淺談中職數(shù)學中用數(shù)形結合求概率

曾欽

【摘要】隨著中職教學改革不斷深入，尤其在中職數(shù)學的教育方面，本著適宜為主、夠用為度的教學原則調整了相應的教學方式和教學任務，特別是在概率教學方面采用了數(shù)形結合的教學方式來加強學生對概率的理解能力和解算能力，對中職學生提高數(shù)學的學習熱情有著非常重要的積極作用。本文對數(shù)形結合思想的優(yōu)點進行了一定的分析，同時對數(shù)形結合方法應用于概率教學的具體情況進行了針對性闡述。

【關鍵詞】中職數(shù)學 數(shù)形結合 概率

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）19-0086-02

1.前言

長期以來，如何提高我國中職數(shù)學教學質量一直是中職數(shù)學教師關注的問題，在中職數(shù)學的實際教學過程中囊括了諸多解題思想，主要包含了歸化思想、分類討論思想、數(shù)形結合思想等，其中，數(shù)形結合思想由于具有一定的形象性、直觀性等特點，被廣泛應用于抽象化的教學內(nèi)容中。

2.數(shù)形結合思想的優(yōu)點分析

第一，具備一定的變通性。數(shù)形結合實質上就是數(shù)與行相結合靈活運用于實際數(shù)學教學過程中，特別是具有一定難度的函數(shù)問題、幾何問題以及概率問題，數(shù)與形之間的靈活轉變改變了以往數(shù)學解題枯燥單調的缺點，使得解題過程更富有趣味性，提高了學生的解題興趣。

第二，具備一定的簡化性。在實際解題過程中，通過適宜地運用數(shù)形結合思想能夠有效地將復雜題型簡單化，促使抽象問題具體化，這對減少解題難度，提高學生解題效率有著至關重要的積極作用。

第三，具備一定的發(fā)散性。數(shù)形結合思想從表層來看，是數(shù)與形的有效結合，但從更深層面來看，實質體現(xiàn)了思維上的邏輯與形象的有效結合，在思維方面有著一定的發(fā)散性，在數(shù)形結合的實際運用中，能夠很好地增強學生自身發(fā)散性思維的有效發(fā)展。

3.數(shù)形結合思想在概率教學中的應用

概率作為中職數(shù)學的主體內(nèi)容之一，與現(xiàn)實生活的關系極為密切，但其內(nèi)容抽象，不容易理解，特別是對于初學者來說很難掌握。如果將數(shù)形結合思想適當?shù)貞玫礁怕手校墒箯碗s的問題簡單化，輕松地解決問題。

3.1平面直角坐標系在求解概率問題上的應用

通常情況下，對于幾何概型來說，可以將平面直角坐標系作為輔助手段來求解概率問題。具體表現(xiàn)如下：

例1：在長度為1的線段上任意取非端點的兩點，將線段分成三段，求這三段線能夠構成一個三角形的概率？

分析：假設其中任意兩段線的長度為a、b，第三段線的長度為1-（a+b），由題意得0

解：設其中任意兩段線的長度為a、b，第三段線的長度為1-（a+b），由題意可得0

例2：甲、乙兩人打算于19時到20時之間在學校門口見面，同時約定好先到的一方要等候對方15分鐘，若15分鐘過后對方還沒來就可以離開，則兩人能夠碰面的概率是多少？

解析：以x軸和y軸分別表示甲、乙兩人到達學校所需的時間，則兩人能夠碰面的充要條件是|x-y|≤15，如圖2所示。（x，y）存在的全部可能結果由圖2中所示的邊長為60的正方形區(qū)域表示，能夠碰面的時間由圖2中的陰影部分表示， 將“兩人能碰面”標記為事件A，所以，兩人見面的概率P（A）= = 。

通常情況下，兩個符合條件的獨立事件若能夠采用二元關系式來表達，則這一類的概率題大部分能夠采用此方法，那就是以兩個獨立事件的結果當作平面直角坐標系的橫縱坐標， 兩個獨立事件滿足的條件如能用二元關系式來表達， 發(fā)生的概率大多能用類似的方法， 即用兩個獨立事件的結果（ 數(shù)字） 分別作為坐標系的橫、縱坐標， 其坐標上的點所構成的有序數(shù)對所標記的點對應整個事件結果的所有可能，標出可能區(qū)域及滿足某條件區(qū)域，因為全部結果都是等可能發(fā)生的，所以所求概率即是區(qū)域間的量比值。

