簡(jiǎn)稱為λRC-Bézier基函數(shù).

性質(zhì)1非負(fù)性：Bi(t;ω1,ω2,λ1,λ2)≥0,i=0,1,2,3;

性質(zhì)3對(duì)稱性：當(dāng)ω1=ω2,λ1+λ2=1時(shí)，滿足B3-i(t;ω1,ω2,λ1,λ2)=Bi(π/2-t;ω1,ω2,λ1,λ2),i=0,1;

性質(zhì)4退化性：當(dāng)ω1=ω2=1,λ1=0,λ2=1時(shí)，Bi(t;ω1,ω2,λ1,λ2)(i=0,1,2,3)退化為T(mén)i(t)(i=0,1,2,3);

性質(zhì)5端點(diǎn)性質(zhì)：當(dāng)t∈[0,π/2]時(shí)，為了書(shū)寫(xiě)簡(jiǎn)便，下式中的Bi(t;ω1,ω2,λ1,λ2)記為Bi(t).

進(jìn)一步計(jì)算可知，

(1)當(dāng)n為偶數(shù)，t=0時(shí)，有

[2-n2ω1+(n2-2)ω2]；

[2-n2ω1+(n2-2)ω2]；

(n-2)(n-1)]/

[2-n2ω1+(n2-2)ω2]；

[2-n2ω1+(n2-2)ω2].

t=π/2時(shí)，有

[2-n2ω2+(n2-2)ω1]；

[2-n2ω2+(n2-2)ω1]；

[2-n2ω2+(n2-2)ω1]；

(2)當(dāng)n為奇數(shù)，t=0時(shí)，

t=π/2時(shí)，有

2　帶形狀參數(shù)的有理三角Bézier曲線的定義及其性質(zhì)

定義2給定4個(gè)控制頂點(diǎn)Pi∈Rd(d=2,3;i=0,1,2,3)，t∈[0,π/2]，稱

(2)為帶參數(shù)的有理三角Bézier曲線，簡(jiǎn)稱為λRC-Bézier曲線.

由λRC-Bézier基函數(shù)的性質(zhì)，很容易得到λRC-Bézier曲線的性質(zhì)：

性質(zhì)6對(duì)稱性：由基函數(shù)的對(duì)稱性可知，如果保持λRC-Bézier曲線的控制頂點(diǎn)位置不變，只改變他們的先后次序，將得到的新曲線記作Q(t)，則有Q(t)=R(π/2-t). 曲線的對(duì)稱性表明，由相同控制多邊形定義的λRC-Bézier曲線是唯一的.

性質(zhì)7凸包性和保凸性：由λRC-Bézier基函數(shù)的非負(fù)性和權(quán)性知,曲線B(t)是控制頂點(diǎn)的加權(quán)平均，其權(quán)因子為λRC-Bézier基函數(shù)，因此λRC-Bézier曲線完全在特征多邊形控制的凸包內(nèi).特征多邊形為凸時(shí)，相應(yīng)的λRC-Bézier曲線也為凸的，即曲線具備凸包性.

性質(zhì)8幾何不變性：曲線的外形由4個(gè)控制頂點(diǎn)的位置決定，與坐標(biāo)系的選取無(wú)關(guān).

性質(zhì)9仿射不變性：對(duì)決定控制多邊形的曲線進(jìn)行仿射變換后，所得到的曲線就是原曲線經(jīng)過(guò)相同仿射變換后的曲線.

性質(zhì)10端點(diǎn)性質(zhì)：

由基函數(shù)的端點(diǎn)性質(zhì)知，

R(0)=(1-λ1)P0+λ1P1=P0+λ1(P1-P0);

R(π/2)=(1-λ2)P2+λ2P3=P2+λ2(P3-P2).

由上式知，曲線插值于控制多邊形首邊P0P1上的某點(diǎn)比例為(1-λ1)∶λ1，末邊P2P3上的某點(diǎn)比例為(1-λ2)∶λ2.若λ1=0，則曲線插值于P0；若λ2=1，則曲線插值于P3.

同樣，經(jīng)進(jìn)一步計(jì)算，特別當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，有

(3)

(4)曲線與控制多邊形的首邊相切且連續(xù)性更高，切點(diǎn)為多邊形首邊P0P1上的某點(diǎn)，比例為(1-λ1)∶λ1.若λ1=0，則切點(diǎn)為P0，同時(shí)曲線與控制多邊形的末邊相切，且連續(xù)性更高，切點(diǎn)為多邊形首邊P2P3上的某點(diǎn)，比例為(1-λ2)∶λ2；若λ2=1，則切點(diǎn)為P3.

性質(zhì)11形狀可調(diào)性：帶有形狀參數(shù)的λRC-Bézier曲線，隨著參數(shù)ωi;λi(i=1,2)的改變，曲線會(huì)隨之變化，其插值位置也隨之不同,如圖1所示.

圖1　ω1,ω2,λ1,λ2取不同值時(shí)曲線的形狀變化Fig.1　Influence of the value of ω1,ω2,λ1,λ2 on curve

3　帶形狀參數(shù)的λRC-Bézier曲線融合

3.1帶形狀參數(shù)的λRC-Bézier曲線的拼接

證明由性質(zhì)知：

所以曲線滿足G1連續(xù).

由端點(diǎn)性質(zhì)，并經(jīng)進(jìn)一步計(jì)算，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，可知：

k=0,1,…，n；

其中，

所以曲線滿足G(2k+1)連續(xù).

