一次函數圖像正確解讀

茅莉萍

我們在學習函數圖像時總會遇到各種各樣的困難，導致在解題時發生很多錯誤，下面我們就一起探討一下如何攻克在學習一次函數圖像時遇到的困難.

1. 圖文靈活互譯 優化解題過程

案例1 某公司專銷產品A，第一批產品上市40天內全部售完.該公司對第一批產品上市后市場銷售情況進行了跟蹤調查，調查結果如圖所示：其中，圖1中的折線表示的是市場日銷售量與上市時間的關系，圖2中的折線表示的是每件產品的銷售利潤與上市時間的關系.

（1） 試寫出第一批產品的市場日銷售量y與上市時間t的關系式.

（2） 第一批產品上市后，哪一天這家公司市場日銷售利潤最大？最大日銷售利潤是多少萬元？

綜合分析大家的解題過程，發現有以下兩種解法：方法一是根據圖像1分別求出日銷售量y與上市時間t的函數關系式（均為分段函數），再根據銷售利潤=日銷售量×每件銷售利潤，求出銷售利潤y與上市時間t的函數關系式（三段的分段函數），最后分別求出每段的最大值，經過比較得到最值.方法二是將圖1的圖像語言翻譯成文字語言可知，第30天市場的日銷售量達到最大為60萬件，再將圖2翻譯成文字語言可知，第20天到40天之間每件產品的日銷售利潤達到最大，均是60元/件，所以第30天這家公司市場的日銷售利潤最大，最大利潤為3 600萬元.比較兩種做法，方法一將數學圖像語言轉換為函數文字語言，通過分類討論將函數分段，思路嚴謹，說理有據，但思維量大，過分追求數學的形式化；方法二將數學圖像語言轉換為文字語言，說理符合實際生活，解法小巧靈活，顯然優于方法一.

從這個問題的解決過程來看，在解讀一次函數圖表信息時，應盡量將問題中的圖表語言、符號語言和文字語言及時進行靈活的轉換.通常情況下，應著力把圖像語言轉化成文字語言，成為一個“純”文字問題，再轉換成符號語言進行簡化，最后思考解決問題的路徑，方能優化解題過程.

2. 開闊解題思路 避免思維定勢

案例2 已知甲、乙兩車分別從相距300 km的A、B兩地同時出發相向而行，甲到B地后立即返回，下圖是它們離各自出發地的距離y（km）與行駛時間x（h）之間的函數圖像.

（1） 求甲車離出發地的距離y與行駛時間x之間的函數關系，并寫出自變量的取值范圍；

（2） 當它們行駛到與各自出發地的距離相等時用了4.5小時，求乙車離出發地的距離y與行駛時間x之間的函數關系，并寫出x的范圍；

（3） 在（2）的條件下，求在它們行駛過程中相遇的時間.

通過對大家解題情況進行調查，發現理解題意時思維定勢產生的負效應是解錯本題的主要原因.因為通常情況下，行程類的函數圖像題，縱軸（y軸）往往用來表示物體行駛的距離，但在本題中y軸的實際意義為“它們離各自出發地的距離”，而不是通常我們所認為的兩車行駛的距離，學生在解讀信息時思維定勢在常規的理解上，從而導致錯解.

從這個問題的解決過程來看，在理解題意、尋找信息時，同學們應充分分析已知條件，特別是解讀含有實際意義的一次函數圖像時，要看清橫軸與縱軸所表示的實際意義，避免思維定勢負效應給解讀圖形信息產生的負面影響.

3. 發掘隱含信息 釋放圖像內涵

案例3 如圖4是甲、乙兩個圓柱形水槽的軸截面示意圖，乙槽中有一圓柱形鐵塊立放其中（圓柱形鐵塊的下底面完全落在乙槽底面上）.現將甲槽中的水勻速注入乙槽，甲、乙兩個水槽中水的深度y（厘米）與注水時間x（分鐘）之間的關系如圖5所示.根據圖像提供的信息，解答下列問題：

（1） 圖5中折線ABC表示______槽中水的深度與注水時間之間的關系，線段DE表示______槽中水的深度與注水時間之間的關系（以上兩空選填“甲”或“乙”），點B的縱坐標表示的實際意義是______.

（2） 注水多長時間時，甲、乙兩個水槽中水的深度相同？

（3） 若乙槽底面積為36平方厘米（壁厚不計），求乙槽中鐵塊的體積；

（4） 若乙槽中鐵塊的體積為112立方厘米，求甲槽底面積（壁厚不計）.（直接寫出結果）

解決該問題的關鍵在于，觀察乙槽的特征，水面上升的速度先快后慢，圖像的“轉折點”對應容器的“水面剛好漫過鐵塊”這個時刻，由此確定圖像與器具的對應關系，對于（3）、（4），根據注水時間與注水速度求解，所以說解決該題的關鍵是能挖掘隱含信息.

函數圖像以其直觀、形象的特征囊括了眾多顯現的與隱含的信息，解決問題的過程就是釋放圖像內涵、信息轉換的過程.

（作者單位：江蘇省無錫市僑誼實驗中學）