可消偏序半群的可消偏序擴張與商序同態

邵海琴, 郭莉琴

(天水師范學院 數學與統計學院, 甘肅 天水 741001)

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可消偏序半群的可消偏序擴張與商序同態

邵海琴, 郭莉琴

(天水師范學院 數學與統計學院, 甘肅 天水 741001)

引入偏序半群的商半擬序的概念,利用商半擬序給出了可消偏序半群上的偏序可擴張為可消偏序的充分條件.通過偏序半群的半擬序σ、模σ的閉半擬鏈,商半擬序和偏序擴張以及可消偏序半群的可消偏序擴張,對偏序半群的商序同態進行了刻畫,得到了若干重要的結論.

可消偏序半群; 半擬序; 商半擬序; 閉半擬鏈; 偏序擴張; 可消偏序擴張; 商序同態

Journal of Zhejiang University(Science Edition), 2016,43(5):512-516,536

1　引言和預備知識

設(S,·,≤)是偏序半群[1].對?a,b,c∈S，若S滿足

ac≤bc?a≤b,ca≤cb?a≤b,

則稱(S,·,≤)是可消的.S上的一個二元關系σ，若滿足:(1)≤?σ;(2)若(a,b)∈σ,則對任意的c∈S,(ac,bc)∈σ,(ca,cb)∈σ,稱σ為S上的半擬序[2]. 若S中的元素列(x,a1,b1,…,an,y)滿足

x≤a1σb1≤…≤an-1σbn-1≤anσy,

則稱其為S上模σ的半擬鏈[2], 若x=y, 則稱該半擬鏈為閉的, 其中,n為該半擬鏈的長度,x,y分別為該半擬鏈的首項與尾項. 對于模σ的閉半擬鏈(x,a1,b1,…,an,x),若x=ai=bj(i=1,2,…,n;j=1,2,…,n-1), 則稱此閉半擬鏈的長度為零.

設(S,·,≤S),(T,*,≤T)是偏序半群,φ:S→T是偏序同態[1].若對?a,b∈S，?x,y∈S，φ滿足

φ(a)≤Tφ(b)?x≤Sy,φ(a)=φ(x),φ(b)=φ(y),

則稱φ為S到T的商序同態[3].

設(S,·,≤)是偏序半群. 若≤*為S上的另一個偏序關系,且對?a,b∈S,a≤b?a≤*b, 則稱≤*為≤的偏序擴張[4]. 若S是可消偏序半群,≤*為≤的偏序擴張, 且≤*為S上的可消偏序,則稱≤*為≤的可消偏序擴張[4].

偏序代數系統的偏序擴張一直受學者關注,文獻[2,4-8]等對其進行了深入細致的研究.設(S,·,≤)是可換偏序幺半群,P1是S的正錐[4],若令P={x∈S|(?a,b∈S)b≤a,xb=a}, 則P是S的偏序幺子半群,且P1?P. 文獻[4]通過S包含P的子幺半群,討論了可換偏序半群的偏序擴張與有限全序擴張問題,但其中給出的偏序擴張的方法只適用于可換偏序幺半群, 且在實際操作時難度較大. 為了解決這一問題,文獻[2]引入了偏序半群的半擬序、半擬鏈, 通過半擬序、半擬鏈討論了偏序半群的偏序擴張與有限全序擴張問題. 雖然文獻[2]給出的偏序擴張方法適用于一般偏序半群和偏序半環[9]，且較易操作,但仍無法解決可消偏序半群的可消偏序擴張問題. 為此,需引入偏序半群S上的商半擬序的概念.

定義1設(S,·,≤)是偏序半群,σ為S上的半擬序.對?a,b∈S，?x,y∈S，若σ滿足

則稱σ為S上的商半擬序.

商序同態是偏序半群中一個重要的研究課題,而偏序半群的一些重要概念在偏序半群各類問題特別是在與偏序同態和商序同態有關的問題的研究上具有舉足輕重的作用[3,10-13].本文在文獻[2]的基礎上,給出了可消偏序半群上的偏序可擴張為可消偏序的一個充分條件,且通過偏序半群的半擬序σ、模σ的閉半擬鏈、商半擬序、偏序擴張以及可消偏序半群的可消偏序擴張,對偏序半群的商序同態進行了刻畫.

