利用信息技術研究曲線的切線在函數中的應用

黃樣球

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）19-0035-01

函數的思維是一種動態思維，函數的性質是中學數學的重點、難點所在，大多數學生在接受、理解和運用等環節都存在較大的困難。導數是一種工具，是研究函數性質的工具，能熟練掌握好導數的知識，并能應用到解決相關函數問題，會使得求解過程便捷、容易理解。對于導數模塊知識中，導數的幾何意義是其中一個重要的知識點。在曲線某點處的導數的幾何意義是經過該點的曲線的切線的斜率，用式子表達為k=f'（x0）（其中k為切線的斜率，（x0，y0）為曲線上某一點），同時導數也是反映曲線在某一點處的變化速度的快慢。因函數是一個變化的動態過程，所以其導數也是一個變化的動態過程，通過運用信息技術可以把這種動態的變化過程進行直觀化，把這個過程直接呈現在學生的面前，方便學生進行直觀理解和應用。

導數是求解函數問題的一種工具，能靈活掌握和應用，可大幅提高解題的速度。結合在曲線某點處的導數的幾何意義，涉及到曲線的切線問題，基本是優先考慮從導數入手思考解決問題的方法。根據函數的動態變化的本質特征，運用信息技術的手段，把抽象的理論問題轉化為直觀的圖像進行理解，從而幫助我們更好地解決問題。因為導數與切線的內在聯系，通過下面三個特例來分析如何利用信息技術來研究曲線的切線在解決相關函數問題中的應用。

例1、已知函數f（x）=-x2+2x，x≤0ln（x+1），x>0，若f（x）≥ax，則a的取值范圍是：

A、（-∞，0] B、（-∞，1] C、[-2，1] D、[-2，0]

分析：已知函數為分段函數，且在函數中不帶有參數故函數的圖像是固定的，因而審題后，作出函數f（x）的圖像，從而得到函數y=f（x）的圖像。要求解問題，必需要研究過原點的直線y=ax與函數y=f（x）的位置關系，并滿足y=f（x）的圖像始終在直線y=ax圖像的上方，最多出現相切。對于直線y=ax中的參數a為直線的斜率，故問題可轉化為過原點且與函數y=f（x）相切的問題，然后利用導數的幾何意義求得函數y=f（x）在原點處的切線方程為l2：y=-2x。直線y=ax是過原點的直線束，利用信息技術把直線y=-2x繞原點旋轉，當旋轉到l1、l2時都不滿足題意，因而得到a的取值范圍為[-2，0]，故答案為D。

例2、設點P在曲線y=2ex上，點Q在曲線y=ln x-ln2上，則PQ的最小值為：

分析：根據已知條件作出函數y=2ex和y=ln x-ln2的圖像，易知兩個函數是互為反函數，圖像關于直線y=x對稱。問題可轉化為一條曲線上的點到直線y=x的距離的最小值的2倍為所求。利用信息技術把直線y=x平移到直線l的位置且與曲線y=ln x-ln2相切，設切點（x0，y0），由導數的幾何意義可知，k=f'（x0）==1，所以得x0=1，y0=ln 1-ln 2=-ln 2，所以PQ的最小值為2× 1+ln2）。答案為D。

例3、已知函數f（x）=x2+x+a，x<0ln x，x>0，若函數f（x）的圖像在P、Q兩點處的切線重合，則常數a的取值范圍為：

A、（-2，-1） B、（1，2） C、（-ln2，+∞） D、（-1，+∞）

分析：根據已知條件作出函數f（x）=ln x的圖像，并知函數f（x）=x2+x+a當x=0時，y=a因為函數f（x）=ln x為單調增函數，在點（1，0）處的切線方程為y=x-1，其與y軸交點為（-1，0）。

當a=-1時，直線y=x-1與曲線f（x）=x2+x+a（x<0）沒有交點。利用信息技術手段展示f（x）=x2+x+a（x<0）往上平移的過程，同時函數f（x）=ln x的切線也變化。但要滿足切線與f（x）=x2+x+a（x<0）有一個交點。當f（x）=x2+x+a（x<0）往上平移的過程中，始終存在函數f（x）=ln x的切線與它有一個交點，因而滿足題意的a的范圍為（-1，+∞）。答案為D。

曲線的切線是反映函數在某點處的變化速度的快慢，是研究函數變化的一種工具。函數的動態變化可以通過其切線變化來體現，變化的過程可通過信息技術手段呈現，可以直觀展示其變化過程，從而方便對結論的理解，達到事半功倍的效果。在應用切線來解決問題的時候要充分理解下面三個知識點：

（1）對導數的幾何意義的充分理解及靈活掌握。

（2）能準確求出在曲線某點（x0，y0）處的切線方程。

（3）能準確求出過某點（a，b）的曲線的切線方程。

信息技術能把動態的變化過程直觀展示，使理論變成直觀，對信息技術的靈活使用，能豐富我們的課堂教學，同時也能讓我們的學生對知識的理解變得更容易、更直觀，課堂的教學效果更顯著。