3.2樹形圖在求解概率問題上的應用

一般來說，針對超過兩步的隨機事件發(fā)生概率，采用樹形圖來求解事件的發(fā)生概率。畫樹形圖的重點在于層數(shù)的確定以及每層分叉?zhèn)€數(shù)的確定。具體表現(xiàn)如下：

例3：用紅、黃、藍三種不同顏色給3個矩形隨機涂色，每個矩形只涂一種顏色，分別求三個矩形顏色均相同和顏色均不同時的概率。

解析：由樹形圖（用R，Y，G分別代表三種不同的顏色）知：

在該題中共有27個基本事件，由于對3個矩形進行涂顏色時，顏色是隨機選擇的，因此27個基本事件是等可能事件。

（1）將“3個矩形顏色均相同”標記為事件A。由圖3可知，事件A中含有的基本事件有3個，故P（A）= = 。

（2）將“3個矩形顏色均不同”標記為事件B。由圖3知，事件B中含有的基本事件有6個，故P（B） = 。

例4：三人傳球游戲，每人均等可能地傳給另兩人，不存在自傳現(xiàn)象，如果按照A發(fā)球開始算，求經(jīng)過4次傳球后回到A中的概率？

分析：由于這是一個實際生活問題，若僅憑單純想象，一般解題是沒有頭緒的，所以要借助形象的樹形圖來輔助思考和解題。

解：將三人分別標記為A、B、C，因此4次傳球全部可能可采取樹形圖一一列出，如圖4所示。每個分支表示一種傳球方案，基本事件一共為16，4次傳球后回到A中的事件數(shù)為6，因此P= = 。

由上述例題可知，以樹形圖作輔助手段來促使具有一定復雜性、難度的概率問題簡易化，提高學生對概率題的整體理解能力，實現(xiàn)有效解題的目的。當然，值得注意的是，學生在解題過程中要按照題目所給的條件和數(shù)據(jù)正確畫出樹形圖，接著根據(jù)樹形圖的直觀形象性解題，給予嚴謹?shù)耐评磉^程。

3.3韋恩圖在求解概率問題上的應用

對于概率論而言，隨機試驗在一定程度上是一個集合，基本事件與集合中的子集一一對應。所以，可采用集合論中的部分記號、術語來表述基本事件之間的運算關系，比如韋恩圖。對基本事件相關概率問題也可采用韋恩圖來輔助理解，從而將抽象問題具體化、復雜問題簡易化。

例5：任意安排甲、乙、丙三人在3天假日中輪流值班一天，求甲排在乙之前的概率？

解析：由題意知，甲、乙、丙三人在3天假日中的值班順序數(shù)即為3個不同的元素在3個不同位置上的排列數(shù)共有A 種，具體表現(xiàn)如圖5的韋恩圖所示。

在以上6種事件結果中，甲排在乙之前的事件結果有3種，故其概率為P= = 。

4.結語

數(shù)形結合方法實質上就是以解決實際數(shù)學教學和解題過程中出現(xiàn)的抽象難題為目的，以相應的準確性為原則，將數(shù)與形相結合并靈活運用于實際數(shù)學教學和解題過程中。一方面，數(shù)與形之間的靈活轉變改變了以往數(shù)學解題枯燥單調的缺點，促使抽象化的問題具體化、復雜化的問題簡易化，提高學生解題的熱情。另一方面，數(shù)形結合充分發(fā)揮了數(shù)和形的雙重優(yōu)越性，且以數(shù)形結合方式作為解題的輔助手段，利用其思想的變通性、簡化性、發(fā)散性等特點來解決具有一定難度的、復雜的、抽象化的數(shù)學問題，特別是概率問題，這對于增強學生的解題能力、提高學生的解題效率以及促進學生發(fā)散性思維全面發(fā)展有著至關重要的積極影響。

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