本文還用到以下引理、定理、術語和符號.

引理1[13]設(S,·,≤)是偏序半群,σ為S上的半擬序. 若令

定理1[2]設(S,·,≤)是偏序半群,σ為S上的半擬序. 若S中任意模σ的閉半擬鏈的長度均為零, 則可將≤擴張為≤*, 使得(S,·,≤*)是偏序半群.

這里, 把定理1中的≤*稱為≤關于σ的偏序擴張, 用σCxy表示S的所有以x為首項,y為尾項的模σ的半擬鏈集.

另外, 文中未加以說明的術語和符號均來自文獻[1-2,4,11].

2　主要結果

定理2設(S,·,≤)是可消偏序半群,σ為S上的商半擬序. 若S中任意模σ的閉半擬鏈的長度均為零, 則可將≤擴張為≤*, 使得(S,·,≤*)是可消偏序半群.

證明定義S上的二元關系≤*如下：

對?x,y∈S，有x≤*y?σCxy≠?.

由定理1知,可將≤擴張為≤*, 使得(S,·,≤*)是偏序半群.下面只需證明≤*是可消的即可.

對任意的a,b,c∈S, 若ac≤*bc, 則σC(ac)(bc)≠?, 于是由σ為S上的商半擬序知, ?x,y∈S，有

ac≤a1σb1≤…≤an-1σbn-1≤anσx,

x≤c1σd1≤…≤cm-1σdm-1≤cmσac;

bc≤e1σf1≤…≤ep-1σfp-1≤epσy,

y≤g1σh1≤…≤gq-1σhq-1≤gqσbc.

從而有

ac≤a1σb1≤…≤an-1σbn-1≤anσx≤c1σd1≤…≤

cm-1σdm-1≤cmσac;

bc≤e1σf1≤…≤ep-1σfp-1≤epσy≤g1σh1≤…≤

gq-1σhq-1≤gqσbc.

由于S中任意模σ的閉半擬鏈的長度均為零,因此,

ac=ai=bj=cs=dt=x(i=1,2,…,n;j=1,2,…,

n-1;s=1,2,…,m;t=1,2,…,m-1);

bc=eu=fv=gw=hz=y(u=1,2,…,p;v=1,2,…,

p-1;w=1,2,…,q;z=1,2,…,q-1).于是，由x≤y得ac

引理2設(S,·,≤S),(T,*,≤T)是偏序半群,φ是S到T的商序滿同態,σ為S上的半擬序, 若令

a=φ(x),b=φ(y),

于是?xz,yz∈S，有

引理3設(S,·,≤S),(T,*,≤T)是偏序半群,φ是S到T的商序滿同態,σ為S上的半擬序. 若令φ(σ):={(a,b)∈T×T|(?x,y∈S)a=φ(x),b=φ(y),(x,y)∈σ}, 則

(2) 若σ是可消的, 則φ(σ)也是可消的;

(3) 若σ是商半擬序, 則φ(σ)也是商半擬序;

(4) 若S中任意模σ的閉半擬鏈的長度均為零, 則T中任意模φ(σ)的閉半擬鏈的長度也均為零.

證明(1)(i)≤T?φ(σ). 對?a,b∈T, 若a≤Tb, 則?x,y∈S，有

a=φ(x),b=φ(y),φ(x)≤Tφ(y),

由φ是商序同態，?x1,y1∈S，有

x1≤Sy1,a=φ(x)=φ(x1),b=φ(y)=φ(y1).

于是有(x1,y1)∈σ, 從而有(φ(x1),φ(y1))∈φ(σ), 即(a,b)∈φ(σ), 因此≤T?φ(σ);

(ii)φ(σ)對T的運算相容.對?a,b∈T, 若(a,b)∈φ(σ), 則?x,y∈S，有

a=φ(x),b=φ(y), (x,y)∈σ.

又對任意的c∈T, 由φ是滿同態和σ的相容性得?z∈S，有

c=φ(z),a*c=φ(xz),

b*c=φ(yz), (xz,yz)∈σ,于是有(a*c,b*c)∈φ(σ); 同理可得,(c*a,c*b)∈φ(σ).

