淺議安徽中考數(shù)學(xué)卷選擇題“9+1”現(xiàn)象中的“1”

劉引　喬倩倩

[摘 要] 安徽省中考數(shù)學(xué)試卷具有自己的“特色”，尤其是選擇題，更是形成了獨(dú)特的“9+1”現(xiàn)象，其主要考查數(shù)形結(jié)合思想和分類(lèi)討論思想，綜合性較強(qiáng)，對(duì)學(xué)生的知識(shí)掌握情況與應(yīng)用能力都有很高的要求. 此類(lèi)題型的特點(diǎn)是信息量大，數(shù)學(xué)思想豐富，需要學(xué)生具有扎實(shí)的基本功，選拔性和區(qū)分度明顯.

[關(guān)鍵詞] 中考；數(shù)學(xué)卷；第10題；選擇題

安徽省近年來(lái)的中考數(shù)學(xué)試卷，卷面成熟、風(fēng)格穩(wěn)健、題量穩(wěn)定、難易適中，注重利用數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)考查四基（基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本方法、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)），其題型、題量已自成風(fēng)格，尤其是選擇題，更是形成了獨(dú)特的“9+1”現(xiàn)象. 現(xiàn)列舉安徽省近五年的中考數(shù)學(xué)卷第10題加以品味，在對(duì)比中一窺“9+1”現(xiàn)象中的“1”，以期能舉一反三.

試題回放

1. 以動(dòng)點(diǎn)為背景，考查數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論思想

例1 （2011年）如圖1，點(diǎn)P是菱形ABCD的對(duì)角線AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P垂直于AC的直線交菱形ABCD的邊于M，N兩點(diǎn). 設(shè)AC=2，BD=1，AP=x，△AMN的面積為y，則y關(guān)于x的函數(shù)圖像大致是（ ）

解析 本題中P為動(dòng)點(diǎn)，P的位置不同，則MN的位置也跟著發(fā)生變化，所以此題應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論.

當(dāng)0

當(dāng)1

結(jié)合函數(shù)關(guān)系式，可知選項(xiàng)C的圖像大致符合.

賞析 本題作為選擇題的壓軸題，是安徽省中考數(shù)學(xué)卷的一道特色題，綜合考查了四邊形、相似三角形和二次函數(shù)的圖像等知識(shí). 根據(jù)動(dòng)點(diǎn)P的不同位置，帶動(dòng)線段MN位置的變化，進(jìn)而對(duì)其進(jìn)行分類(lèi)討論，把復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾個(gè)小問(wèn)題來(lái)逐一解決. 學(xué)生只有正確領(lǐng)會(huì)了題目意思，熟練掌握二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，并能和幾何知識(shí)相聯(lián)系，才能較好地解決問(wèn)題. 此題需要學(xué)生的深入探究和準(zhǔn)確分類(lèi)，對(duì)學(xué)生的思維要求較高.

2. 以圖形的剪拼為背景，考查數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論思想

例2 （2012年）在一張直角三角形紙片的兩直角邊上各取一點(diǎn)，分別沿斜邊中點(diǎn)與這兩點(diǎn)的連線剪去兩個(gè)三角形，剩下的部分是如圖3所示的直角梯形，其中三邊長(zhǎng)分別為2，4，3，則原直角三角形紙片的斜邊長(zhǎng)是（ ）

A. 10 B. 4

C. 10或4 D. 10或2

解析 由于直角梯形的兩個(gè)直角均可為直角三角形的直角，故本題有兩種可能，需分類(lèi)討論.

如圖4，由勾股定理得CD==2，因點(diǎn)D是斜邊AB的中點(diǎn)，所以AB=2CD=4.

如圖5，同理可得CE==5，所以AB=2CE=10.

綜上可知，原直角三角形紙片的斜邊長(zhǎng)是10或4，故選C.

賞析 此題展現(xiàn)了一個(gè)操作性數(shù)學(xué)活動(dòng)，對(duì)學(xué)生的逆向思維能力提出了較高的要求，本題需要學(xué)生熟練掌握并運(yùn)用直角三角形的相關(guān)定理，進(jìn)而通過(guò)“剪、拼”的操作活動(dòng)畫(huà)出相應(yīng)的直角三角形. 又因?yàn)橹苯翘菪斡袃蓚€(gè)直角，這兩個(gè)直角都可以作為直角三角形的直角，故需運(yùn)用數(shù)形結(jié)合和分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想進(jìn)行解答，避免出現(xiàn)漏解.

