雙曲空間中全臍超曲面與高斯映照像

王　琪

(貴陽(yáng)學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，貴州 貴陽(yáng) 550005)

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雙曲空間中全臍超曲面與高斯映照像

王琪

(貴陽(yáng)學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，貴州 貴陽(yáng) 550005)

設(shè)Mn是單位雙曲空間形式Hn+1中定向的緊致無(wú)邊超曲面.假設(shè)存在整數(shù)r(1≤r≤n-1)使得高階平均曲率Hi>0,i=1,2,…,r,且Hr是常數(shù).證明了：如果Mn的高斯映照像包含在一個(gè)開半球面內(nèi),則Mn全臍.

單位雙曲空間形式；全臍超曲面；高斯映照像；常數(shù)高階平均曲率

Journal of Zhejiang University(Science Edition), 2016,43(5):537-538,549

0　引　言

黎曼空間形式中超曲面的剛性問題，是黎曼幾何學(xué)中最重要和最有意思的問題之一.

具有常數(shù)截面曲率的完備連通黎曼流形，即黎曼空間形式.就維數(shù)(n+1)而言，在微分同胚意義下，黎曼空間形式的代表有:歐氏空間Rn+1，有常數(shù)截面曲率K≡0;單位球面空間形式Sn+1，有常數(shù)截面曲率K≡1;單位雙曲空間形式Hn+1，有常數(shù)截面曲率K≡-1.

BIVENS[1]對(duì)Hn+1中定向的緊致無(wú)邊超曲面的剛性給出了如下的定理1.

定理1(文獻(xiàn)[1]定理1)設(shè)Mn是Hn+1中定向的緊致無(wú)邊超曲面.如果存在某個(gè)整數(shù)r(1≤r≤n-1)使得高階平均曲率Hr，Hr+1均為非零常數(shù)，則Mn全臍.

1998年KOH[2]利用文獻(xiàn)[1]的積分公式， 改進(jìn)了定理1的曲率條件，給出了如下定理：

事實(shí)上，在外圍空間為Rn+1和Sn+1的情況下，定理1和定理2也成立.定理1和定理2成為用高階平均曲率來(lái)刻畫超曲面的全臍性的經(jīng)典結(jié)果.筆者注意到，定理1和定理2 的曲率條件，同時(shí)涉及2個(gè)高階平均曲率.

ALENCAR等[3]研究了單位球面空間Sn+1中定向的緊致無(wú)邊超曲面，得到了定理 3.定理3的曲率條件只涉及一個(gè)常數(shù)高階平均曲率，但同時(shí)涉及超曲面的高斯映照像.

定理3(文獻(xiàn)[3]定理B)設(shè)Mn是Sn+1中定向的緊致無(wú)邊超曲面.假設(shè)存在某個(gè)整數(shù)r(1≤r≤n-1)使得高階平均曲率Hr是常數(shù)，而且下列不等式處處成立:

Hr-1≥0，H1Hr-1≥Hr>0.

如果Mn的高斯映照像包含在一個(gè)閉的半球面內(nèi)，則Mn全臍.

本文討論Hn+1中定向的緊致無(wú)邊超曲面，獲得了定理A.與定理3類似，定理A的條件，也只涉及一個(gè)常數(shù)高階平均曲率，同時(shí)與超曲面的高斯映照像相關(guān).

定理A設(shè)Mn是Hn+1中定向的緊致無(wú)邊超曲面.假設(shè)存在某個(gè)整數(shù)r(1≤r≤n-1)使得高階平均曲率Hi>0，i=1,2,…,r，且Hr是常數(shù).如果Mn的高斯映照像包含在一個(gè)開的半球面內(nèi)，則Mn全臍.

注事實(shí)上，在外圍空間為單位de Sitter空間的情況，用與本文類似的方法，可以證明與定理A類似的結(jié)論也成立.

1　預(yù)備知識(shí)

設(shè)Rn+2是(n+2)-維實(shí)向量空間.對(duì)

x=(x0,x1,...,xn+1),y=(y0,y1,...,yn+1)∈Rn+2，賦予如下的Lorentz內(nèi)積[4-7]

(n+1)-維單位雙曲空間形式Hn+1定義為[5]

同時(shí)定義H0≡1.

因?yàn)楦唠A平均曲率是主曲率的基本對(duì)稱函數(shù)的平均值，所以有下列不等式[1-4,8]：

(1)

進(jìn)一步，當(dāng)且僅當(dāng)k1=k2=…=kn，式(1)中的等號(hào)成立.

