一種共軛凹凸型非圓齒輪機構的設計

俞高紅　虞佳萍　童俊華　葉秉良　鄭士永

1.浙江理工大學，杭州，3100182.浙江省種植裝備技術重點實驗室,杭州，310018

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一種共軛凹凸型非圓齒輪機構的設計

俞高紅1，2虞佳萍1，2童俊華1，2葉秉良1，2鄭士永1，2

1.浙江理工大學，杭州，3100182.浙江省種植裝備技術重點實驗室,杭州，310018

為了設計出傳動比函數具有二次不等幅特點的凹凸型非圓齒輪機構，利用自主開發的生成齒廓的軟件設計了主動齒輪齒廓，利用CAD軟件優化了內凹部分的曲線。提出了新的齒廓生成方法，利用Pro/E軟件仿照展成法原理，用主動輪作刀具、從動輪作毛坯生成從動齒輪齒廓。進行了虛擬仿真，提取了齒輪傳動比的理論值。完成了齒輪傳動試驗，并利用高速攝像機測得了齒輪傳動比的試驗值。結果顯示兩組傳動比的值基本一致，驗證了凹凸型非圓齒輪嚙合和傳動的正確性及該類齒輪在應用中的可行性。

非圓齒輪；二次不等幅；凹凸型；齒廓設計

0　引言

變速比傳動機構被廣泛應用于實際生產中。能實現變速比傳動的機構有連桿機構、凸輪機構和非圓齒輪機構。與連桿機構和凸輪機構相比，非圓齒輪的使用能夠大大簡化機構的復雜程度，提高機構的性能，并且有傳遞功率范圍大、傳動效率高、傳動比準確、使用壽命長、工作可靠等優點[1]，在運動學、幾何學等方面也具有獨特的傳動特點[2-5]。非圓齒輪尚未得到較為廣泛的應用，主要原因是其制造和安裝精度要求高，且成本較高[3]。20世紀40～60年代，非圓齒輪傳動技術發展比較迅速，形成了比較完整的理論體系。國內對非圓齒輪傳動的研究起步比較晚，與國外有一定的差距[5-6]。

本課題組在研究蔬菜缽苗取苗機構時，根據機構對取苗軌跡的特殊要求，設計了兩種滿足具有二次不等幅傳動比的非圓齒輪機構[7-8]，即在一個周期中傳動比有兩次明顯變化且幅值不等的非圓齒輪機構。此類機構的特點在于其主動非圓齒輪節曲線存在明顯內凹，從動非圓齒輪節曲線存在明顯外凸。文獻[5]中提到的二階橢圓齒輪機構，傳動比在一個周期內也能實現兩次高幅值的變化，但是這兩個幅值近似相等，不滿足取苗機構的設計要求。由于節曲線外凸的非圓齒輪可以用滾齒法加工或插齒法加工，節曲線內凹的非圓齒輪只能用插齒法加工，所以，目前對具有內凹特性的非圓齒輪的研究相對比較少[9]。課題組針對內凹型齒輪的齒廓設計方法，在文獻[8]中提出了一種新型非圓齒輪節曲線的構造方法，采用三段式構造傳動比函數，并將齒輪分為輪齒部分和類似凸輪傳動部分，利用解析法與圖解法相結合的方法設計特殊非圓齒輪的齒廓，但該方法過程繁瑣，求解周期長，精度低。非圓齒輪機構是蔬菜缽苗取苗機構的核心部件，成功設計出一種傳動比具有二次不等幅特性的非圓齒輪是實現該機構穩定可靠工作的前提。本文通過提出一種新的傳動比表示方法及新的齒廓生成方法，實現了凹凸型非圓齒輪機構的設計。此外，還完成了該非圓齒輪機構的虛擬仿真和實物樣機的傳動試驗，驗證了設計的可行性。

1　機構的結構特點和工作原理

非圓齒輪機構簡圖如圖1所示，其中，齒輪1為主動齒輪，齒輪2為從動齒輪，兩齒輪之間的中心距為L。主動齒輪旋轉中心為O1，角位移為φ1，從動齒輪旋轉中心為O2，角位移為φ2，點P為嚙合點。該非圓齒輪機構的傳動比變化曲線具有二次不等幅的特點，即在一個周期內，傳動比依次經過兩個峰值。

當主動齒輪1繞O1順時針旋轉角位移φ1時，從動齒輪2繞O2逆時針旋轉角位移φ2。齒輪1轉過一周，齒輪2也轉過一周。該機構能在平均傳動比為1的基礎上實現較大幅度的變速比傳動。在節曲線ABC段上，以輪齒的形式嚙合傳動，傳動比經過一個小峰值。當運動到CDA段時，由于該段節曲線內凹特性明顯，難以生成輪齒，但又要滿足一定的傳動關系，則以類似凸輪的形式傳動，此時，出現一個大峰值傳動比。