綜上所述,φ(σ)是T上的半擬序.

由此得

a=φ(x),b=φ(y), (x,y)∈σ,(y,x)∈σ,

a=φ(x),b=φ(y), (x,y)∈σ,(y,x)∈σ,

(2)對?a,b,c∈T,?x,y,z∈S，若(a*c,b*c)∈φ(σ), 則

a=φ(x),b=φ(y),c=φ(z), (xz,yz)∈σ,

由σ是可消的,得(x,y)∈σ, 由此得(a,b)∈φ(σ), 即φ(σ)是右可消的; 同理可證φ(σ)是左可消的;

a≤Ta1σb1≤T…≤Tam-1σbm-1≤Tam≤Tb.

對a,b,ai,bj(i=1,2,…,m;j=1,2,…,m-1),由φ是滿同態知,存在x,y,xi,yj∈S(i=1,2,…,m;j=1,2,…，m-1),使得

a=φ(x),b=φ(y),ai=φ(xi),bj=φ(yj),

i=1,2,…,m;j=1,2,…,m-1,

于是有

φ(x)≤Tφ(x1)φ(σ)φ(y1)≤T…≤T

φ(xm-1)φ(σ)φ(ym-1)≤Tφ(xm)φ(σ)φ(y).

對φ(x)≤Tφ(x1),φ(yi)≤Tφ(xi+1)(i=1,2,…,m-1),?v,ui,vj∈S，由φ是S到T的商序同態得

v≤Su1,vi≤Sui+1，i=1,2,…,m-1,

φ(x)=φ(v),φ(xi)=φ(ui),φ(yj)=φ(vj)，

i=1,2,…,m;j=1,2,…,m-1.

對φ(xi)φ(σ)φ(yi),有φ(ui)φ(σ)φ(vi)(i=1,2,…,m-1);對φ(xm)φ(σ)φ(y),有φ(um)φ(σ)φ(y).由此得uiσvi(i=1,2,…,m-1),umσy. 于是由v≤Su1,uiσvi,vi≤Sui+1(i=1,2,…,m-1),umσy，得?v′,有

v≤Su1σv1≤S…≤Sum-1σvm-1≤Sumσy,

即σCvy≠?. 又因為σ為S上的商半擬序,?v′,y′∈S，所以有

從而有

即?φ(v′),φ(y′)∈T，使得

φ(v′)≤Tφ(y′),

φ(v′)≤Tφ(y′),

由定義1知,φ(σ)是T上的商半擬序;

(4) 設(a,a1,b1,…,am-1,bm-1,am,a)是T中任意模φ(σ)的閉半擬鏈,則有

a≤Ta1φ(σ)b1≤T…≤Tam-1φ(σ)bm-1≤Tamφ(σ)a.

對a,ai,bj,由φ是滿同態知,存在y0,xi,yj∈S(i=1,2,…,m;j=1,2,…,m-1),使得

a=φ(y0),ai=φ(xi),bj=φ(yj)(i=1,2,…,m;j=1,2,…,m-1),

于是有

φ(y0)≤Tφ(x1)φ(σ)φ(y1)≤T…≤T

φ(xm-1)φ(σ)φ(ym-1)≤Tφ(xm)φ(σ)φ(y0).

對φ(yi)≤Tφ(xi+1),由φ是商序同態得,存在ui,vi+1∈S,ui≤Svi+1(i=1,2,…,m-1),使得

φ(yi)=φ(ui),φ(xi+1)=φ(vi+1)(i=0,1,…,m-1).

于是對φ(xi)φ(σ)φ(yi),有φ(vi)φ(σ)φ(ui),從而有viσui(i=1,2,…,m-1); 對φ(xm)φ(σ)φ(y0),有φ(vm)φ(σ)φ(u0), 從而有vmσu0. 因此, 由ui≤Svi+1,vjσuj(i=0,1,…,m-1;j=1,2,…,m-1),vmσu0得

u0≤Sv1σu1≤S…≤Svm-1σum-1≤Svmσu0,又因為S中任意模σ的閉半擬鏈的長度均為零, 所以

u0=vi=uj(i=1,2,…,m;j=1,2,…,m-1),

于是有φ(u0)=φ(vi)=φ(uj)(i=1,2,…,m;j=1,2,…,m-1), 即

φ(y0)=φ(xi)=φ(yj)(i=1,2,…,m;j=1,2,…,m-1),由此得,a=ai=bj(i=1,2,…,m;j=1,2,…,m-1), 即T中任意模φ(σ)的閉半擬鏈的長度也均為零.

