方案設計與決策型問題有效解決策略探微

馬志強

[摘 要] 方案設計與決策型問題是初中數學的重要題型，也是教學的重難點，更是中考的重要考點. 此類題主要與方程、不等式、函數等教學內容有一定的聯系，在解決過程中往往需要用到分類討論、建模等數學思想，難度大，綜合性強，題型靈活多樣，因此，認真探究方案設計與決策型問題的有效解決策略，有著重要的意義.

[關鍵詞] 方案設計；思想方法；方程；函數；模型

方案設計與決策型問題是探究最佳解決方案的一種題型，這種題型主要應用于工程問題中的調配、運輸成本最大（小）問題、商品銷售中的利潤問題等，其最大的特點是數量較為復雜，題型較為靈活，綜合性較強，難度較大，是中考的熱點問題. 本文結合近幾年中考出現的具體題目，通過詳細分類對之進行深入探究，力求找到解決此類問題的具體策略，以提高學生的數學學習效率.

利用不等式（組）進行方案設

計決策

不等式（組）是初中數學教學的重要內容，利用不等式（組）進行方案設計決策是一種重要的解決方法，能夠為學生提供解決此類問題的思路與方法.

例1 江蘇阜寧地震發生后，全國人民發揚“一方有難，八方支援”的精神，掀起了抗震救災的熱潮. 某地民政部門經過一天的努力，募集到了30噸瓶裝飲用水和13噸方便面等食物. 現打算將其運輸到災區，需要租用A，B兩種型號的貨車進行運載. A型貨車每輛可運載5噸水和1噸食物，B型貨車每輛可運載3噸水和2噸食物，如果租用的貨車共有9輛，并且要求一次性將捐助物資運完，應如何選擇運輸方案？

分析 通過分析發現，運輸方案的選擇與車的數量有關，這就需要設一種貨車的數量，然后利用所設的未知數表示出所有的未知量，并根據題目要求建立適當的不等式組進行解決. 設租A型貨車x輛，則租B型貨車（9-x）輛. 根據這些捐助物資需要一次性運完可得一元一次不等式組5x+3（9-x）≥30，x+2（9-x）≥13， 解得x≥，x≤5， 所以不等式組的解集為≤x≤5. 因為x取整數，所以x可取2，3，4，5. 從而可得到運輸方案共有四種：①租用A型貨車2輛、B型貨車7輛；②租用A型貨車3輛、B型貨車6輛；③租用A型貨車4輛、B型貨車5輛；④租用A型貨車5輛、B型貨車4輛.

通過一元一次不等式組可以進行方案的設計和優化并進行科學合理的決策，這是解決此種題型最常用的方法之一. 只要學生能夠熟練把握其中的各個數量，運用不等式建立不等關系，就能迅速解決問題. 因此，在教學過程中，教師要重視這種題型的教學，并進行科學的方法指導.

利用方程進行方案設計決策

方程是初中數學教學的重要內容，應用也較為廣泛，在應用方程解決實際問題中，大多是利用等量關系求出具體的數值從而解決問題，而利用方程進行方案設計與決策的題型則相對較少，這種類型的題目往往需要先進行簡單分類，采用分類討論與建模思想解決問題，運算量不大，運算也相對簡單，大都需要與實際相聯系，才能順利解決問題.

例2 里約奧運會期間，一球迷俱樂部150人打算租A，B，C三種型號的車去看籃球決賽，這三種型號的車的載客量不同，A，B，C三種型號的車的載客量分別是50人、30人、10人，并且要求每輛車必須滿員，A種型號的車最多租2輛，試求一次性載完這150名球迷的租車方案.

分析 通過分析發現，要想解決這一問題，需要先確定A型車的數量，然后設租用B或C型車的數量，接著用所設未知數表示其他未知量，建立方程進行化簡，最后通過討論解決問題. 由于A型車最多租2輛，所以可設租B型車x輛，租C型車y輛，然后分兩種情況進行討論：①當租A型車1輛時，根據題意，可列出方程30x+10y+50×1=150，化簡得3x+y=10，因為x，y都為整數，所以滿足關系式的x，y有x=1，y=7或x=2，y=4或x=3，y=1. ②當租A型車2輛時，根據題意，可列出方程30x+10y+50×2=150，化簡得3x+y=5，因為x，y都為整數，所以滿足關系式的x，y只有x=1，y=2. 綜上可知，租車方案共有以下四種：方案一，租A型車1輛、B型車1輛、C型車7輛；方案二，租A型車1輛、B型車2輛、C型車4輛；方案三，租A型車1輛、B型車3輛、C型車1輛；方案四，租A型車2輛、B型車1輛、C型車2輛.

