小學估算教學的內涵、脈絡與實施

王海峰

《義務教育數學課程標準（2011年版）》將估算作為發展學生數感和應用意識、培養學生運算能力和推理能力的重要途徑和手段。盡管從宏觀課程的層面來看，估算越來越被重視，但從微觀教學的層面來看，一線教師對估算教學仍然存在很多困惑，往往浮光掠影、淺嘗輒止。究其原因，是未能真正理解小學估算教學的內涵，厘清估算的脈絡，把握估算教學的實施策略。下面筆者以蘇教版小學數學教材中的估算為例，嘗試對小學估算教學的內涵、脈絡與實施進行解讀。

一、 估算教學的內涵

估算主要是指在計算或者測量中，無法或無須精確計算時所采用的一種數學方法。廣義的估算包括對于計算的估算、對于數量的估算以及對于測量的估算，分別簡稱估算（狹義）、估數、估測。估算是小學階段數學學習的重要組成部分。作為教師，不能僅僅將估算作為一種計算方法教給學生，其教學內涵還應包括通過估算培養數感、錘煉數學思維、提高問題解決的能力。蘇教版教材在設計編排估算教學內容時，就充分體現了這三個方面的內涵。

1.以數感培養為目標

數感是課程標準提出的十個關鍵詞中的第一個，足見其對學生數感培養的重視。蘇教版教材在編排估算教學內容時，將培養學生的數感作為首要目標。例如，一年級上冊安排了數量估計的教學內容，在20以內的數的認識之后，設計了一個實踐活動，讓學生抓一把黃豆，估一估大約有多少粒黃豆，再數一數，豐富學生對20以內的數的實際感受。四年級下冊安排了估計10 000張紙的厚度、推算1 000 000張紙的厚度等估算活動，豐富學生對大數的體驗和感知。再如，在學習兩、三位數的乘法時，教材常常要求學生先估算再計算，通過估算形成對結果的初步判斷，再通過精確計算得出準確結果，并與估算結果進行比較。精算與估算緊密配合、相得益彰，在提高學生對運算結果進行估計的能力的同時，培養和發展了學生的數感。

2.以錘煉思維為核心

數學教育不僅要讓學生掌握現代生活和學習所需要的知識與技能，更要發揮數學在培養人的思維能力和創新能力方面的不可替代的作用。[1]估算是對數與數量的體驗和感悟，是對運算過程的加工改造和對運算結果的預測估計的過程。可以說，在估算過程中蘊含著復雜的思維活動，估算對培養學生的邏輯推理能力具有不可忽視的作用。蘇教版教材充分把握估算的特點，尊重估算目標的主觀性、估算策略的開放性、估算結果的或然性[2]，通過精心設計估算教學內容，引導學生經歷觀察、猜測、計算、推理和驗證等活動過程，啟迪數學思維方式，錘煉數學思維能力。例如，教材在三年級下冊安排了這樣一道估算問題。（見圖1）

這個問題對于三年級學生來說并不簡單，需要經歷嚴謹的思維過程才能作出判斷。學生可以先將48估作50，50×5=250，實際座位數應該比估算出的250個少一些，而估計的座位數250又比村民人數272要少，由此判斷5輛車不夠坐。在將估算結果與精確結果以及實際需要進行比較的過程中，學生不僅掌握了估算的基本方法，數學思維能力也得到了較好的鍛煉。

3.以問題解決為載體

問題解決是課程標準具體闡述的四個方面的目標之一，旨在讓學生通過數學學習，獲得分析問題和解決問題的一些基本方法。蘇教版教材在安排估算教學內容時，以問題解決為重要載體，以兒童的生活現實、數學現實為生長點，精心選擇學生喜聞樂見的問題情境，讓學生在解決問題的過程中增強應用能力、發展創新意識。例如，教材有多處安排了類似下面的問題。（見圖2）

