數學符號意識有效生成探究

吳志健

數學符號是數學的語言、工具與方法，一般指數字、字母、圖形和關系式等。數學符號意識是指在感知、認識、運用數學符號時的一種積極的心理傾向。數學符號意識的有效生成，是指在課堂教學中，通過某個數學活動，使學生對數學符號的引入、理解和運算形成相應的心理反應。這里的“有效”，強調的是學與教的策略合理，數學活動有針對性，心理反應積極。由于“建立符號意識有助于學生理解符號的使用，是數學表達和進行數學思考的重要形式”，因此，培養學生符號意識成為廣大教育工作者的一個重要課題。

一、 立足需求，培養數學符號引入意識

數學符號引入意識是指在表示數、數量關系和變化規律時，能比較科學地引入相應的符號來表達。這里主要指引入已知數表示不變量、引入字母表示變量或特定量、引入含有字母的算式表示數量關系和變化規律等。它不僅指初次接觸時能在教師引領下引入符號，更指在以后運用所學解決其他問題時能自覺地引入符號。

把生活元素融入主題情境，從情境中引出數學符號，已經成為共識。但符號只有賦予了數學意義，才能成為數學符號，生活中的符號與數學符號常常同形不同義、同形不同法。筆者認為，如果要從生活中引入，還得增添數學化環節，也就是要從數學的發展需要引入數學符號，讓數學符號的引入融入到數學發展的需要中。

1.注重表達的需求

實際上，原有的表達和引入符號后形成的新的表達，都有一定的、合理的存在基礎。由前者到后者，不僅有學習內容上的轉變，而且有學習者心理上的認同。判斷引入符號是否成功的維度有兩個：一是引入后表述的問題是否更清楚，二是引入后學生能不能感悟到它的必要性。由此不難發現，需要關注表達過程與表達形式的需求。

第一，要讓學生自由表達，通過質疑讓學生感悟到用符號表達的價值。例如，教學用數對表示物體的位置。當學生從生活經驗中的第幾排、第幾行入手，表達教室里某同學的位置時，產生同一位置有不同的表示方法，很難更方便表達、更準確理解的疑問，從而引出數對。

第二，要讓學生通過不同表達形式之間的比較權衡利弊。例如，教學乘法分配律，有的教師怕學生死記硬背，希望他們用自己的語言與方式來表達，故不出示運算律的文字敘述。這樣，學生就很難把文字敘述與符號語言進行對比，從而明晰a×（b+c）=a×b+a×c的簡潔性。為此，我們可以利用已有經驗，強化比較，凸顯簡潔。譬如，在讓學生做簡便計算18×27+73×18時，可以提問：你運用了什么運算律？并請學生用語言敘述一下。當學生難以表達清楚時，請他用字母來表示。這樣，學生就會在無形中體會數學符號的簡潔性。

2.注重思考的需求

從數學思考的過程來看，數學符號的合理引入，有助于壓縮思考過程，提高有效性。從數學思考的結果來看，引入數學符號，有助于突出思考結果的本質屬性，有利于進行判斷與推理、分析與綜合。這里的數學思考包含三個內容：首先是引入數學符號的緣由，其次是引入數學符號的過程，第三是根據引入的數學符號來解決相關問題。可見，這種數學思考的需求，必須體現在相應的學與教的過程中。但是在用字母表示公式的教學中，有兩種傾向值得關注。一是忽視鞏固公式時數學思考上的需求。例如，教學平行四邊形面積計算時，教師能注重分層引導學生用字母表示公式，但是在運用公式做習題時，只是讓學生指出平行四邊形底與相應的高各是多少，而不去引導學生先想一想字母公式。二是忽視在推導新的字母公式時運用已學過的相應的字母公式。例如，在教學三角形面積的計算時，有些教師沒有利用平行四邊形面積計算的字母公式去引導學生獲得三角形面積計算的字母公式。

二、 彰顯變化，建立數學符號理解意識

數學符號理解意識是指能闡述數學符號在具體情境中的含義。關于數學符號，對于“教”來講，其順序是“引入→理解→運算”；但是對于“學”而言，其順序是“理解→運算→引入”，或者“理解→引入”。可見，數學符號理解意識直接影響著學生的數學符號引入意識和運算意識，它是學生數學符號意識的重要基石。這里的重點有三：其一，梳理結合具體情境的各種含義；其二，賦予數學符號以具體情境；其三，對數學符號進行更換或者一般化。由此可以看出，建立數學符號理解意識，離不開數學符號形式與含義的變式訓練。