3. 以圓為背景，考查數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論思想

例3 （2013年）如圖6，點(diǎn)P是等邊三角形ABC外接圓⊙O上的點(diǎn)，在以下判斷中，不正確的是（ ）

A. 當(dāng)弦PB最長(zhǎng)時(shí)，△APC是等腰三角形

B. 當(dāng)△APC是等腰三角形時(shí)，PO⊥AC

C. 當(dāng)PO⊥AC時(shí)，∠ACP=30°

D. 當(dāng)∠ACP=30°時(shí)，△BPC是直角三角形

解析 本題需要綜合運(yùn)用圓的相關(guān)知識(shí)逐項(xiàng)判斷各選項(xiàng)的正誤.

當(dāng)弦PB最長(zhǎng)時(shí)，PB為⊙O的直徑，則∠BAP=90°，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及圓周角定理可得出AP=CP，則△APC是等腰三角形，選項(xiàng)A正確.

當(dāng)△APC是等腰三角形時(shí)，分三種情況：當(dāng)PA=PC時(shí)，點(diǎn)P在AC的垂直平分線上，所以PO⊥AC；當(dāng)AP=AC或CP=CA時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，所以PO⊥AC，選項(xiàng)B正確.

當(dāng)PO⊥AC時(shí)，由垂徑定理得PO是AC的垂直平分線，當(dāng)點(diǎn)P在B點(diǎn)的位置時(shí)，∠ACP=60°，選項(xiàng)C錯(cuò)誤.

當(dāng)∠ACP=30°時(shí)，∠BCP=90°或∠CBP=90°，△BPC是直角三角形，選項(xiàng)D正確. 故選C.

賞析 本題難度較大，是近年來(lái)安徽省中考數(shù)學(xué)選擇題壓軸題中，唯一與圓有關(guān)的開(kāi)放性問(wèn)題，不僅考查了等邊三角形的性質(zhì)、三角形的外接圓與外心、圓周角定理、垂徑定理等核心知識(shí)，還考查了學(xué)生的動(dòng)手操作探究能力及在開(kāi)放的條件下分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力. 而如何利用數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論思想解決問(wèn)題是本題的關(guān)鍵. 另外，從四個(gè)選項(xiàng)的呈現(xiàn)形式來(lái)看，也是層層推進(jìn)，環(huán)環(huán)相扣，命題專(zhuān)家可謂獨(dú)具匠心、別具一格.

4. 以正方形為背景，考查數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論思想

例4 （2014年）如圖7，正方形ABCD的對(duì)角線BD的長(zhǎng)為2，若直線l滿(mǎn)足：①點(diǎn)D到直線l的距離為，②A，C兩點(diǎn)到直線l的距離相等，則符合題意的直線l的條數(shù)為（ ）

A. 1 B. 2 C. 3D. 4

解析 連接AC與BD交于點(diǎn)O，因?yàn)檎叫蜛BCD的對(duì)角線BD的長(zhǎng)為2，所以O(shè)D=. 由條件知直線l∥AC且點(diǎn)D到直線l的距離為，圖8為其一種情況. 同理，在點(diǎn)D的另一側(cè)還有一條直線滿(mǎn)足條件，故共有兩條直線滿(mǎn)足條件，選B.

賞析 本題主要考查了正方形、平行線、點(diǎn)到直線的距離等相關(guān)知識(shí)，本題難在分析過(guò)程中既要涉及邏輯推理，也需要一些合情猜想，點(diǎn)D到直線AC的距離小于是解決本題的關(guān)鍵. 作為選擇題的壓軸題，本題在效度上有點(diǎn)遺憾，很多學(xué)生只通過(guò)思考直線l與直線AC平行，且在點(diǎn)D的左右兩側(cè)各有一條，便確定了本題的正確答案. 試題在命制過(guò)程中，線段的長(zhǎng)短也需精雕細(xì)琢，才可能實(shí)現(xiàn)試題預(yù)想的考查學(xué)生思維品質(zhì)的價(jià)值.

5. 以函數(shù)為背景，考查數(shù)形結(jié)合思想

例5 （2015年）如圖9，一次函數(shù)y=x與二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像交于P，Q兩點(diǎn)，則函數(shù)y=ax2+（b-1）x+c的圖像可能是（ ）

解析 由一次函數(shù)y=x與二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖像相交于P，Q兩點(diǎn)，可得出函數(shù)y=ax2+（b-1）x+c可以看作是由y-y得到的函數(shù)，故y與y，y的關(guān)系密切.

