關(guān)于兩參數(shù)Birnbaum-Saunders疲勞壽命分布統(tǒng)計分析的2個注記

徐曉嶺, 王蓉華, 顧蓓青*

(1.上海對外經(jīng)貿(mào)大學 統(tǒng)計與信息學院,上海 201620； 2.上海師范大學 數(shù)理學院,上海 200234)

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關(guān)于兩參數(shù)Birnbaum-Saunders疲勞壽命分布統(tǒng)計分析的2個注記

徐曉嶺1, 王蓉華2, 顧蓓青1*

(1.上海對外經(jīng)貿(mào)大學 統(tǒng)計與信息學院,上海 201620； 2.上海師范大學 數(shù)理學院,上海 200234)

通過Monte-Carlo模擬說明目前用于求解兩參數(shù)Birnbaum-Saunders疲勞壽命分布尺度參數(shù)的2種方法可能無法得到尺度參數(shù)的區(qū)間估計.進一步指出，在利用廣義樞軸量法給出尺度參數(shù)以及參數(shù)函數(shù)的置信區(qū)間過程中存在錯誤,并用反例進行了說明,同時給出了正確的證明.

兩參數(shù)Birnbaum-Saunders疲勞壽命分布；尺度參數(shù)；區(qū)間估計；廣義樞軸量

Journal of Zhejiang University(Science Edition), 2016,43(5):539-544

Birnbaum-Saunders模型是概率物理方法中的重要失效分布模型,由BIRNBAUM和SAUDERS于1969年在研究主因裂紋擴展導致的材料失效過程中推導而來,其后廣泛應用于機械產(chǎn)品的可靠性研究,在電子產(chǎn)品性能退化失效分析中也有重要應用.

設T服從兩參數(shù)Birnbaum-Saunders疲勞壽命分布BS(α,β),其分布函數(shù)F(t)與密度函數(shù)f(t)分別為：

其中,α>0稱為形狀參數(shù),β>0稱為尺度參數(shù),φ(x),Φ(x)分別為標準正態(tài)分布的密度函數(shù)與分布函數(shù),即

假設Yj是獨立同分布的非負隨機變量,均值為μ,方差為σ2,當然這個假設只在某些應用中成立.設失效發(fā)生在第s個周期,即在第s個周期Wn首次超過臨界值w,易見

P(s≤n)=P(Wn≥w).

當n很大時,由中心極限定理知：

由于存在多周期,每一周期持續(xù)時間都很短,可以用連續(xù)時間t(失效需要的時間)來替換離散時間n,故相應的累積分布函數(shù)F(t)為

其中,

由于Birnbaum-Saunders疲勞壽命分布是從疲勞過程的基本特征出發(fā),其分布比常用壽命分布如威布爾分布、對數(shù)正態(tài)分布更適合描述某些因疲勞失效產(chǎn)品的壽命分布規(guī)律.此分布已成為可靠性統(tǒng)計分析的常用分布之一.

關(guān)于兩參數(shù)Birnbaum-Saunders疲勞壽命分布BS(α,β)的統(tǒng)計分析已有較多研究.BIRNBAUM等[1]結(jié)合背景分析提出了BS疲勞壽命分布,DESMOND[2]基于生物模型給出了更加通用的推導,進一步說明BS疲勞壽命分布使用的物理緣由,放寬了文獻[1]中所給出的最初的假設條件.DESMOND[3]研究了BS分布與逆高斯分布的關(guān)系,指出用此分布來描述產(chǎn)品的疲勞壽命較其他分布更合理.BIRNBAUM等[4]討論了全樣本場合下參數(shù)的極大似然估計.ENGELHARDT等[5]應用蒙特卡羅方法和MLE的漸進正態(tài)性討論了參數(shù)置信區(qū)間估計以及形狀參數(shù)和尺度參數(shù)的假設檢驗問題.RIECK等[6]研究了將疲勞壽命分布的對數(shù)線性模型用于加速壽命試驗,此模型還可用于比較平均壽命,同時進一步研究了MLE與最小二乘估計,并用大樣本方法給出了參數(shù)的近似區(qū)間估計和假設檢驗方法.雖然BS分布參數(shù)的極大似然估計有很多優(yōu)點,但非線性方程較為復雜,無法直接求解,而常規(guī)的矩估計不一定存在或唯一,NG[7]給出了修改矩估計的方法.DUPUIS等[8]給出了參數(shù)的ROBUST估計.CHANG等[9]給出了可靠度函數(shù)的區(qū)間估計.RIECK[10]針對對稱截尾樣本,給出了BS分布的參數(shù)估計.OWEN和PADGETT在文獻[11-13]中給出了BS分布可靠度的貝葉斯估計并研究了冪律加速壽命試驗模型.KUNDO等[14]討論了BS分布的失效率函數(shù)的形狀,得到該失效率函數(shù)是一個倒浴盆函數(shù).

