數(shù)學(xué)校本教材的開(kāi)發(fā)與使用

周洪濤

濰坊廣文中學(xué)在前期嘗試的基礎(chǔ)上對(duì)數(shù)學(xué)教材進(jìn)行了二次開(kāi)發(fā)。如編寫(xiě)《初中數(shù)學(xué)經(jīng)典教學(xué)設(shè)計(jì)》，突破學(xué)生學(xué)習(xí)難點(diǎn)；編寫(xiě)《典型例習(xí)題集》，減輕學(xué)生作業(yè)負(fù)擔(dān)；編寫(xiě)《初中常見(jiàn)數(shù)學(xué)思想與方法》，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維等。數(shù)學(xué)教學(xué)不再是教教材，而是把教材內(nèi)容經(jīng)過(guò)二次開(kāi)發(fā)后，每節(jié)課以“學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)案”的形式呈現(xiàn)給學(xué)生，學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力大為增強(qiáng)，學(xué)習(xí)興趣顯著提高，但即便這樣，學(xué)校也始終沒(méi)有解決好“為每個(gè)學(xué)生提供適合的教育”這一問(wèn)題。

從知識(shí)儲(chǔ)備上看，學(xué)生水平參差不齊，一本教材顯然不可能適合每一個(gè)學(xué)生。從認(rèn)知方式上看，學(xué)生也是千差萬(wàn)別的：有的學(xué)生喜歡聽(tīng)教師詳細(xì)講解；有的學(xué)生喜歡自學(xué)后與同學(xué)交流或請(qǐng)教教師；有的學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)很好，適合框架學(xué)習(xí)、整體推進(jìn)；而有的學(xué)生適合學(xué)一點(diǎn)，鞏固一點(diǎn)，最后才能構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。學(xué)生的這種個(gè)性化學(xué)習(xí)需求，促使我們開(kāi)發(fā)數(shù)學(xué)分層教材。從本質(zhì)上講，我們開(kāi)發(fā)的應(yīng)該是“學(xué)材”。

有這種想法后，我們也在冷靜思考：我們有能力開(kāi)發(fā)數(shù)學(xué)校本教材嗎？回顧學(xué)科組全體數(shù)學(xué)教師近十年來(lái)的努力與探索，實(shí)際上我們已開(kāi)發(fā)了大量校本教材，有了一些積累與沉淀，我們下決心要嘗試。

一、從教教材到“學(xué)材”

“學(xué)材”的主要使用者是學(xué)生，我們必須從“方便學(xué)生使用”的角度思考教材編寫(xiě)的所有問(wèn)題，當(dāng)然也要兼顧學(xué)科體系的科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)，做到詳略得當(dāng)。由此，我們將“符合學(xué)生認(rèn)知水平，遵循學(xué)科固有規(guī)律，有利于學(xué)生思維發(fā)展，追求最佳使用體驗(yàn)”作為課程開(kāi)發(fā)的指導(dǎo)思想。國(guó)家課程標(biāo)準(zhǔn)是編寫(xiě)學(xué)材的依據(jù)與參考，但國(guó)家課程標(biāo)準(zhǔn)的描述太過(guò)簡(jiǎn)潔，要求過(guò)于宏觀而籠統(tǒng)，難以具體、明晰地指導(dǎo)教材編寫(xiě)。因此，我們工作的第一步是進(jìn)行國(guó)家課程標(biāo)準(zhǔn)的詳細(xì)解讀，把每個(gè)人的理解變成編寫(xiě)者的共同認(rèn)知，把籠統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)具體分析拆解，將國(guó)家課程標(biāo)準(zhǔn)具體解讀為“國(guó)家課程標(biāo)準(zhǔn)細(xì)目標(biāo)”。

