一個(gè)加強(qiáng)的Hardy-Hilbert型不等式

顧朝暉, 楊必成

(1. 廣東外語外貿(mào)大學(xué) 經(jīng)濟(jì)貿(mào)易學(xué)院， 廣東 廣州 510006； 2. 廣東第二師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系， 廣東 廣州 510303)

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一個(gè)加強(qiáng)的Hardy-Hilbert型不等式

顧朝暉1, 楊必成2

(1. 廣東外語外貿(mào)大學(xué) 經(jīng)濟(jì)貿(mào)易學(xué)院， 廣東 廣州 510006； 2. 廣東第二師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系， 廣東 廣州 510303)

引入獨(dú)立參數(shù), 應(yīng)用權(quán)系數(shù)的方法及Hadamard不等式, 建立了一個(gè)加強(qiáng)的具有最佳常數(shù)因子的Hardy- Hilbert型不等式及其等價(jià)形式.

Hardy-Hilbert型不等式; 參數(shù); 權(quán)系數(shù); 等價(jià)式; Hadamard不等式

Journal of Zhejiang University(Science Edition), 2016,43(5):532-536

0　引　言

(1)

(2)

當(dāng)μi=νi=1(i=1,2,…)時(shí),式(2)即為式(1).

2015年,文獻(xiàn)[6]引入獨(dú)立參數(shù)α,λ>0,建立如下推廣的Hardy-Hilbert型不等式:

(3)

(4)

(5)

本文引入獨(dú)立參數(shù),應(yīng)用權(quán)系數(shù)的方法及Hadamard不等式,建立具有最佳常數(shù)因子式(5)的加強(qiáng)式,還考慮了其等價(jià)形式.

1　引　理

(6)

得式(6)成立.證畢.

例1設(shè)μ(t):=μm,t∈(m-1,m](m=1,2,…);v(t):=νn,t∈(n-1,n](n=1,2,…),

(7)

則

U(m)=Um,V(n)=Vn(m,n∈N).

嚴(yán)格遞增.可算得

嚴(yán)格遞增.可算得

(8)

引理2定義如下權(quán)系數(shù)：

(9)

(10)

則有不等式:

0<λ2≤1,λ1>0,

ωα(λ2,m)<

(13)

可估算得

由式(13),可得式(11)成立.同理,由對(duì)稱性,可證得式(12)成立.證畢.

引理3有如下權(quán)系數(shù)不等式:

kα(λ1)(1-θ1(λ2,m))<ωα(λ2,m)，m∈N;

0<λ2≤min{1,2-α},λ1>0,

(14)

kα(λ1)(1-θ2(λ1,n))

0<λ1≤min{1,2-α},λ2>0,

(15)

其中,

證明因f(x)嚴(yán)格遞減及V(∞)=∞,有

(16)

引理4對(duì)?ε>0,有

(17)

(18)

證明由遞減性質(zhì),有

2　主要結(jié)果

(20)

(21)

(22)

(23)

由式(20),有式(21).反之,設(shè)式(21)成立.置

(24)

故式(20)成立,且它與式(19)等價(jià).證畢.

(25)

(26)

這里,常數(shù)因子kα(λ1)都為最佳值,θi(i=1,2)同引理2.

特別地,由式(25)可導(dǎo)出式(5);由式(26)可導(dǎo)出如下式(5)的等價(jià)式:

(27)

證明對(duì)式(19)、(20)，應(yīng)用式(11)、(12),可得式(25)與(26)成立且等價(jià).

若有正常數(shù)K≤kα(λ1),使取代式(5)的常數(shù)因子kα(λ1)后仍成立.特別地，有

代入上式,有

即有kα(λ1)≤K(ε→0+).故K=kα(λ1)為式(5)的最佳值.

式(27)的常數(shù)因子必為最佳值.不然,由式(23)(置?α(λ1,n)=1),必導(dǎo)出式(5)的常數(shù)因子也不為最佳值的矛盾結(jié)論.

同理，由反證法易證得式(25)、(26)的常數(shù)因子也為最佳值.證畢.

[1]HARDYGH.NoteonatheoremofHilbertconcerningseriesofpositiveterms[J]. Proceedings London Math Soc, 1925, 23(2):xlv-xlvi.

[2]HARDY G H, LITTLEWOOD J E, POLYA G. Inequalities[M]. Cambridge: Cambridge Univ Press, 1952.

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[4]楊必成.算子范數(shù)與Hilbert型不等式[M].北京:科學(xué)出版社, 2009.

YANG Bicheng. The Norm of Operator and Hilbert-Type Inequalities[M]. Beijing: Science Press, 2009.

[5]YANG Bicheng. Discrete Hilbert-Type Inequalities[M]. Sharjah:Bentham Science Publishers Ltd, 2011.

[6]楊必成. 一個(gè)推廣的Hardy-Hilbert型不等式[J].廣東第二師范學(xué)院學(xué)報(bào),2015, 35(3): 1-7.

YANG Bicheng. An extension of a Hardy-Hilbert-type inequality[J]. Journal of Guangdong University of Education, 2015, 35(3): 1-7.

[7]王竹溪,郭敦仁.特殊函數(shù)論[M].北京:科學(xué)出版社,1979.

WANG Zhuxi, GUO Dunren. Introduction of Special Functions[M]. Beijing: Science Press, 1979.

[8]匡繼昌.常用不等式[M].濟(jì)南:山東科技出版社, 2004.

KUANG Jichang. Applied Inequalities[M]. Jinan:Shandong Science and Technology Press, 2004.

A strengthened version of a Hardy-Hilbert-type inequality.

GU Zhaohui1, YANG Bicheng2

(1.SchoolofEconomics&Trade,GuangdongUniversityofForeignStudies,Guangzhou510006,China; 2.DepartmentofMathematics,GuangdongUniversityofEducation,Guangzhou510303,China)

Based on the weight coefficients, by applying of Hadamard’s inequality and introducing some independent parameters, a strengthened version of a Hardy-Hilbert-type inequality with a best possible constant factor is constructed. Meanwhile, its equivalent form is considered.

Hardy-Hilbert-type inequality; parameter; weight coefficient; equivalent form; Hadamard’s inequality

2015-10-15.

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61370186).

顧朝暉(1976-)，ORCID:http://orcid.org/0000-0003-0441-2929，男，碩士，講師，主要從事解析不等式研究，E-mail:guzhaohui2015@163.com.

10.3785/j.issn.1008-9497.2016.05.006

O 178

A

1008-9497(2016)05-532-05