1.主動齒輪　2.從動齒輪圖1　非圓齒輪機構簡圖

2　齒輪傳動比函數的確定

為設計出符合實際應用的非圓齒輪機構，首先需要確定該機構的傳動比變化曲線。

定義非圓齒輪傳動比函數如下：

(1)

式中，ai、bi、ci為實數常數，ai>0；n為正整數。

f(φ1)為多個高斯函數相加的函數，主動輪1順時針轉過角位移φ1，瞬時角速度為ω1，從動輪2逆時針轉過角位移φ2，瞬時角速度為ω2。依靠該函數可變參數多、節曲線形狀變化多樣的優點，尋找滿足要求的一組傳動比，從而使得旋轉式蔬菜缽苗移栽機構實現取苗、推苗的工作軌跡。

根據蔬菜缽苗取苗機構的要求[8],在一個工作周期內取苗機構傳動比變化曲線要有兩個明顯不等的峰值,該傳動比稱為二次不等幅傳動比。

假定齒輪中心距L=72 mm，φ1是定義在0°到360°區間內的變量，傳動比函數中的n=6。

在研究中，發現參數a1可控制φ1∈[290°,340°]時的傳動比峰值，a2主要影響φ1∈[250°,290°]時傳動比峰值的坡度，a3能控制φ1∈[250°,290°]時傳動比出現另一個峰值，a4主要影響φ1∈[250°,360°]時傳動比整體值的變化，a5可控制φ1∈[80°,240°]時的傳動比峰值，a6則主要影響φ1∈[0,280°]時傳動比整體值的變化，而b1～b6、c1～c6則對傳動比曲線峰值的影響相對較小，由此可見參數a1與a5對兩個傳動比峰值的影響比較大。

通過調節各參數的值可得到所要求的傳動比峰值。圖2所示為參數a1與a5對傳動比變化的影響曲線。圖2a為a1取不同值時，傳動比i12的變化曲線示意圖。由圖2a可知，參數a1對φ1∈[290°,340°]時的傳動比影響較大。當a1的值越大時，峰值越大。圖2b為a5取不同值時，傳動比i12的變化曲線示意圖。由圖2b可知，參數a5對φ1∈[80°,240°]時的傳動比影響較大，a5的值越大，峰值越大。

1.a1=2　2.a2=3　3.a1=4(a)不同a1值對傳動比i12的影響

1.a5=-0.36　2.a5=0.36　3.a5=1.36(b)不同a5值對傳動比i12的影響圖2　不同參數值對傳動比的影響

確定各參數的值得到φ1∈[0,360°]時的傳動比函數為

(2)

傳動比函數曲線如圖3所示。在起始位置，φ1=0，φ2=0，由圖3可知，當φ1約為150°和316°左右時，傳動比的值分別有一個峰值，當φ1=150°時，i12=1.08，當φ1=316°時，i12=5.8，大峰值是小峰值的5.37倍。

圖3　傳動比函數

因為傳動比函數i12又可表示為

(3)

所以從動輪角位移φ2為

(4)

角位移φ2與φ1的關系曲線如圖4所示。

圖4　角位移φ2與φ1的關系曲線

3　齒輪節曲線的設計

設計非圓齒輪主要有兩個步驟，首先確定齒輪副的節曲線；然后確定齒輪的其他幾何參數，特別是齒輪的齒廓，以保證齒輪能正確地按所求的節曲線傳動[5,10]。

(5)

隨著傳動比的變化，r1、r2也時刻在變化，根據式(5)可求得齒輪1節曲線極坐標方程為

(6)

由式(4)和式(5)可知從動齒輪2節曲線極坐標方程為

(7)

以上方程所計算的i12、r1、r2、φ2，都分別是對應φ1在一周內均布的360個點的一組值。根據式(6)和式(7)所得齒輪節曲線如圖1所示。由圖1可知，該對非圓齒輪與一般研究的非圓齒輪不同，有明顯的內凹和外凸現象。

根據蔬菜缽苗取苗機構的實際工作要求，該對齒輪的平均傳動比為1，即主動齒輪φ1轉過一周，從動齒輪φ2也轉過一周。r1和r2在該區間內，也變化一個周期，且當φ1=0及φ1=360°時，對應r1的值相同，對應r2的值也相同。以式(2)的傳動比為基礎，根據式(6)、式(7)計算得到φ1=0及φ1=360°時，r1=35.82 mm，r2=36.18 mm。由此可知根據以上傳動比函數設計的齒輪節曲線是封閉的。