比如，在《分式》這一章，課標(biāo)有“了解分式的概念”這一宏觀要求，我們把它拆解為如下4個(gè)具體細(xì)目標(biāo)：

①會(huì)判斷一個(gè)有理式是否是分式。②會(huì)對(duì)有理式進(jìn)行分類(lèi)，能說(shuō)出有理式、整式、分式、單項(xiàng)式、多項(xiàng)式之間的關(guān)系。③會(huì)將給定字母的值代入分式進(jìn)行計(jì)算求分式的值。④掌握分式有意義、無(wú)意義、值為零的條件，并能據(jù)此確定分式中字母的值或范圍。經(jīng)過(guò)如此拆解后，教師與學(xué)生就能非常精準(zhǔn)地把握課標(biāo)要求。為更加形象地表達(dá)課標(biāo)要求，我們?cè)诓鸾夂蟮拿恳荒繕?biāo)后附以典型案例進(jìn)行說(shuō)明，同時(shí)在典型案例后繼續(xù)附加“達(dá)標(biāo)示例”，用以檢驗(yàn)?zāi)繕?biāo)達(dá)成與否。為了方便學(xué)生學(xué)習(xí)與教師教學(xué)，我們還針對(duì)具體目標(biāo)給出銜接點(diǎn)、切入點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)等學(xué)習(xí)建議或教學(xué)建議。

在一次又一次反復(fù)研討解讀中，“數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)細(xì)目標(biāo)”順利完成，它既是教師編寫(xiě)數(shù)學(xué)校本教材—《數(shù)學(xué)讀本》的執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)，也是編寫(xiě)學(xué)生《習(xí)題訓(xùn)練知多少》的依據(jù)。在此基礎(chǔ)上編寫(xiě)出的《數(shù)學(xué)讀本》與課標(biāo)高度吻合，選用的練習(xí)題層次合理、精簡(jiǎn)典型、分類(lèi)清晰而不疏漏，把學(xué)生從題海中解放了出來(lái)，減輕了他們的負(fù)擔(dān)。

二、從大一統(tǒng)到分層

《數(shù)學(xué)讀本》是學(xué)生起始學(xué)習(xí)最重要的載體，為了滿(mǎn)足不同需求的學(xué)生，我們把《數(shù)學(xué)讀本》分為三個(gè)層次。最底層步子小、難度低、重基礎(chǔ)，適合基礎(chǔ)弱、自控力差、思維水平較低的學(xué)生；中間層內(nèi)容適當(dāng)整合、難度適中、節(jié)奏平緩，適合基礎(chǔ)較好、有一定自主學(xué)習(xí)能力、思維水平中等的學(xué)生；最高層內(nèi)容整合較多、知識(shí)跨度大、節(jié)奏快、拓展多，適合熱愛(ài)數(shù)學(xué)、思維敏捷、具有很強(qiáng)自學(xué)能力的學(xué)生。為保證讀本編寫(xiě)的科學(xué)準(zhǔn)確，參與教材編寫(xiě)的教師參考了各種版本數(shù)學(xué)教材，大量征求教師與專(zhuān)家意見(jiàn)，調(diào)查所有在校學(xué)生與往屆離校學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)感受，同時(shí)結(jié)合我校數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中積累的經(jīng)驗(yàn)，最終確定了相對(duì)科學(xué)的教材結(jié)構(gòu)框架。包括教材的編寫(xiě)原則、編寫(xiě)建議、編寫(xiě)及審核流程、編寫(xiě)使用工具、章節(jié)課時(shí)編排順序、教材使用評(píng)價(jià)等，使教材編寫(xiě)有據(jù)可依。三個(gè)層次使用同一結(jié)構(gòu)框架，并且先進(jìn)行中間層數(shù)學(xué)讀本的編寫(xiě)，在此基礎(chǔ)上確定最高層和最低層讀本內(nèi)容。在對(duì)各版本教材的研究中，我們發(fā)現(xiàn)，不同教材對(duì)同一知識(shí)的描述有時(shí)完全相同，有時(shí)各不相同。這啟發(fā)我們：對(duì)于數(shù)學(xué)這門(mén)學(xué)科來(lái)說(shuō)，有些知識(shí)點(diǎn)必然有適合所有學(xué)生的最科學(xué)合理的呈現(xiàn)方式，此時(shí)就可以不用區(qū)分，否則，就需要對(duì)同一知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行不同處理，以適應(yīng)不同層次學(xué)生需要。為此，我們特別強(qiáng)調(diào)如下兩點(diǎn)。