在國內(nèi),較早研究BS分布的有王炳興等[15],文獻[15]討論了BS疲勞壽命分布及其對數(shù)線性模型的參數(shù)估計問題,給出了BS疲勞壽命分布中參數(shù)的逆矩估計方法,此方法計算簡單，且對可能異常點相對穩(wěn)健,并用實例說明該估計方法的可行性；文獻[16]研究了定數(shù)截尾和定時截尾場合下的參數(shù)點估計與區(qū)間估計.王蓉華等[17]在雙邊定數(shù)截尾場合下, 給出了BS分布參數(shù)的擬最小二乘估計和近似極大似然估計, 并用隨機模擬方法比較了極大似然估計、近似極大似然估計和擬最小二乘估計的偏性和均方誤差；文獻[18]還研究了定數(shù)截尾場合下BS分布參數(shù)的近似極大似然估計；文獻[19]研究了缺失數(shù)據(jù)場合下BS分布尺度參數(shù)的區(qū)間估計.孫祝嶺[20]研究了BS分布參數(shù)的區(qū)間估計問題,提出用新的樞軸量來構(gòu)造尺度參數(shù)的經(jīng)典置信區(qū)間,此方法具有較為簡單的顯式表達式，應用回歸分析給出了BS分布參數(shù)的最小二乘估計和形狀參數(shù)區(qū)間估計方法.用計算機隨機模擬了區(qū)間估計的效果,結(jié)果顯示效果非常好[21].孫祝嶺[22]給出了BS分布變異系數(shù)的區(qū)間估計和假設檢驗方法.在失效機理保持不變的條件下,還討論了BS分布環(huán)境因子的估計問題[23].王炳興[24]研究了形狀參數(shù)以及均值、分位數(shù)、可靠度等可靠性指標的廣義區(qū)間估計.牛翠珍等[25]利用文獻[24]中的廣義樞軸量法對分布在不同參數(shù)情形下的BS進行了比較.周磊等[26]提出了一種基于BS分布的互連線時延模型,避免了查表運算,且僅需要采用前2個瞬態(tài),計算簡單,準確性較好,同時提出了一種精度修正算法,修正后該方法具有更好的適應性,90納米工藝TCAD仿真實驗表明,該模型在效率、精度、難易程度等方面具有一定的優(yōu)勢.趙建印等[27]利用BS分布對布朗運動、幾何布朗運動和Gamma過程等隨機過程退化軌道建立了形式統(tǒng)一的加速退化模型,并采用極大似然方法估計模型參數(shù).最后針對某自控溫伴熱電纜,利用所建模型進行加速退化分析,有效驗證了模型的正確性和合理性.

關(guān)于兩參數(shù)Birnbaum-Saunders疲勞壽命分布尺度參數(shù)的區(qū)間估計通常采用文獻[19-20]所提出的方法,本文通過MonteCarlo模擬說明這2種方法有可能無法得到尺度參數(shù)的區(qū)間估計.同時指出文獻[24]在利用廣義樞軸量法給出尺度參數(shù)以及參數(shù)函數(shù)的置信區(qū)間過程中存在錯誤,用反例進行了說明,并給出了正確的證明.

1　關(guān)于尺度參數(shù)β的區(qū)間估計的一個注記

1.1文獻[19]方法研究

設總體T～BS(α,β),T1,T2,…,Tn為來自總體T的一個容量為n的簡單隨機樣本,其次序統(tǒng)計量記為T(1)≤T(2)≤…≤T(n).

則Z(1)≤Z(2)≤…≤Z(n)與樣本量為n標準正態(tài)分布N(0,1)的前n個次序統(tǒng)計量同分布.

令

即G(β)為樞軸量,其分布與參數(shù)無關(guān).由文獻[19]知，G(β)對β嚴格單調(diào)遞減,將G(β)作如下恒等變換：

則

1.2文獻[20]方法研究

設T1,T2,…,Tn為來自Birnbaum-Saunders疲勞壽命分布總體T～BS(α,β)的一個容量為n的簡單隨機樣本,其樣本觀察值為t1,t2,…,tn.

令

則

Yi～N(0,α2),i=1,2,…,n.

因此對于樣本,若

則有雙側(cè)置信區(qū)間；

若為下列3種情況之一：

則有沒有雙側(cè)置信區(qū)間.

為彌補文獻[20]的不足,需解決尺度參數(shù)β的區(qū)間估計問題，這將另文討論.

2　關(guān)于廣義置信區(qū)間的一個注記

設T1,T2,…,Tn為來自兩參數(shù)Birnbaum-Saunders疲勞壽命分布總體T～BS(α,β)的一個容量為n的簡單隨機樣本,其次序觀察值為t1,t2,…,tn.

令

則

Yi～N(0,α2),i=1,2,…,n.

據(jù)文獻[24],

下證“T(β)與V相互獨立”.

證明不失一般性，可假設σ=1.易見

由于Y1,Y2相互獨立,則(Y1,Y2)的聯(lián)合密度為：

對-∞

令

由于T～t(n-1),U～χ2(n),即T與U的密度函數(shù)分別為：

-∞

由此得(T,U)的聯(lián)合密度為：

得到T與U相互獨立.

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Two notes of statistical analysis about two-parameter Birnbaum-Saunders fatigue life distribution.

XU Xiaoling1, WANG Ronghua2, GU Beiqing1

(1.SchoolofStatisticsandInformation,ShanghaiUniversityofInternationalBusinessandEconomics,Shanghai201620,China; 2.MathematicsandScienceCollege,ShanghaiNormalUniversity,Shanghai200234,China)

We know that two methods about interval estimate of scale parameter for two-parameter Birnbaum-Saunders fatigue life distribution are shown not always capable of obtaining the interval estimate of scale parameter based on the results of Monte Carlo simulations. Moreover, there is a mistake in deriving the confidence intervals of scale parameter and parameter function with the generalized pivot method. A corresponding counter example is illustrated, and the correct proof is provided.

two-parameter Birnbaum-Saunders fatigue life distribution; scale parameter; interval estimate; generalized pivotal quantity

2015-12-04.

國家自然科學基金資助項目(11671264).

徐曉嶺(1965-)，ORCID:http：//orcid.org/0000-0002-9442-8555,男，博士，教授，主要從事應用統(tǒng)計研究，E-mail:xlxu@suibe.edu.cn.

ORCID:http//orcid.org/0000-0003-1539-8747,E-mail:gubeiqing@suibe.edu.cn.

10.3785/j.issn.1008-9497.2016.05.008

O 213

A

1008-9497(2016)05-539-06