1.注重形式的變化

理解數學符號，關鍵是對其內涵及外延的正確把握，而學生往往受數學符號形式的困擾，難以甄別。因此，若是關系式，就要用各種形式去表示，或具象化，或抽象化。例如，教學乘法分配律。可以引導學生列舉25×（16+37）=25×16+25×37等整數形式，4.3×6.1-5.9×4.3=（6.1—5.9）×4.3等小數形式，×（+-）=×+×-×等分數形式，引導學生畫出“長方形面積圖”（見圖1）等幾何形式，還可以引導學生用文字或字母進行表述。

若是數，就要變換情境，或序數、或基數、或數量。例如，教學分數的意義，當學生明確的含義后，可以引導學生做以下兩道題目。（1）一根木料鋸成兩段，第一段長米，第二段長，哪一段長一些？（2）有兩根同樣長的木料，第一根用去米，第二根用去，哪一根剩下的長一些？通過畫圖、解題，使學生明白題中米和的單位“1”各指的是什么，能不能相同，從而加深對其含義的理解。

同時，也要用字母表示數，或改變取值范圍，或更改運算符號。例如，教學公因數與公倍數。先讓學生做習題：16÷2=8，16和2的最大公因數是（ ），最小公倍數是（ ）。再引導學生進行抽象，用字母表示數，形成如下題目并解答。（1）a÷b=8（且a、b都是不為0的自然數），a和b的最大公因數是（ ），最小公倍數是（ ）。（2）b=8a（且a、b都是不為0的自然數），a和b的最大公因數是（ ），最小公倍數是（ ）。

2.注重含義的變化

對于數學符號的含義，我們通常讓學生在具體的生活情境中獲取，導致學生獲得的“含義”既具有相對的情境性、初步的獨立性，又具有一定的抽象性。即學生頭腦里的“含義”可能全部內容都在變化，也可能部分內容在變化。因此，加強“含義”的變式訓練，有助于學生建立數學符號理解意識。

第一，要引導學生分析同一個符號的不同含義。例如，教學用字母表示。可以運用下面的題組，幫助學生對a的含義進行對比。（1）擺1個三角形，要用3根小棒；增加1個三角形，共要用5根小棒。那么，增加a個三角形，共要用小棒（ ）根。（2）擺1個三角形，要用3根小棒；擺2個三角形，要用5根小棒。那么，擺a個三角形要用小棒（ ）根。其中，第1小題可以填“3+2a”，也可以填“1+2（a+1）”；第2小題可以填“3+2（a-1）”，也可以填“1+2a”。這里，每一個數（含表示數的字母）、每一步算式的含義都要讓學生結合題意弄清楚。不僅要明白每一題前后兩式之間的聯系與區別，而且要知道每一道算式所表達的規律，更要清楚兩題中變量a的含義的變化。

第二，要引導學生綜合各個情境的不同含義。例如，教學分數的意義。可以運用填空題“把（ ）平均分成（ ）份，表示這樣的（ ）份”，來引導學生根據月餅圖、長方形圖、長度單位圖、桃子圖各自表示的分數，歸納出單位“1”及分數的含義。

第三，要引導學生推理同一道算式的不同含義。例如，教學長方形面積計算。在學生學完字母公式S=a×b進行綜合練習時，可以引導他們推理出a×b= S，進而推出a×b=c，再根據“單價×數量=總價”進行類推，等等。讓學生明白a×b=c可以表示兩個數相乘的積，也可以表示長方形面積計算公式，還可以表示其他的數量關系式。

三、 把握關系，發展數學符號運算意識

數學符號運算意識主要是指主動地對含有字母的算式進行運算或推理，獲得新結論，它包括能解釋原式與化簡結果。這里的算式，指簡單的整式和簡易方程。它的運算前提有二，一是掌握運算方法，二是明確對運算結果的要求。