4　齒輪齒廓的設計

對于預定的傳動比，只要給出一個齒輪的齒廓曲線，就可根據齒廓嚙合基本定律求出與其嚙合傳動的另一輪上的共軛齒廓曲線[1]。根據這一定義，本文提出了一種基于Pro/E軟件包絡生成齒輪的方法。相比課題組以往利用自主開發的齒廓生成軟件分別生成主從動齒輪輪齒、利用圖解法生成類似凸輪傳動曲線，本文所采用的方法避免了繁瑣的計算過程，以及輪齒獨立生成所帶來的嚙合不平穩的問題。

4.1主動齒輪齒廓的設計

由式(6)可得主動齒輪1的節曲線極坐標方程，計算其笛卡兒坐標方程為

(8)

根據圖1中主動非圓齒輪節曲線，將齒輪分成兩部分，節曲線ABC段為輪齒傳動部分，節曲線CDA段為類似凸輪的傳動部分。

(9)

ABC段節曲線參考非封閉節曲線非圓齒輪生成方法[11]，并利用自主開發的齒廓生成軟件設計得到輪齒齒廓曲線[9,12]，如圖4所示。得到該段齒廓的模數m=2.98 mm，齒數Z=25。

圖5　主動齒輪齒廓生成圖

而CDA段節曲線由于內凹，無法生成正常的漸開線齒廓，因此，將該段曲線以類似凸輪曲線的形式進行設計。將曲線導入CAD軟件，優化CDA段曲線，使傳動時能順利過渡，如圖5中CDA段粗實線部分所示。

4.2從動輪齒廓的設計

加工時切削工具與工件做相對展成運動，刀具和工件的瞬心線相互做純滾動，兩者之間保持確定的速比關系，所獲得加工表面就是刀刃在這種運動中的包絡面[13-14]。為了使設計的一對齒輪齒廓是共軛齒廓，在設計完成主動齒輪齒廓線之后，利用上述展成法原理，包絡出從動齒輪的齒廓線。

齒輪嚙合需要保證一個頂隙，故刀具齒輪需在主動齒輪的基礎上修改，其齒頂圓直徑和齒根圓直徑計算公式為

(10)

刀具齒輪繞著從動齒輪毛坯做順時針公轉，自身又做順時針自轉。如圖6所示，1是刀具齒輪，2是從動齒輪毛坯。設齒輪1公轉角位移為θ1，絕對角位移為θ2，則

1.齒輪刀具　2.從動輪毛坯圖6　從動輪齒廓生成圖

(11)

其中，φ1是以圓周一周內均布的720個值(在實際操作中φ1的取值個數可根據精度要求增加或刪減，本文中，選取了720個點，試驗證明已經能夠滿足精度要求)，φ2是由式(4)求得的對應φ1的一組值。

根據圖6所示原理利用Pro/E軟件生成從動齒輪齒廓，其步驟如下：

(1)新建零件1“gear1.prt”為齒輪刀具，零件2“gear2.prt”作為從動齒輪毛坯。

(2)將兩個零件導入裝配文件“gear.asm”中，并按初始位置裝配。

(3)對零件“gear1.prt”進行表陣列，以θ1和θ2作為2個自變量，得到720個零件1，其余719個的文件名為“gear1-1.prt”、“gear1-2.prt”、…、“gear1-719.prt”。

(4)以“gear1.prt”為刀具，“gear2.prt”為毛坯進行“切除”操作，并確定完成。

(5)將步驟(4)的“切除”操作存入映射鍵“F1”，將確定完成存入映射鍵“F2”，保存得到初始文件“config.pro”。

(6)編輯“config.pro”文件，使720次的“切除”和“確定完成”操作都映射入“F1”和“F2”中，使從動齒輪齒廓的生成能一次性自動完成。部分程序如下：

mapkey $F1 @MAPKEY_LABEL切除;～ Select ‘main_dlg_cur’ ‘MenuBar1’1‘Edit’;mapkey(continued) ～ Command

‘ProCmdMmCompOper’ ; #CUT OUT;

mapkey $F2 @MAPKEY_LABEL確定完成;#DONE;

是;#DONE; ……

mapkey $F3 @MAPKEY_LABEL展開組;mapkey(continued) ～ Expand ‘main_dlg_cur’

‘PHTLeft.AssyTree’ ‘node720’;

mapkey(continued) ～ Expand ‘main_dlg_cur’

‘PHTLeft.AssyTree’ ‘node719’; ……

保存并重啟“gear.asm”，按下“F1”鍵，啟動“切除”操作，按下“F2”鍵，確認完成，等待齒輪切除完成即可。顯然，該方法大大提高了工作效率，且只要已知兩齒輪的角位移關系，即可由一齒輪齒廓生成另一齒輪齒廓。得到的兩個齒輪齒廓如圖7所示。