當(dāng)Mn是Hn+1中可定向的超曲面時(shí)，Mn有整體的單位法向量場(chǎng)N，且Mn的高斯映照像為[5]

N(M)={N(x)∈Tx(Hn+1):

∫M(Hk-1〈x,p〉+Hk〈N,p〉)dx=0.

(2)

2　定理A的證明

證明首先，由假設(shè)Hi>0，i=1,2,…,r以及不等式(1)，有

(3)

由積分公式(2)，有

∫M(〈x,p〉+H1〈N,p〉)d x=0,

(4)

∫M(Hr〈x,p〉+Hr+1〈N,p〉)d x=0.

(5)

因?yàn)镠r是常數(shù)，由式(4)，有

∫M(Hr〈x,p〉+H1Hr〈N,p〉)dx=0.

(6)

由式(5)和(6)，立即得到

∫M(H1Hr-Hr+1)〈N,p〉d x=0.

(7)

注意到式(3)，有

H1Hr-Hr+1≥0，?x∈Mn.

(8)

寫Mn的單位法向量場(chǎng)為

?x∈Mn.

因?yàn)榧僭O(shè)Mn的高斯映照像N(Mn)包含在一個(gè)開半球面內(nèi)，不失一般性，設(shè)

τ0(x)>0,?x∈Mn.

〈N,p〉=〈N(x),p〉=-(-1)τ0(x)=τ0(x)>0.

(9)

最后，由式(7)～(9)，得式(3)中的全部等號(hào)成立.

再由式(1)等號(hào)成立的條件，證得Mn全臍.

[1]BIVENSI.Integralformulasandhypersphereinasimplyconnectedspaceform[J]. Proc Amer Math Soc,1983,88(1):113-118.

[2]KOH S E. A characterization of round spheres[J].Proc Amer Math Soc,1998,126(12):3657-3660.

[3]ALENCAR H, ROSENBERG H, SANTOS W. On the Gauss map of hyper-surfaces with constant scalar curvature in spheres[J]. Proc Amer Math Soc,2004,132(12):3731-3739.

[4]LI Haizhong, CHEN Weihuan. Integral formulas for compact space-like hyper-surfaces in de Sitter space and their applications to Goddard’s conjecture[J]. Acta Mathematica Sinica,1998,14(2):285-288.

[5]忻元龍.黎曼幾何講義[M].上海:復(fù)旦大學(xué)出版社,2010.

XIN Yuanlong. Riemann Geometry Notes[M]. Shanghai：Fudan University Press，2010.

[6]楊世國(guó),王文,卞革.雙曲空間Hn(-1)和球面空間Sn(1)中單形頂點(diǎn)角的一些不等式[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2014,57(6):1101-1108.

YANG Shiguo, WANG Wen, BIAN Ge. Inequalities for vertex angles of a simplex in hyperbolic space

Hn(-1) and spherical spaceSn(1)[J]. Acta Mathematica Sinica: Chinese Series,2014,57(6):1101-1108.

[7]聶昌雄,田大平,吳傳喜.共形空間中具有平行的共形第二基本形式的I型類時(shí)超曲面[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2011,54(1):125-136.

NIE Changxiong, TIAN Daping, WU Chuanxi. Classification of type I time-like hyperspaces with parallel conformal second fundamental forms in the conformal space[J]. Acta Mathematica Sinica: Chinese Series,2011,54(1):125-136.

[8]HARDY G, LITTLEWOOD J, POLYA G. Inequalities[M]. Cambridge: Cambridge Univ Press,1989.

Totally umbilical hyper-surfaces of the hyperbolic space and the Gauss image.

WANG Qi

(SchoolofMathematicsandInformationScience,GuiyangUniversity,Guiyang550005,China)

LetMnbe a compact and oriented hyper-surface without boundary in the unit hyperbolic space formHn+1. Assume that thei-mean curvatureHi>0,i=1,2,…,rfor some integerr(1≤r≤n-1) and thatHris constant, We proved thatMnis totally umbilical if the Gauss image ofMnis contained in an open hemisphere.

unit hyperbolic space form; totally umbilical hyper-surface; Gauss image; constant higher order mean curvature

2015-11-16.

貴州省科學(xué)技術(shù)基金項(xiàng)目(黔科合J字[2014]2005，黔科合LH字[2015]7298).

王琪(1963-)，ORCID:http://orcid.org/0000-0002-2921-6505，男，博士，教授，主要從事黎曼幾何研究，E-mail：wangqihn@126.com.

10.3785/j.issn.1008-9497.2016.05.007

O 186.12

A

1008-9497(2016)05-537-02