首先，分層不是對(duì)學(xué)生的要求進(jìn)行分層，而是為了達(dá)到同一目標(biāo)把學(xué)習(xí)路徑分層。不管如何分層，我們有一把共同的尺子，就是國(guó)家課程標(biāo)準(zhǔn)。其次，不要為了分層而分層，如果針對(duì)某一知識(shí)點(diǎn)，能找到適合所有層次學(xué)生的最好呈現(xiàn)方式，此時(shí)就可以不分層。比如，對(duì)于統(tǒng)計(jì)學(xué)這一知識(shí)模塊，相對(duì)簡(jiǎn)單易懂，分層就毫無(wú)必要了。我們主要在以下三個(gè)方面進(jìn)行分層。

第一，針對(duì)不同水平的學(xué)生，有些知識(shí)不好理解，我們就需要在知識(shí)的呈現(xiàn)方式上進(jìn)行分層。比如對(duì)于“整數(shù)與分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱(chēng)為有理數(shù)”這一概念，有的教材沒(méi)有解釋清楚小數(shù)與分?jǐn)?shù)的聯(lián)系，就需要分層。第二，對(duì)例題、習(xí)題的數(shù)量、難易程度、層次順序進(jìn)行分層。比如針對(duì)最低層學(xué)生思維水平略低的特點(diǎn)，選擇的例題、習(xí)題綜合性要低一點(diǎn)。而針對(duì)高層學(xué)生，我們會(huì)盡量安排開(kāi)放性例題，增加學(xué)生數(shù)學(xué)探究的機(jī)會(huì)，以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)高階思維能力。第三，在知識(shí)的整合、拓展、延伸、補(bǔ)充上分層。對(duì)于低層學(xué)生，知識(shí)的構(gòu)建一般是由部分到整體，需要學(xué)生在對(duì)部分充分理解的基礎(chǔ)上，進(jìn)行知識(shí)的整體構(gòu)建；而高層學(xué)生適合在聯(lián)系與對(duì)比中學(xué)習(xí)，所以，高層教材需要進(jìn)行相對(duì)多的知識(shí)整合。例如，學(xué)習(xí)特殊平行四邊形的性質(zhì)時(shí)，把矩形、菱形、正方形的性質(zhì)放在同一課時(shí)中處理，學(xué)生在求同存異的過(guò)程中，會(huì)對(duì)矩形、菱形、正方形的性質(zhì)有更深刻的體會(huì)。總之，各層次教材之間“和而不同”。所謂“和”，是指對(duì)所有學(xué)生來(lái)說(shuō)，都必須掌握基本的數(shù)學(xué)概念、方法、原理。所謂“不同”，是指各層次教材必然有些內(nèi)容是不同的，比如在知識(shí)應(yīng)用、知識(shí)拓展延伸、知識(shí)描述方式、習(xí)題難度及數(shù)量等方面加以區(qū)別。

三、從讀本到系列叢書(shū)

《數(shù)學(xué)讀本》作為新授課的依托，重點(diǎn)體現(xiàn)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程，展現(xiàn)數(shù)學(xué)的學(xué)科本質(zhì)。但數(shù)學(xué)必須有適量的練習(xí)，這樣，配套例題練習(xí)便同步開(kāi)發(fā)出來(lái)。《數(shù)學(xué)讀本》中的練習(xí)追求適量，重在精選，以熟悉新學(xué)知識(shí)、構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)為主，知識(shí)的應(yīng)用以直接應(yīng)用為主，尤其注意不要把讀本變成習(xí)題集。為了提高綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力，我們又開(kāi)發(fā)了《習(xí)題訓(xùn)練知多少》，方便學(xué)生章末或者學(xué)期末綜合復(fù)習(xí)時(shí)使用。為了培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，我們開(kāi)發(fā)了《初中數(shù)學(xué)思想與方法》，推動(dòng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展。這一系列叢書(shū)致力于追求學(xué)生的最佳使用體驗(yàn)，適合學(xué)生自學(xué)時(shí)閱讀與自修時(shí)練習(xí)。叢書(shū)主要突出了如下特點(diǎn)。