定理3設(S,·,≤S),(T,*,≤T)是偏序半群,且S中任意模σ的閉半擬鏈的長度均為零,φ是S到T的商序滿同態,σ為S上的半擬序,≤*是≤S關于σ的偏序擴張, 那么

(2) 若令φ(≤*):={(a,b)∈T×T|(?x,y∈S)a=φ(x),b=φ(y),x≤*y},則φ(≤*)是≤T關于φ(σ)的偏序擴張.

(2) 首先,證明(T,*,φ(≤*))是偏序半群.

(i)φ(≤*)自反. 對?a∈T, 由φ是滿的,存在x∈S,使得a=φ(x),由于x≤*x,因此,aφ(≤*)a;

(ii)φ(≤*)傳遞. 對?a,b,c∈T,?x,y,z∈S，若aφ(≤*)b,bφ(≤*)c, 則

a=φ(x),b=φ(y),c=φ(z),x≤*y,y≤*z,

于是有x≤*z,從而有aφ(≤*)c;

(iii)φ(≤*)反對稱.對?a,b∈T,?x,y∈S，若aφ(≤*)b,bφ(≤*)a, 則

a=φ(x),b=φ(y),x≤*y,y≤*x,

于是有x=y,從而有φ(x)=φ(y), 即a=b;

(iv)φ(≤*)關于T的運算相容.對?a,b∈T，?x,y∈S，若aφ(≤*)b, 則

a=φ(x),b=φ(y),x≤*y.

又對?c∈T,由φ是滿的知,存在z∈S,使得c=φ(z),于是對z∈S,x≤*y, 有xz≤*yz,由此得φ(xz)φ(≤*)φ(yz), 即a*cφ(≤*)b*c; 同理可以證明c*aφ(≤*)c*b.

其次, 證明φ(≤*)是≤T的偏序擴張.

對?a,b∈T, 若a≤Tb,?x,y∈S，則由φ是滿的得

a=φ(x),b=φ(y),φ(x)≤Tφ(y),

由于φ是商序同態,因此,?u,v∈S，使得

u≤Sv,φ(x)=φ(u),φ(y)=φ(v).

對u≤Sv,因為≤*是≤S關于σ的偏序擴張,所以u≤*v,于是有φ(u)φ(≤*)φ(v),即aφ(≤*)b,因此,≤T?φ(≤*),即φ(≤*)是≤T的偏序擴張.

最后,證明φ(≤*)是≤T關于φ(σ)的偏序擴張,即只需證明?a,b∈T，

aφ(≤*)b?φ(σ)Cab≠?.

一方面, 對?a,b∈T,?x,y∈S，若aφ(≤*)b, 則

a=φ(x),b=φ(y),x≤*y,

x≤Sx1σy1≤S…≤Sxm-1σym-1≤Sxmσy,

由此得

φ(x)≤Tφ(x1)φ(σ)φ(y1)≤T…≤T

φ(xm-1)φ(σ)φ(ym-1)≤Tφ(xm)φ(σ)φ(y).

因此,φ(σ)Cφ(x)φ(y)≠?, 即φ(σ)Cab≠?;

a≤Ta1φ(σ)b1≤T…≤Tam-1φ(σ)bm-1≤Tamφ(σ)b,

由≤T?φ(≤*)得aφ(≤*)a1φ(σ)b1φ(≤*)…φ(≤*)am-1φ(σ)bm-1φ(≤*)amφ(σ)b,

于是?x,y,xi,yj∈S(i=1,2,…,m;j=1,2,…,m-1),使得

x≤*x1σy1≤*…≤*xm-1σym-1≤*xmσy.

y0≤Su01σv01≤S…≤Su0,n0-1σv0,n0-1≤Su0,n0σx1,

y1≤Su11σv11≤S…≤Su1,n1-1σv1,n1-1≤Su1,n1σx2,

y2≤Su21σv21≤S…≤Su2,n2-1σv2,n2-1≤Su2,n2σx3,

…

ym-2≤Sum-2,1σvm-2,1≤S…≤Sum-2,nm-2-1σvm-2,nm-2-1≤S

um-2,nm-2σxm-1,ym-1≤Sum-1,1σvm-1,1≤S…≤Sum-1,nm-1-1σvm-1,nm-1-1≤S

um-1,nm-1σxm.