圖2　帶形狀參數(shù)的λRC-Bézier曲線的拼接Fig.2　Joining λRC-Bézier curves with shape parameters

3.2帶形狀參數(shù)的λRC-Bézier曲線的組合

根據(jù)定理1所描述的性質(zhì)，當(dāng)給定任意的控制頂點(diǎn)時(shí)，可以定義包含多個(gè)形狀參數(shù)的分段的組合曲線，并且使得曲線在連接點(diǎn)處能自動(dòng)達(dá)到光滑拼接,見(jiàn)圖2.

(5)

此組合λRC-Bézier曲線和三角樣條曲線具有一些共同點(diǎn)：4個(gè)控制頂點(diǎn)決定一段曲線；當(dāng)給定控制頂點(diǎn)時(shí)，曲線在連接點(diǎn)處能自動(dòng)達(dá)到光滑拼接；并且每段曲線都含有多個(gè)形狀參數(shù)，能決定該段曲線的形狀，且具有強(qiáng)局部性．但他們之間也有不同：三角樣條曲線在每段的拼接點(diǎn)處至多滿足C2連續(xù)，而組合λRC-Bézier曲線在拼接點(diǎn)處可以達(dá)到G2k+1連續(xù)；在相鄰2個(gè)曲線段之間，拼接的三角樣條曲線只有1個(gè)不相同的控制頂點(diǎn)，而組合的相鄰λRC-Bézier曲線段之間只有2個(gè)相同的控制頂點(diǎn)，因此需要的存儲(chǔ)空間更少；修改三角樣條曲線的其中1個(gè)控制頂點(diǎn)，至多可修改4條相鄰曲線段的外形，而修改組合λRC-Bézier曲線的其中1個(gè)控制頂點(diǎn)，至多可修改2條相鄰曲線段的外形，說(shuō)明組合λRC-Bézier曲線比三角樣條曲線具有更強(qiáng)的局部性；在不改變控制頂點(diǎn)的情況下，三角樣條曲線無(wú)法對(duì)其進(jìn)行形狀修改，但組合λRC-Bézier曲線中存在形狀控制參數(shù)，其形狀可根據(jù)設(shè)計(jì)者的需求自由調(diào)整，見(jiàn)圖3.

圖3　帶形狀參數(shù)的λRC-Bézier曲線的組合Fig.3　Combination of λRC-Bézier curves with different shape parameters

3.3帶形狀參數(shù)的λRC-Bézier曲線設(shè)計(jì)

圖4　閉合曲線構(gòu)造的情形Fig.4　The case of closed curves

圖5　λRC-Bézier曲線和三次B樣條曲線的比較Fig.5　Comparison of λRC-Bézier curve with B- spline curve

4　帶形狀參數(shù)的λRC-Bézier曲面的定義及其性質(zhì)

定義4給定一組16個(gè)控制頂點(diǎn)Pij∈R3(i,j=0,1,2,3)，u,v∈[0,π/2]，稱

Bj(v;ω1v,ω2vλ1v,λ2v)Pij

(6)

為帶形狀參數(shù)的λRC-Bézier曲面.

圖6　λ,ω取不同值時(shí)曲面的光滑融合Fig.6　Smooth blending of surfaces with different value of λ,ω

5　結(jié)　論

給出的λRC-Bézier曲線具有形狀可調(diào)性，在構(gòu)造帶形狀參數(shù)函數(shù)時(shí)，曲線的拼接條件相對(duì)較簡(jiǎn)單，且連續(xù)性相對(duì)較高．所以在相同拼接條件下，只需要簡(jiǎn)單地修改形狀參數(shù)值就可以修改曲線的插值位置、連續(xù)性等．文中還給出了帶形狀參數(shù)的曲面的定義和一些實(shí)例，由這些定義知，λRC-Bézier曲線可以更好地控制曲面，且連續(xù)性較三角樣條方法高，雖然不需要考慮拼接等問(wèn)題，但這些常用三角樣條的曲線曲面至多只能滿足C2連續(xù)，如果需要更高階連續(xù)，則必須由更高次三角樣條曲線曲面來(lái)解決，從而減弱了三角樣條曲線曲面的局部性．本文構(gòu)造的組合拼接曲線曲面具有三角樣條不具備的一些優(yōu)點(diǎn)．

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Smooth blending of rational trigonometric Bézier curves and surfaces.

LIU Huayong, LI Lu, ZHANG Daming, XIE Xinping, WANG Huanbao

(SchoolofMathematic&Physics,AnhuiJianzhuUniversity,Hefei230601,China)

In order to achieve high level of smooth blending between the free form curves and surfaces in relatively simple conditions and easy shape adjustment of the curves and surfaces without changing their control vertices, a set of rational trigonometric Bézier basis functions with multiple shape parameters are constructed. Based on these basis functions, the rational trigonometric Bézier curves and surfaces with multiple shape parameters are defined, and the conditions for smooth joining of these curves and surfaces are derived. Following the above conditions of blending, the piecewise composite rational curves and surfaces with multiple shape parameters are defined, which automatically meet with the higher order continuity. The results of numerical examples show the effectiveness of the method.

trigonometric Bézier curve; blending; continuity; closed curves and surfaces

2015-08-10.

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61402010, 61471003); 安徽省高等學(xué)校自然科學(xué)研究項(xiàng)目(KJ2015A328; KJ2015JD16; KJ2016A151 ).

劉華勇(1972-)，ORCID:http://orcid:org/0000-0002-9330-1149，男，碩士，副教授，主要從事計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)研究,E-mail：aiaiwj@126.com.

10.3785/j.issn.1008-9497.2016.05.011

TP 391

A

1008-9497(2016)05-554-06