學生憑借生活經驗就知道，這個問題不需要筆算出精確結果，直接估算就能解決。然而這個問題又不只是簡單地估算出結果就行了，在估算出5輛兒童車的總價是1 000元后，還要思考因為把210看作200估小了，所以準確的總價應該比估得的1 000元要多，因此1 000元不夠買5輛兒童車。買2張兒童床的問題與此類似。這里，學生是以解決實際問題為目標，他們的思維就不會只停留在估算方法與結果的層面。教材一以貫之地將估算包含在問題解決的過程中，既有利于學生體會估算的實際意義與應用價值，也有利于學生解決問題能力的培養。

二、 估算內容的脈絡

要全面認識和把握小學估算教學，就必須明確課程標準對于各學段估算內容的具體要求，了解估算在小學各年級的分布，理清估算在小學數學中的脈絡，把握前后知識之間的聯系和區別。筆者對估算內容各學段的目標與要求進行了梳理。

第一學段：1.在生活情境中感受大數的意義，并能進行估計；2.能結合具體情境，選擇適當的單位進行簡單估算，體會估算在生活中的作用；3.能估測一些物體的長度，并進行測量；4.會估計給定簡單圖形的面積。

第二學段：1.結合現實情境感受大數的意義，并能進行估計；2.在解決問題的過程中，能選擇合適的方法進行估算；3.會根據給出的有正比例關系的數據在方格紙上畫圖，并會根據其中一個量的值估計另一個量的值；4.會用方格紙估計不規則圖形的面積。

兩個學段均安排了估數、估算和估測三個方面的內容，隨著學段的提升，教學內容保持了很好的連貫性，且在難度要求上有所增加。蘇教版教材按照課程標準關于估算教學的課程目標，基于學生的認知規律、知識背景和活動經驗，合理地安排估算內容，通盤考慮，分步實施。筆者對蘇教版教材例題及習題中與估算（包括估數和估測）有關的內容進行了細致地統計，發現估算內容主要集中在二至五年級，在這四個年級教材中出現的次數占總數的91.2%。這種分布情況與小學生數學學習的進程有關。在二至五年級，學生重點學習了整數、小數、分數四則運算以及平面圖形的周長和面積，與之相關的估算內容也就自然而然地伴隨著這些知識的學習。五年級之后，學生的數學學習即將進入代數學習階段，因此估算的內容也隨之減少。

此外，基于對估數、估算和估測三個類別出現次數的統計，筆者得出，蘇教版教材中估數內容約占20.4%，計算估算約占57.5%，估測內容占22.1%。計算估算在小學估算內容中占了過半的比例，足見小學階段對學生計算能力培養的高度重視。

三、 估算教學的實施

與估算在課程標準中地位的提升相適應，估算教學的實踐愈來愈受到關注。而要真正提高估算教學的實效，教師須對教材編寫的意圖與特點有很好的理解和把握。對于蘇教版教材估算內容的編排與教學，筆者以為應領會以下幾點。

1. 整體與局部統一

估算內容的教學必須以與之相關的其他教學內容相融合，這也決定了估算內容的安排不可能特立獨行，而要圍繞小學數學課程內容的核心與主線，將估算內容合理穿插其中，逐級遞進、螺旋上升，做到整體與局部的有機統一。

通過對蘇教版教材估算內容的梳理和統計不難發現，教材對估算內容的安排并不是平均分布、平均用力的。一方面，在小學階段，由于數與量的認識相比數與量的運算要少得多，所以估數和估測相比估算的內容安排也要少得多。另一方面，小學二至五年級是學習數的運算的重點時段，因而對于估算內容的安排相對其他年級也就比較密集。蘇教版教材不同年級對估數、估測和估算都有選擇、有重點地進行安排，很好地體現了教材從整體謀劃到局部刻畫的有機統整。

教師應整體認識小學階段估算內容的安排及不同年段的教學要求，在相應年段完成預定的教學目標，做到不越位、不缺位，從而在整體上達成估算教學的總目標。

2.意識與能力并重

估算教學不能滿足于僅讓學生掌握估算的方法，而是要通過估算教學，讓學生理解估算的意義，體會估算的作用，從被動估算過渡到自覺估算、自主估算，從而增強應用能力與反思意識。蘇教版教材在安排估算教學內容時，往往選擇學生身邊的實際問題作為教學素材，借助生活經驗啟發估算意識，使學生的估算能力與估算意識一起發展。例如，三年級上冊教材安排了這樣一個問題。（見圖3）