又因為xiσyi(i=1,2,…,m-1),xmσy, 所以有

x=y0≤Su01σv01≤S…≤Su0,n0-1σv0,n0-1≤S

u0,n0σx1≤Sx1σy1≤Su11σv11≤S…≤S

u1,n1-1σv1,n1-1≤Su1,n1σx2≤Sx2σy2≤Su21σv21≤S

…≤Su2,n2-1σv2,n2-1≤Su2,n2σx3≤Sx3σy3≤S，

…

ym-2≤Sum-2,1σvm-2,1≤S…≤S

um-2,nm-2-1σvm-2,nm-2-1≤S

um-2,nm-2σxm-1≤Sxm-1σym-1≤S

um-1,1σvm-1,1≤S…≤S

um-1,nm-1-1σvm-1,nm-1-1≤S

um-1,nm-1σxmσy,

即σCxy≠?, 由≤*是≤S關于σ的偏序擴張，得x≤*y, 從而有aφ(≤*)b.

定理4設(S,·,≤S), (T,*,≤T)是偏序半群,且≤S是可消的,φ是S到T的商序滿同態,σ為S上的商半擬序,且S中任意模σ的閉半擬鏈的長度均為零. 若令

φ(≤*):={(a,b)∈T×T|(?x,y∈S)a=

φ(x),b=φ(y),x≤*y},

其中≤*是≤S關于σ的可消偏序擴張, 則φ(≤*)是≤T關于φ(σ)的可消偏序擴張.

證明由定理3知,φ(≤*)是≤T關于φ(σ)的偏序擴張.

又對?a,b,c∈T, ?x,y,z∈S，若a*cφ(≤*)b*c, 則

a=φ(x),b=φ(y),

c=φ(z),φ(xz)φ(≤*)φ(yz).

對φ(xz)φ(≤*)φ(yz),有xz≤*yz,從而有x≤*y,由此得φ(x)φ(≤*)φ(y),即aφ(≤*)b, 因此,φ(≤*)是右可消的; 同理可證φ(≤*)是左可消的.

綜上所述,φ(≤*)是≤T關于φ(σ)的可消偏序擴張.

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The extension on cancellative partial order and quotient ordered homomorphism of cancellative partially ordered semigroup.

SHAO Haiqin, GUO Liqin

(SchoolofMathematicsandStatisticsInstitute,TianshuiNormalUniversity,Tianshui741001,GansuProvince,China)

This paper studies the cancellative partial ordered extension and properties of quotient ordered homomorphisms of cancellative partially ordered semigroups(CPOS). The notion on quotient semi-pseudoorder of partially ordered semigroup(POS) is introduced. With the quotient semi-pseudoorder of CPOS and using the method of partial ordered extension of POS, the sufficient condition for extending a cancellative partial order of CPOS to another cancellative partial order is derived. It is also shown that quotient ordered homomorphism of partially ordered semigroup POS can be depicted by semi-pseudoorderσ, closed semi-pseudochain of moduloσ, quotient semi-pseudoorder, partial ordered extension of partially ordered semigroup, and cancellative partial ordered extension of CPOS. Some important conclusions are obtained.

cancellative partially ordered semigroup; semi-pseudoorder; quotient semi-pseudoorder; closed semi-pseudochain; partial ordered extension; cancellative partial ordered extension; quotient ordered homomorphism

2014-10-20.

甘肅省教育廳科學研究基金項目(1108B-03)；天水師范學院中青年教師科研資助項目(TSA1311).

邵海琴(1971-)，ORCID:http://orcid.org/0000-0002-2409-9696，女，碩士，副教授，主要從事偏序代數研究，E-mail:shaohq12@163.com.

10.3785/j.issn.1008-9497.2016.05.002

O 152.7

A

1008-9497(2016)05-512-05