觀察圖像可知，y與y交于P，Q兩點(diǎn)，且它們的橫坐標(biāo)為正數(shù)，說(shuō)明當(dāng)y=y時(shí)，得出的x值有兩個(gè)，且均為正數(shù)，等價(jià)于y=y-y=0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的正數(shù)解，即方程ax2+（b-1）x+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，根據(jù)方程根與系數(shù)的關(guān)系得出函數(shù)y=ax2+（b-1）x+c的對(duì)稱(chēng)軸x=->0，即可排除B，C，D.

此題綜合考查了方程的解，以及圖像與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

賞析 本題考查函數(shù)圖像知識(shí)，一改往年分析幾何圖形中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題判斷函數(shù)圖像的考法（分析實(shí)際問(wèn)題或幾何圖形判斷函數(shù)圖像，根據(jù)函數(shù)圖像和幾何圖形判斷結(jié)論正誤），考查了二次函數(shù)的圖像，直線和拋物線的交點(diǎn)，交點(diǎn)坐標(biāo)和方程的關(guān)系，以及方程和二次函數(shù)的關(guān)系等，綜合性強(qiáng). 體現(xiàn)了對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的考查. 預(yù)計(jì)2017年會(huì)考查幾何圖形中動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖像判斷.

對(duì)2017年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的啟發(fā)

近幾年安徽中考數(shù)學(xué)的第10題主要考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想和分類(lèi)討論思想，綜合性較強(qiáng)，對(duì)學(xué)生的知識(shí)掌握與應(yīng)用都有很高的要求. 此類(lèi)題型的特點(diǎn)是信息量大，數(shù)學(xué)思想豐富，需要學(xué)生具有扎實(shí)的基本功，選拔性和區(qū)分度明顯. 可以預(yù)見(jiàn)，2017年的中考數(shù)學(xué)第10題，仍然以考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力和分類(lèi)討論思想為主，在今后的中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中，我們還需要注意以下幾點(diǎn).

1. 重視基礎(chǔ)，回歸課本

近年來(lái)，安徽省中考數(shù)學(xué)第10題的側(cè)重點(diǎn)各有不同，但考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力、分類(lèi)討論思想是主旋律. 這些試題雖然“高于教材”，但所用基礎(chǔ)知識(shí)原型都來(lái)源于課本，它們或是進(jìn)行了適當(dāng)?shù)母木帲蚴菐讉€(gè)知識(shí)點(diǎn)的融合等，這些題的出現(xiàn)也警示我們，務(wù)必高度重視基礎(chǔ)教學(xué)，要適時(shí)地以課本為源泉，進(jìn)行一題多解、一題多變的訓(xùn)練，牢牢地把握住數(shù)學(xué)基本方法，做到舉一反三.

2. 狠抓重點(diǎn)，關(guān)注熱點(diǎn)

縱觀近幾年安徽中考第10題會(huì)發(fā)現(xiàn)，規(guī)律探究、動(dòng)手操作、開(kāi)放探索等題型是中考命題的熱點(diǎn)題型，這些題型有利于綜合考查學(xué)生的發(fā)散思維能力和探索創(chuàng)新能力. 所以，我們務(wù)必要在此類(lèi)題型上多下功夫，建立數(shù)學(xué)模型，為解答做好充分準(zhǔn)備，尤其是以幾何圖形中的動(dòng)點(diǎn)為背景的函數(shù)圖像判斷.

安徽中考數(shù)學(xué)第10題的命制，開(kāi)放性、靈活性、綜合性是一種趨勢(shì)，在2017年考試中，數(shù)形結(jié)合思想仍會(huì)是考查的重點(diǎn). 結(jié)合近幾年中考數(shù)學(xué)命題趨勢(shì)和特征，筆者現(xiàn)提供兩題以餐讀者，希望能對(duì)2017年中考復(fù)習(xí)有所幫助.

題1 如圖10，在菱形ABCD中，∠BAD ∶ ∠ADC=1 ∶ 2，對(duì)角線AC=20 cm，點(diǎn)O沿A點(diǎn)以1 cm/s的速度運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合），以點(diǎn)O為圓心的圓始終保持與菱形的兩邊相切，設(shè)⊙O的面積為S，則S與點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t的函數(shù)圖像大致為（ ）

題2 如圖11，△ABC內(nèi)接于⊙O，P是圓周上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，已知AC=BC，∠BAC=30°，則下列結(jié)論不正確的是（ ）

A. 當(dāng)∠PAC=90° 時(shí)，四邊形PACB的面積最大

B. 當(dāng)四邊形PACB的面積最大時(shí)，∠PAC=90°

C. 當(dāng)∠PAC=60°時(shí)，四邊形PACB是等腰梯形

D. 當(dāng)四邊形PACB為等腰梯形時(shí)，∠PAC=60°