1.注重程序性知識(shí)

教材中所有計(jì)算步驟均作了程序化處理，所有算式均采用結(jié)構(gòu)劃分的處理方式，大幅度提升了學(xué)生計(jì)算能力。比如，有理數(shù)的加法運(yùn)算的程序可歸納為：第一，確定加法運(yùn)算的類(lèi)型；第二，確定結(jié)果的符號(hào)；第三，確定結(jié)果的絕對(duì)值（絕對(duì)值相加還是相減）。

再比如，為了把復(fù)雜的整式加減算式進(jìn)行分解，我們采取利用豎線把算式劃分為三個(gè)括號(hào)的和的形式，有利于從整體把握算式結(jié)構(gòu)。教材中大量類(lèi)似的結(jié)構(gòu)劃分也讓教師對(duì)學(xué)生的具體審題要求具有可操作性，讓學(xué)生的認(rèn)真審題真正落到實(shí)處。

2.內(nèi)容適度整合、拆分

我們?cè)跒g覽各版本教材后，發(fā)現(xiàn)教材順序編排主要參考三種結(jié)構(gòu)：模塊結(jié)構(gòu)、串式結(jié)構(gòu)（從一個(gè)知識(shí)點(diǎn)出發(fā)，引出其他相關(guān)知識(shí)）、螺旋式結(jié)構(gòu)。在認(rèn)真比較思考后，我校教材確定了以模塊結(jié)構(gòu)為主、螺旋式結(jié)構(gòu)為輔的編寫(xiě)原則。比如除法法則，小學(xué)只涉及正數(shù)與0，初中數(shù)系擴(kuò)展到了有理數(shù)，我們就要在小學(xué)除法法則的基礎(chǔ)上打補(bǔ)丁，把負(fù)數(shù)也納入小學(xué)的除法法則體系中。而直角三角形全等的判定，采取后來(lái)“打補(bǔ)丁”的方式就不科學(xué)，因?yàn)橐话闳切闻c直角三角形僅僅是一般與特殊的關(guān)系，這兒沒(méi)有數(shù)學(xué)體系的發(fā)展、延伸問(wèn)題，應(yīng)該作為一個(gè)模塊進(jìn)行學(xué)習(xí)，“打補(bǔ)丁”就不利于學(xué)生構(gòu)建三角形全等的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，所以我校教材就把三角形（包括直角三角形）的全等整合為一章進(jìn)行編寫(xiě)。當(dāng)然，有時(shí)候我們也要考慮不同年齡階段學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)對(duì)教材編排順序的影響，比如多數(shù)教材把因式分解與整式的乘法整合在一起，確實(shí)有利于學(xué)生的整體系統(tǒng)認(rèn)知，但學(xué)生由于年齡原因達(dá)不到我們期望的認(rèn)知水平，有拔苗助長(zhǎng)之嫌。所以，從學(xué)生認(rèn)知水平角度考慮，把兩者安排在初一下學(xué)期與初二上學(xué)期分別處理。再比如，一元二次方程的解法有四種，所有教材都把“因式分解法”這種解一元二次方程的方法放在四種方法的最后，然而從學(xué)生認(rèn)知沖突的角度考慮，我們把因式分解法作為第一種方法編寫(xiě)，后面的方法都是因?yàn)橛谩耙蚴椒纸夥ā苯鉀Q不了而必然出現(xiàn)的。