這個問題安排在整十數乘一位數之后，普通兩位數乘一位數之前，學生無法通過計算出48×4的精確結果來判斷200元夠不夠買，這就“逼迫”學生另想它法。學生基于已有經驗自然地聯想到將48元看作50元，因為50×4=200，所以48×4<200，200元夠買4箱西瓜。教材精心安排估算內容的位置，讓學生在面對這一情境時，自發地產生估算的需要，進而獲得估算解決問題的成功體驗。在問題解決的過程中，學生不僅掌握了基本的估算技能，估算的意識也隨之得到發展。

3.過程與結果兼顧

由于不同問題對估算的要求有所不同，不同主體對估算的理解也不同，因此估算的過程相比精算更加開放，估算過程的差異也會導致估算結果不盡相同。這就要求教師在估算教學中既要重視估算過程中方法的選擇與指導，尊重估算方法的差異性，鼓勵估算方法的多樣化，又要承認估算結果與精算結果的不一致（有時估算結果與精算結果可能相去甚遠，但只要估算的目的是明確的，估算的方法是可取的，教師就要肯定估算結果的價值），讓學生既體會到估算的簡捷高效，又明白在某些特定問題中估算的局限性，客觀地處理好估算過程與結果的關系。

例如，教材在三年級上冊安排了這樣一個問題。（見圖4）

在估算3張特快列車總票價時，學生將312看作300，300×3=900，小于1 000元。此時，教師還應啟發學生思考：如果特快列車票是340元一張，1 000元夠買3張嗎？學生通過估一估、算一算發現，雖然這個問題的估算過程和結果與剛才的問題相同，但實際上，1 000元是不夠買3張單價340元的車票的。這里，在估算出300×3=900之后，學生還需考慮12×3的結果小于100元，才能確定1 000元夠買3張312元的特快列車票。在解決這個問題的過程中，通過對估算過程的比較以及對估算結果的辨析，學生對估算的優勢和局限會有更全面、更客觀的認識。

4.情境與活動支撐

通過對估算內容的整理，筆者發現蘇教版教材幾乎沒有單純地給出算式讓學生估算得數的題目，絕大部分估算問題都是鑲嵌在情境中的。情境架起了抽象的數學知識與具象的兒童思維之間的橋梁，它聯結起數學與生活，讓理性和感性相趨近，使抽象與具象相映照。[3]教材精心選取了生活中需要估算的問題情境，有利于激發學生認知結構中的已有經驗，促使他們積極主動地解決實際問題。此外，教材還精心設計了很多估算（估測）的實踐活動。例如，“升與毫升”單元就有很多類似下面的實踐活動。（見圖5）

這些估算（估測）活動寓教于做，讓學生在做一做、估一估、算一算和想一想的過程中，感悟估算的意義和價值、積累估算的經驗、培養估算的能力。正如杜威所說，教學過程應該就是“做”的過程，如果兒童沒有“做”的機會，那必然會阻礙兒童的自然發展。

作為小學數學教師，必須認真研讀課程標準和教材，領會課程標準對于估算教學的要求，把握教材對于估算內容的編排意圖，以教材為藍本但又不囿于教材，適時拓展、開發估算教學資源，創設適當的問題情境，引導學生在運用估算解決實際問題的過程中，體會估算的意義與價值，提升估算的意識與能力、發展數學思維、培養創新品質。

參考文獻

[1] 中華人民共和國教育部制定.義務教育數學課程標準（2011年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2012.

[2] 郜舒竹，劉瑩，王智秋.“估算”在數學課程中的矛盾分析[J].課程·教材·教法，2013（1）.

[3] 成尚榮.通透情境數學的哲學意蘊和操作要義[J].小學教學，2013（4）.

【責任編輯：陳國慶】