求解第一類Fredholm積分方程的修正CD共軛梯度法

王華軍，趙汝文，朱志斌

(桂林電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，廣西 桂林　541004)

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求解第一類Fredholm積分方程的修正CD共軛梯度法

王華軍，趙汝文，朱志斌

(桂林電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，廣西 桂林541004)

為了求解第一類Fredholm積分方程，提出了一種修正的CD共軛梯度法，該算法在CD共軛梯度法上增加了一個(gè)梯度參數(shù)，并證明了該算法的全局收斂性。數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明，與奇異值分解法相比，修正的CD共軛梯度法更有效。

第一類Fredholm積分方程；修正CD共軛梯度法；奇異值分解法

在天線設(shè)計(jì)、天體測定、圖像復(fù)原、計(jì)算機(jī)X射線斷層掃描等領(lǐng)域，第一類Fredholm積分方程扮演著重要的角色，但它是不適定的問題，不存在唯一解。

第一類Fredholm積分方程的一般形式[1]為：

(1)

其中：x′為已知點(diǎn)；g(x)為x的觀測值；A(x-x′)為高斯核函數(shù)；f(x′)為x′的真實(shí)值。選取一維高斯核函數(shù)：

(2)

其中，參數(shù)c、γ均為正數(shù)。

求解方程(1)的方法有小波多元函數(shù)逼近法、快速多尺度算法、奇異值分解法、最小二乘法，但這些方法求解效果不理想，為此，提出一種修正CD共軛梯度法。

1　修正CD共軛梯度法

修正CD共軛梯度法的迭代形式為：

(3)

其中：xk為x的第k次迭代；αk為強(qiáng)Wolfe搜索產(chǎn)生的步長；dk為搜索方向，且

(4)

gk為xk的梯度，βk為方向調(diào)控參數(shù)。其中著名的βk計(jì)算公式有[2-3]

(5)

(6)

(7)

2　 算法及其收斂性

2.1修正CD共軛梯度法

1)選取參數(shù)0<δ<0.5<σ<1，d1=-g1，x1∈Rn，k=1，ε≥0。若‖gk‖≤ε，算法停止。

2)由強(qiáng)Wolfe線搜索準(zhǔn)則計(jì)算步長αk，即αk滿足：

(8)

(9)

3)由式(3)計(jì)算xk+1，若‖gk+1‖≤ε，算法停止。

4)由式(4)計(jì)算dk+1。

5)k∶=k+1，轉(zhuǎn)步驟2)。

假設(shè)‖gk‖≠0，否則算法找到穩(wěn)定點(diǎn)而停止。

引理1設(shè){gk,dk}為修正CD共軛梯度法生成的序列，則

(10)

證明設(shè)θk為向量gk+1與gk的夾角，則

(11)

(12)

引理2若步長αk滿足式(8)、(9)，則

(13)

證明設(shè)θk為向量gk+1與gk的夾角，則

即引理2得證。

2.2算法的全局收斂性

為了證明修正CD共軛梯度法的全局收斂性，假設(shè)：

1)目標(biāo)函數(shù)f(x)在其水平集Ω={x∈Rn|f(x)≤f(x1)}上有界。

2)f(x)的梯度g(x)在Ω上Lipschitz連續(xù)，即存在L>0，使

引理3假設(shè)1)、2)成立，{gk,dk}為修正CD共軛梯度法生成的序列[6]，則

(14)

證 明若定理1不成立，則存在常數(shù)r>0，使得任意k≥1，有‖gk‖≥r。由式(4)得dk+gk=βkdk-1，兩邊取模平方移項(xiàng)，并利用式(13)得

利用d1=-g1，

結(jié)合‖gk‖≥r，

對(duì)上式兩邊分別求和，

與式(14)矛盾，所以定理1成立。

3　數(shù)值實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證修正CD共軛梯度法的有效性，進(jìn)行了數(shù)值實(shí)驗(yàn)并與奇異值分解法對(duì)比。實(shí)驗(yàn)函數(shù)為第一類Fredholm積分方程[1]。算法測試的環(huán)境為Matlab2013a，Windows7操作系統(tǒng)，IntelCorei3-2370MCPU2.40GHz。選取參數(shù)δ=0.025，σ=0.9。奇異值分解法和修正CD共軛梯度法的數(shù)值結(jié)果如圖1、2所示。2種方法的運(yùn)行時(shí)間和平均誤差見表1。從表1和圖1、2可看出，修正CD共軛梯度法比奇異值分解法更有效。

圖1　奇異值分解法的數(shù)值結(jié)果Fig.1　Numerical results of singular value decomposition method

圖2　修正的CD共軛梯度法的數(shù)值結(jié)果Fig.2　Numerical results of the modified CD conjugate gradient method

方法運(yùn)行時(shí)間/s平均誤差奇異值分解法11.0102930.0135修正CD共軛梯度法0.0124100.0072

4　結(jié)束語

為求解第一類Fredholm積分方程，提出了一種修正的CD共軛梯度法，并證明了該方法的全局收斂性。與奇異值分解法[9]相比，修正的CD共軛梯度法更有效。

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編輯：曹壽平

A modified CD conjugate gradient method for solving Fredholm integral equation of the first kind

WANG Huajun, ZHAO Ruwen, ZHU Zhibin

(School of Mathematics and Computational Science,Guilin University of Electronic Technology, Guilin 541004, China)

In order to solve Fredholm integral equation of the first kind, a modified CD conjugate gradient method is proposed. A gradient parameter is added in CD conjugate gradient method, and the global convergence of the algorithm is proved. Numerical experiments show that compared with singular value decomposition method, the modified CD conjugate gradient method is more effective.

Fredholm integral equation of the first kind; modified CD conjugate gradient method; singular value decomposition method

2015-11-10

國家自然科學(xué)基金(11361018)；廣西自然科學(xué)基金(2014GXNSFFA118001)；桂林市科學(xué)研究與技術(shù)開發(fā)計(jì)劃(20140127-2)；廣西教育廳科研項(xiàng)目(KY2016YB167)；桂林電子科技大學(xué)研究生教育創(chuàng)新計(jì)劃(2016YJCX46)

朱志斌(1974-)，男，湖南雙峰人，教授，博士，研究方向?yàn)樽顑?yōu)化方法及其應(yīng)用。E-mail:zhuzb@guet.edu.cn

O224

A

1673-808X(2016)04-0342-03

引文格式：王華軍，趙汝文，朱志斌.求解第一類Fredholm積分方程的修正CD共軛梯度法[J].桂林電子科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2016,36(4):342-344.