圖7　齒輪齒廓圖

5　齒輪的加工與試驗

利用虛擬仿真軟件ADAMS對齒輪進行齒輪運動學仿真，檢查齒輪的嚙合和干涉情況。圖8所示為三維仿真圖。設計齒輪試驗平臺[15]，利用線切割加工齒輪，小電機帶動主動齒輪運轉，實物裝配如圖9所示。試驗結果顯示，齒輪嚙合良好，無明顯振動，運轉平穩。在從動齒輪表面作一個標記點，連接圓心和標記點構成標記線，利用高速攝像機拍攝齒輪嚙合傳動視頻，并進行圖片處理，得到從動齒輪角位移，主動齒輪角位移由電動機轉速確定，計算其傳動比。

圖8　非圓齒輪機構三維仿真圖

圖9　實物裝配圖

利用ADAMS軟件仿真得到的傳動比和通過高速攝像機測試得到的傳動比曲線對比圖如圖10所示。與仿真傳動比相比，試驗得到的傳動比除了在110°～160°之間和290°～320°之間有微小的誤差外，其他部分都幾乎一致。這些誤差可能來自齒輪運轉的慣性、電機轉速不均勻等客觀因素，還有可能來自高速攝像機拍攝角度不垂直、測量角位移不準確等主觀因素。通過試驗可以發現這種具有二次不等幅傳動比的非圓齒輪能夠很好地嚙合，傳動平穩，能夠持續，周期性地輸出變化的傳動比。

圖10　傳動比曲線對比圖

6　總結

(1)提出了一種具有二次不等幅的傳動比函數，設計了具有內凹特征的非圓齒輪節曲線，在一個周期內，能實現二次不等幅傳動。

(2)提出了一種針對特殊非圓齒輪的齒廓生成方法，根據傳動要求設計主動齒輪齒廓，再根據傳動特性，結合Pro/E軟件，設計從動齒輪齒廓生成方法，且該設計方法適用于一般的特殊非圓齒輪傳動。

(3)通過分析比較理論計算與試驗所得的傳動比，驗證了該特殊非圓齒輪設計方法的可行性。

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(編輯盧湘帆)

DesignofaConjugateConcave-ConvexNon-circularGearMechanism

YuGaohong1，2YuJiaping1，2TongJunhua1，2YeBingliang1，2ZhengShiyong1，2

1.ZhejiangSci-TechUniversity，Hangzhou,310018 2.ZhejiangProvinceKeyLaboratoryofTransplantingEquipmentandTechnology,Hangzhou，310018

Inordertodesignaconcave-convexnon-circulargearmechanismwithtwo-unequal-amplitudetransmissionratiofunction,thedrivinggeartoothprofilewasdesignedbyusingthesoftwareofself-developed,whilethecurveoftheconcavepartwasoptimizedbyusingCADsoftware.Anewmethodoftoothprofilegenerationwasproposed.Pro/Esoftwarewasutilizedimitatinggeneratingmethodtogeneratetoothprofile,usingthedrivinggearastoolgearandthedrivengearasgearblank.Virtualsimulationswerecarriedout,andthetheoreticalvalueofgeartransmissionratiowasextracted.Thetestsofgeartransmissionwerecompleted.Theexperimentalvalueofgeartransmissionratiowasmeasuredbyusinghigh-speeddigitalvideocamera.Theresultsshowthatthevaluesofthetwogroupsarebasicallythesame.Thecorrectnessoftheconcave-convexnon-circulargearinmeshingandtransmission,andthefeasibilityofthiskindofspecialnon-circulargearmechanismareverified.

non-circulargear;two-unequal-amplitude;concave-convex;toothprofiledesign

2016-03-28

國家自然科學基金資助項目(51505429,51575495)；浙江省自然科學基金資助重點項目(LZ16E050003)；浙江省自然科學基金資助項目(LY15E050025)

TH132.424

10.3969/j.issn.1004-132X.2016.16.005

俞高紅，男，1975年生。浙江理工大學機械與自動控制學院教授。主要研究方向為農業機械、機械優化設計和機構運動學與動力學。獲中國專利31項。出版專著1部，發表論文50余篇。虞佳萍，女，1991年生。浙江理工大學機械與自動控制學院碩士研究生。童俊華，男，1984年生。浙江理工大學機械與自動控制學院助理研究員。葉秉良，男，1972年生。浙江理工大學機械與自動控制學院教授。鄭士永，男，1990年生。浙江理工大學機械與自動控制學院碩士研究生。