“一次函數”核心概念解讀

楊燕華

函數是研究現實世界數量關系及變化規律的重要數學模型，也是處理和解決實際問題的有力工具，具有廣泛應用性.下面針對本章概念進行多角度、多層次的分析，便于大家逐步深化認識，幫助大家正確掌握學習函數的基本方法.

一、 本章概念的橫向細化

第1節“函數”.大家在初學時會感到比較抽象，不易理解.對于函數概念的學習，剛開始大家往往只關注關系式、自變量的取值范圍或函數值這些顯性的知識，而忽略了認識問題的變化過程這個隱性的內涵.我們可以通過教科書中的實例“勻速行駛的火車”、“水庫的水位變化”、“水滴激起的波紋”感受變量與變量之間的關系，并運用函數的三種表達方式（列表法、圖像法和解析式法）揭示實際問題的變化規律.

在學習中，我們要始終圍繞“（1） 在上述變化過程中不變的量是什么？（2） 變化的量有幾個？（3） 它們之間有什么關系？（4） 當一個變量確定時，另一個變量能確定嗎？”這幾個問題思考，進而真正理解函數的概念.即“一般地，在一個變化的過程中有兩個變量x和y，如果對于x的每一個值，y都有唯一的值與它對應，那么我們稱y是x的函數，x是自變量”.

對于函數的概念，我們要抓住“兩個變量之間的對應關系”這個本質.即每個變化的過程中，都有兩個變量，并且這兩個變量之間相互依存、相互制約.

第2節“一次函數”.通過對生活中一些實例的研究，我們可以從中抽象出一次函數的概念.即“一般地，形如y=kx+b（k、b為常數，且k≠0）的函數叫做一次函數.特殊地，當b=0時，y=kx（k為常數，k≠0），y叫做x的正比例函數”.

該概念可分為三個層次理解，第一層次：上述一次函數的概念是通過一種表達式給出的，要求我們能夠根據具體問題的表達式判斷函數是否為一次函數（正比例函數），并能說明理由.第二層次：正比例函數是一次函數的特例，也就是一次函數包含了正比例函數，不能理解為兩個單獨的概念.第三層次：該表達式揭示了變量與變量間的關系，可根據函數值求與之對應的自變量的值，也可利用待定系數法求出一次函數的關系式.

第3節“一次函數的圖像”.我們首先要學會按“列表、描點、連線” 三步來畫函數圖像的方法，對于一次函數，通常利用與坐標軸的兩交點，0、（0，b）來畫，其圖像是一條直線.在此基礎上，進一步感受一次函數圖像直線的上升、下降與解析式中k的關系，進而認識其性質，千萬不可死記一次函數的性質，我們可以借助圖像，利用數形結合的思想方法理解記憶其性質.

第4節“用一次函數解決問題”.一次函數的實際應用是用一次函數的解析式或圖像來解決問題，需要我們首先從問題中找到函數解析式或從函數圖像直觀地找出實際問題中變量之間的關系；其次，將簡單的實際問題轉化為一次函數的數學問題；最后，用一次函數的知識解決實際問題.

第5節“一次函數與二元一次方程”、第6節“一次函數、一元一次方程和一元一次不等式”.這兩節內容主要是研究“一次函數”與“一次方程”“一次不等式”三者之間一般與特殊的關系，它們在某些特定情況下可以相互轉換，學習時可以充分借助一次函數圖像的直觀特點，溝通三者之間的聯系，進而解決問題.

二、 本章概念的縱向深化

第1節研究了一般函數的定義、自變量的取值范圍、函數的圖像及圖像的一些直觀性質，為第2、3、4節內容的學習鋪墊，一次函數屬于函數中的一種，一次函數與函數是特殊與一般的關系.所以，建議大家在學習一次函數時可以采用類比、對比的方法，從定義、圖像、性質三方面全面認識.利用前后知識的關聯，有利于把已學的知識納入原有知識體系中，整體建構知識框架.這樣的研究思路和學習方法，也為我們初二下學期和初三進一步學習新的函數打好基礎.

第5、6節的學習，是本章內容的難點，許多同學比較容易厘清知識之間的關系，但到了“運用”階段，無法理解一次函數與二元一次方程，一次函數與一次方程、一次不等式之間的相互關系，下面我們就對這兩個關系作一下分析.

對于“一次函數與二元一次方程”的相互關系，從形式上看，通過移項，可以將一次函數y=kx+b（k≠0）寫成kx-y+b=0的形式，因此從左往右看，一次函數可以轉化為二元一次方程的形式.反過來，二元一次方程也可以化為一次函數的形式.從一次函數圖像上的點與方程的解來看，一次函數圖像上任意一點的坐標都是二元一次方程的一個解；反之，二元一次方程的解為坐標的點都在一次函數的圖像上.二元一次方程和一次函數之間的這種對應關系，便可實現兩個一次函數與二元一次方程組在形式與內容上的完美統一，這既是一種解二元一次方程組的新方法，也是一次函數在數學內部的運用，體現了轉化思想和方程思想.

對于“一次函數與一元一次方程、一元一次不等式”的相互關系，將一次函數y=kx+b（k≠0）中的y分別取大于0、等于0、小于0的值，就可以得到一元一次不等式和一元一次方程.從圖像上看，與x軸交點的橫坐標就對應著一元一次方程的解，在x軸上方、下方的點集y的值大于0、小于0，其橫坐標對應著一元一次不等式的解集.

三、 本章概念的學習建議

在學習本章內容時，我們一定要有以下幾個方面的思考：一是每個概念都不是獨立的個體，要把所學的知識點連成線，線狀的知識結成塊，體會數學知識的完整板塊及相互關聯，這樣學習有利于知識的存儲和提取.二是在學習知識或解決問題中及時使用數學的思想方法，這樣就有利于我們發現數學的本質.三是善于自主歸納課堂基本知識，積極參與數學學習的全過程，逐步積累數學活動經驗.因為本章內容是初中函數學習的起始章，掌握研究函數“定義、圖像、性質、運用和應用”的基本思路及“數形結合”等重要的思想方法，有利于今后新函數學習的對比和類比，如果能夠做到舉一反三，對所學知識及時遷移，就為今后函數的學習打下堅實的基礎.

（作者單位：江蘇省無錫市新城中學）