3.力求簡(jiǎn)潔易懂

簡(jiǎn)潔是我們編寫(xiě)教材時(shí)孜孜以求的目標(biāo)。比如，在編寫(xiě)“有理數(shù)的減法”時(shí)，我們需要把減法轉(zhuǎn)化為加法處理，而后一課時(shí)“有理數(shù)的加減法”，需要把“加減混合運(yùn)算”看成“省略加號(hào)與括號(hào)的和”的形式，也就是“-”不再被看作減號(hào)，而是負(fù)號(hào)。為了避免“減法運(yùn)算”對(duì)“加減混合運(yùn)算”的負(fù)遷移影響，我們?cè)诰帉?xiě)時(shí)把“有理數(shù)的減法”弱化，并直接與“有理數(shù)的加減法”并入同一課時(shí)，時(shí)間節(jié)省了，效果反而更好。再比如，對(duì)于“去括號(hào)”這一知識(shí)點(diǎn)，其本質(zhì)是“乘法分配律”，所以我們?cè)凇俺朔ǚ峙渎伞边@一認(rèn)知基礎(chǔ)上描述“去括號(hào)”會(huì)更簡(jiǎn)潔易懂，也能體現(xiàn)學(xué)科內(nèi)在本質(zhì)統(tǒng)一。

4.常見(jiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論“模型化”處理

數(shù)學(xué)也需要記憶，大腦解決問(wèn)題時(shí)，多數(shù)情況下是在搜索可利用的模型。為了讓學(xué)生學(xué)起來(lái)更輕松，我們歸納了常見(jiàn)數(shù)學(xué)模型以供學(xué)生理解后識(shí)記應(yīng)用。比如，所有涉及幾何圖形的編寫(xiě)，均可歸納出常見(jiàn)幾何模型，提高了學(xué)生的圖形分離能力。學(xué)習(xí)“線段的和差關(guān)系”時(shí)，我們歸納了如下兩個(gè)基本模型：

模型一：圖中三條線段AC、AB、BC（C不是中點(diǎn)），可知二求一。

模型二：圖中三條線段AC、AB、BC（C是中點(diǎn)），可知一求二。

所有利用線段和差關(guān)系求線段的問(wèn)題都是上述兩個(gè)模型的組合，模型歸納出來(lái)，有利于學(xué)生從復(fù)雜問(wèn)題中識(shí)別出基本模型而使問(wèn)題簡(jiǎn)化。

5.編排符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律

教材的編排必須考慮學(xué)生的年齡特征及認(rèn)知特點(diǎn)，使整個(gè)結(jié)構(gòu)體系符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。具體編寫(xiě)時(shí)必須從細(xì)節(jié)入手，體現(xiàn)由淺入深、由易到難、由特殊到一般、由直觀到抽象，注重內(nèi)在邏輯，注重激發(fā)思維。比如，所有數(shù)學(xué)知識(shí)都涉及一般情況與特殊情況，必然要在“由特殊到一般”與“由一般到特殊”兩種認(rèn)知方式之間做選擇，以便學(xué)生獲得最佳體驗(yàn)。教材中函數(shù)的學(xué)習(xí)遵循“由特殊到一般”的規(guī)律，而圖形的學(xué)習(xí)則遵循“由一般到特殊”的規(guī)律。我們依據(jù)自己的教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，參考不同版本教材的處理方式，確定了每個(gè)知識(shí)點(diǎn)的科學(xué)合理的認(rèn)知方式。例如，對(duì)于三元一次方程組的解法，我們確定先處理最一般的（三個(gè)方程均為三元一次方程），再處理特殊的（三個(gè)方程中有一個(gè)是二元一次方程），如果反過(guò)來(lái)處理，就容易先入為主，使學(xué)生產(chǎn)生思維定勢(shì)。

正是因?yàn)橛行南祵W(xué)生的換位思考，數(shù)學(xué)校本課程系列叢書(shū)一出爐便得到了學(xué)生的歡迎與家長(zhǎng)認(rèn)同。學(xué)生說(shuō)，“原來(lái)的教材總是讀不大懂，現(xiàn)在的教材簡(jiǎn)潔易懂，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得輕松多了！”。家長(zhǎng)說(shuō)，“原來(lái)的教材更多關(guān)注教師的教，而校編學(xué)生用書(shū)真正關(guān)注了學(xué)生的學(xué)！”。

（作者單位：山東省濰坊廣文中學(xué)）

責(zé)任編輯：趙彩俠

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