由此可見，利用方程結合實際情況也可以有效解決方案設計與決策型問題，但這種解決方案與分類討論數學思想有著密切的聯系，需要建立在學生對分類討論思想方法熟練掌握和運用的基礎之上.

利用函數進行方案設計決策

1. 利用一次函數進行方案設計決策

函數關系是一種重要的數量關系，利用函數關系通過計算得出的結果作為決策的依據是中考試題中經常出現的題型，這種題型往往不會只是單一的函數問題，往往與不等式結合在一起，根據函數的性質和不等式的范圍，通過計算得出最省的方案，并以之作為決策的重要依據.

例3 為了改善西部地區的教育面貌，東部城市A市打算支援西部400臺電腦，東部城市B市打算支援西部1000臺電腦. 為了資源均衡、節約費用，現打算從東部運800臺給C市，運600臺給D市. 已知從A市運往C市、D市的運費分別是3元/臺和5元/臺，從B市運往C市、D市的運費分別是4元/臺和8元/臺. 如何調運才能使費用最省？最省的方案是什么？

分析 通過審題可以發現，運費與所運的臺數有著密不可分的聯系，因此可以設從A市運往C市x臺，總費用為y元，則從A市運往D市（400-x）臺，從B市運往C市（800-x）臺，從B市運往D市（200+x）臺. 根據題意得y=3x+5（400-x）+4（800-x）+8（200+x），化簡得y=2x+6800. 因為2>0，所以y隨x的增大而增大，當x=0時，調運費用最低，為6800元，此時的調運方案為從A市運往C市0臺，從A市運往D市400臺，從B市運往C市800臺，從B市運往D市200臺.

從以上分析可以看出，利用一次函數進行方案設計與決策比利用不等式或不等式組解決問題更為簡單，但需要對一次函數的相關知識尤其是函數的性質掌握較好.

2. 利用二次函數進行方案設計決策

利用二次函數進行方案設計決策也是中考常見的題型，其大多與商品交易中的銷售利潤有關，數量復雜、綜合性強，是學生容易失分的題目，這種題型有時與方程、不等式結合在一起，有時獨立出現，通過將實際問題轉化為二次函數，將所列的函數解析式進行化簡，然后利用二次函數的性質求最值，從而解決問題.

例4 泰州市國美商城將進價為2000元的某品牌洗衣機以2400元售出時，每天可以賣出8臺，為了增加利潤，商城決定在“五一”期間搞一次降價促銷活動. 通過調查發現，洗衣機的售價每降低50元，平均每天就會多售出4臺. 試問這種洗衣機每臺降價多少元時，商城才能獲得最大的銷售利潤，最大銷售利潤是多少.

分析 要解決這一問題，必須搞清降價與銷售利潤之間的關系. 但降價和利潤都是未知量，這就需要學生先設元，然后根據題意得出兩者之間的關系. 設每臺洗衣機降價x元，商場每天銷售這種洗衣機的利潤是y元，由題意可得y=（2400-2000-x）8+x，化簡得y=-x2+24x+3200. 要想求出商場每天銷售這種洗衣機的最高利潤，還需將二次函數解析式化為頂點式，并利用頂點式坐標公式求出最值. 因為y=-x2+24x+3200=-（x-150）2+5000，根據二次函數的性質可知當x=150時，商場每天銷售這種洗衣機的利潤最大，最大利潤是5000元.

通過以上分析可以看出，利用二次函數解決方案設計與決策問題可以實現化繁為簡、化難為易，但需要注意的是，在利用二次函數的性質求最值時，一定要注意自變量的取值范圍，只有頂點坐標的橫坐標在自變量的取值范圍之內才能準確求解.

當然，方案設計與決策型問題在實際教學中并不是單一運用不等式、方程、函數就可以解決，大多是綜合以上兩種甚至三種方法，這就需要學生熟練掌握各種題型并靈活運用，不斷提高自身分析問題和解決問題的能力.

總之，方案設計與決策型問題是初中數學的重要問題，也是學生感覺較難的題型，因此，在實際教學過程中，教師要對學生進行解題方法的指導，積極探求有效解決此類題型的有效策略，不斷提高學生解決實際問題的能力，實現數學課堂教學的高效化.