在小學階段，整式的化簡主要集中在形如ax±bx，aπ±bπ之類，運用乘法分配律進行合并同類項；較復雜的簡易方程主要有ax±bx=c， ax±b=c之類，運用等式的性質解方程。我們知道，通過有效的訓練，學生能夠掌握此類運算。問題主要有二：一是學生只是抽象地按規則進行運算，不去具象化思考，不去運用多種方法，不去尋找方法之間的關系；二是學生只是機械地解決此類問題，不去靈活思考結果之間的關系。換句話講，我們要讓學生把握好以上兩種關系來全面發展數學符號運算意識。

1.注重方法之間的關系

就習題來講，分析的角度和思路不同，就會形成不同的解題方法。如何呈現解題方法是教學的關鍵所在，讓學生在解題的過程中提高運算能力是教學的重要舉措。筆者認為，對于學生而言，解題方法的意義，不僅僅在于找到題目的答案，更在于發展他們的數學符號運算意識。也正因為后者，才有了對方法的發現進行教學的可能性，才有了對方法進行比較的價值，才有了對方法進行訓練的必要性。

在解決一些代數問題時，絕大多數學生傾向于只是運用算術方法，或者只是運用代數方法，不去考慮同時運用它們，也不去分析解題方法之間存在的聯系與區別。例如，做選擇題：a+124=b+257，a與b相比，（ ）。①a>b；②a2e4fa399b364da4e32d6ee8609985634

法交換律a+b=b+a，找出a與b的特殊值。筆者曾在某班作過調查，42名學生中只有2人用了兩種方法，其余學生都只使用了上面幾種方法中的某一種，找到答案就算完事了。理解是運用的基礎，只有理解了才能使學生自覺運用代數法進行運算，只有理解了才能反思代數法與算術法之間的關系。我們可以先組織學生獨立解答，然后引導學生分析并理解各個方法，從本質上溝通方法之間的聯系。

2.注重結果之間的關系

運算結果往往是學生解題的唯一目標，對結果過于看重，也導致學生對其認可趨向偏執。尤其是對代數式進行運算，其結果不僅可以是一個數，而且可以是一道算式，學生往往難以接受，即使認同，也是囫圇吞棗。對運算結果的有效處理，不僅可以加深學生對運算符號及其運算本身的理解，還可以加深式與形、數與符號之間的理解，更可以通過結果之間關系的分析來發展學生數學符號運算意識。

第一，通過對算理的分析，加深對結果之間區別的認識。可以讓學生在解決實際問題的過程中，通過提出問題、列式、說說算式每一步的意義等數學活動，來進一步明晰數學符號運算的規則，尤其是對結果的規定性。例如下面這道習題：利民公司運來a車蔬菜，每車裝5噸，供應給菜場65噸。 ？學生能夠根據條件提出如下問題：還剩多少噸蔬菜？列出如下算式：5a-65，5（a—65÷5）。通過討論得出結果的兩種形式：5（a—65÷5）=5a-65，5（a—65÷5）=5（a-13），它們分別使用了數量關系式“公司運來蔬菜的總噸數-供應給菜場的噸數=剩下的噸數”、“每車蔬菜的噸數×供應菜場后剩下的車數=剩下的噸數”，這就是它們主要的區別所在。

第二，通過部分與整體的對比，加深對結果之間聯系的認識。可以讓學生分析代數式不含字母的前幾項的特征，找出算法，算出結果，再類推出整個代數式的結果。例如，計算1+2+4+8+…+m。可以先讓學生計算1+2+4+8+16+32+64+128，找到算法“尾數×2-1”，再推出原代數式的結果2m-1，同時把結果255與“2m-1”進行比較。也可以在教學相關例題之后的綜合練習中，把例題改編成含有字母的代數式，促進學生進行類推。比如，把例題++++改編成+++++…+，讓學生由例題的結果1-推出改編題的結果1-。

綜上，數學符號意識可以分成數學符號引入意識、理解意識和運算意識三種，其有效生成，需要立足需要，彰顯變化，把握關系。

參考文獻

[1] 教育部基礎教育課程教材專家工作委員會編寫.義務教育數學課程標準（2011年版）解讀[M].北京：北京師范大學出版社，2012.

[2] 中華人民共和國教育部制定.義務教育數學課程標準（2011年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2012.

【責任編輯：陳國慶】