不斷前進的函數發展史

尤維明

函數概念是數學中最重要的基本概念之一，對數學的發展有著不可估量的作用.函數概念的完善經過了漫長的歷史，數學家在完善函數概念的同時，不斷賦予它新的思路，從而推動整個數學的發展.

早期函數概念——幾何觀念下的函數

17世紀伽俐略（G.galileo，意大利，1564-

1642）在《兩門新科學》一書中，幾乎從頭到尾包含著函數或稱為變量的關系這一概念，用文字和比例的語言表達函數的關系.笛卡爾（descartes，法，1596～1650）在他的解析幾何中，已經注意到了一個變量對于另一個變量的依賴關系，但由于當時尚未意識到需要提煉一般的函數概念，因此直到17世紀后期牛頓、萊布尼茲建立微積分的時候，數學家還沒有明確函數的一般意義，絕大部分函數是被當作曲線來研究的.

18世紀函數概念——代數觀念下的函數

1718年約翰·伯努利（Johann Bernoulli，瑞士，1667～1748）在萊布尼茲函數概念的基礎上，對函數概念進行了明確定義：由任一變量和常數的任一形式所構成的量，伯努利把變量x和常量按任何方式構成的量叫“x的函數”，表示為其在函數概念中所說的任一形式，包括代數式子和超越式子.

18世紀中葉歐拉（L.Euler，瑞士，1707～1783）給出了非常形象的，一直沿用至今的函數符號.歐拉給出的定義是：一個變量的函數是由這個變量和一些數即常數以任何方式組成的解析表達式.他把約翰·伯努利給出的函數定義稱為解析函數，并進一步把它區分為代數函數（只有自變量間的代數運算）和超越函數（三角函數、對數函數以及變量的無理數冪所表示的函數），還考慮了“隨意函數”（表示任意畫出曲線的函數）.不難看出，歐拉給出的函數定義比約翰·伯努利的定義更普遍、更具有廣泛意義.

19世紀函數概念——對應關系下的函數

1822年傅里葉（Fourier，法，1768～1830）發現某些函數可用曲線表示，也可用一個式子表示，或用多個式子表示，從而結束了函數概念是否以唯一一個式子表示的爭論，把對函數的認識又推進了一個新的層次.1823年柯西（Cauchy，法，1789～1857）從定義變量開始給出了函數的定義，同時指出：雖然無窮級數是規定函數的一種有效方法，但是對函數來說不一定要有解析表達式.不過他仍然認為函數關系可以用多個解析式來表示，這是一個很大的局限，突破這一局限的是杰出數學家狄利克雷.

1837年狄利克雷（Dirichlet，德，1805～1859）認為怎樣去建立x與y之間的關系無關緊要，他拓廣了函數概念，指出：“對于在某區間上的每一個確定的x值，y都有一個或多個確定的值，那么y叫做x的函數.”狄利克雷的函數定義，出色地避免了以往函數定義中所有的關于依賴關系的描述，簡明精確，以完全清晰的方式為所有數學家無條件地接受.至此，我們已可以說，函數概念、函數的本質定義已經形成，這就是人們常說的經典函數定義.

等到康托爾（Cantor，德，1845～1918）創立的集合論在數學中占有重要地位之后，維布倫（Veblen，美，1880～1960）用“集合”和“對應”的概念給出了近代函數定義，通過集合概念，把函數的對應關系、定義域及值域進一步具體化了，且打破了“變量是數”的極限，變量可以是數，也可以是其他對象（點、線、面、體、向量、矩陣等）.

現代函數概念——集合論下的函數

1914年豪斯道夫（F.hausdorff）在《集合論綱要》中用“序偶”來定義函數.其優點是避開了意義不明確的“變量”、“對應”概念，其不足之處是又引入了不明確的概念“序偶”.庫拉托夫斯基（Kuratowski）于1921年用集合概念來定義“序偶”，即序偶（a，b）為集合{{a}，{b}}，這樣，就使豪斯道夫的定義很嚴謹了.1930年新的現代函數定義為，若對集合M的任意元素x，總有集合N確定的元素y與之對應，則稱在集合M上定義一個函數，記為y=f（x）.元素x稱為自變元，元素y稱為因變元.

函數概念的定義經過三百多年的錘煉、變革，形成了函數的現代定義形式，但這并不意味著函數概念發展的終結.20世紀40年代，物理學研究的需要發現了一種叫做Dirac-δ函數，它只在一點處不為零，而它在全直線上的積分卻等于1，這在原來的函數和積分的定義下是不可思議的，但由于廣義函數概念的引入，把函數、測度及以上所述的Dirac-δ函數等概念統一了起來.因此，隨著以數學為基礎的其他學科的發展，函數的概念還會繼續擴展.

（作者單位：江蘇省無錫市玉祁中學）