層狀雙周期結構聲子晶體帶隙特性研究

祁鵬山，杜軍，姜久龍，董亞科，張佳龍

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層狀雙周期結構聲子晶體帶隙特性研究

祁鵬山，杜軍，姜久龍，董亞科，張佳龍

(空軍工程大學航空航天工程學院，陜西西安710038)

設計了一種層狀五組元雙周期結構聲子晶體，并將其等效為一維聲子晶體，采用傳遞矩陣法推導出了該結構的能帶結構；在該帶隙范圍內彈性波或聲波的傳播能夠得到有效抑制，實現對噪聲的控制。同時，分析了取消內部周期以后第一帶隙的變化以及改變硅橡膠層厚度對第一帶隙的影響。結果表明，該結構與簡單二元結構相比，在降低帶隙頻率的同時有效減輕了結構質量，且“內部周期”主要影響帶隙寬度；當增加硅橡膠層的厚度時，帶隙頻率進一步降低。

聲子晶體；雙周期；噪聲控制；傳遞矩陣法；有限元

0 引言

近年來，在天然晶體中電子能帶理論的啟發下，人們對周期復合材料或結構中經典波傳播進行了深入研究。聲子晶體(Phononic Crystals)是由兩種或兩種以上材料組成的周期性復合材料或結構。這些材料或結構對經典波有良好的帶通和帶阻特性。如何利用周期結構中的帶阻特性進行噪聲和振動的控制，特別是低頻帶隙的獲取，也已成為一個研究的熱點與難點[1-5]。

一維聲子晶體由于其結構簡單而且易于獲得較寬的帶隙，因此有可能在減振降噪等領域得到廣泛的應用。目前，關于聲子晶體新型結構的設計也是一個研究的熱門領域。對于一維二組元聲子晶體的研究相對比較成熟，在帶隙計算方法領域，文獻[6-7]分別采用集中質量法和傳遞矩陣法計算得到了二組元結構帶隙，并分析了帶隙的影響因素；文獻[8]發展了一種基于小波的帶隙計算方法，該方法與傳統平面波展開法相比，在得到同樣精度的條件下，顯著降低了計算量，提高了計算速度；文獻[9]提出了一種基于移動最小二乘的無網格方法用于計算聲子晶體帶隙；另外，利用成熟的有限元分析軟件對聲子晶體帶隙進行計算也是一種可取的方法[10-11]。在結構設計領域，文獻[12]在二元結構基礎上將層狀結構聲子晶體的原胞設計為三組元結構，得到了較低的帶隙頻率；文獻[13]在一維二組元結構聲子晶體的散射體兩側引入添加層，構成一維四組元結構，在得到低頻帶隙的同時有效降低了結構的整體密度；文獻[14]將兩種二元結構的聲子晶體復合，得到的復合結構兼顧二者的性能特點，該結構有效拓寬了帶隙寬度。文獻[15]在二組元結構的基礎上設計了一種具有嵌套結構的一維聲子晶體結構，得到了巨帶隙以及局域模。可見，對一維聲子晶體原胞結構的研究已有了很多成果，但大都是考慮了單一周期性。由于周期性結構是Bragg散射型聲子晶體的核心要素，本文在傳統層狀結構聲子晶體的基礎上引入“內部周期”，設計了層狀雙周期結構聲子晶體，利用傳遞矩陣法得到其帶隙。同時，分析了取消內部周期以后第一帶隙的變化以及改變硅橡膠層厚度對第一帶隙的影響。

1 層狀五組元雙周期結構理論建模

如圖1所示是一種由三種材料按結構沿方向排列的層狀五組元雙周期結構聲子晶體的一個元胞。將“”稱為一個外部周期，相應的將“”稱為一個內部周期，每個外部周期內包含兩個內部周期。其中，為晶格常數，為各組元的厚度。

若層狀結構的非周期方向(方向)尺寸遠大于周期方向(方向)尺寸，則該結構可視為一維聲子晶體結構[5]。

下面采用傳遞矩陣法推導該結構聲子晶體的色散關系。

聲子晶體中彈性波運動方程為[1,4,10]：

考慮簡諧平面波的情況，可設

其中，為角頻率。

聯立(1)、式(2)得：

求解該微分方程，得其通式為：

(4)

將式(5)表示成矩陣形式為

(6)

(7)

將式(7)表示成矩陣形式：

其中，、分別表示系數矩陣。聯立式(6)、(8)可得第個元胞與第-1個元胞之間的關系：

(9)

由于方向的周期性，利用布洛赫定理可以得到：

其中，為標量形式的一維布洛赫波矢。

聯立式(9)、(10)可得到標準的矩陣特征值問題：

其中，I為2×2單位矩陣。

通過求解矩陣的特征值，即可得到波矢與頻率之間的色散關系：

2 仿真結果及分析

針對層狀五組元雙周期結構，分析其與簡單二元結構第一帶隙的差異、取消內部周期以后第一帶隙的變化，以及改變硅橡膠層的厚度對第一帶隙的影響。

2.1 與簡單二元結構的比較

兩種結構的晶格常數都為4 cm，為使比較更具合理性，簡單二元結構由“”構成，各組分厚度均為2 cm。雙周期結構的各組分厚度均為8 mm。選取材料參數如表1所示。

表1 材料參數

圖2、圖3分別為簡單二元結構和雙周期結構的能帶圖。由圖可得，二元結構第一帶隙下邊界頻率為90.04 kHz，上邊界頻率為377.6 kHz，帶寬為287.56 kHz；雙周期結構第一帶隙下邊界頻率為1.438 kHz，上邊界頻率為9.013 kHz，帶寬為7.575 kHz；在該頻率范圍內，彈性波將不會在該結構中傳播。

與二元結構相比，雙周期結構在晶格常數不變的情況下，第一帶隙下降到1.438~9.013 kHz，這對于實際應用有了很明顯的幫助，同時由于金屬組分的減小，增加了密度相對較小的硅橡膠，一方面減小了制造成本，另一方面降低了材料的整體密度。通過計算，相同尺寸的兩種結構，雙周期結構的質量降低了14.87%。

2.2 取消內部周期以后第一帶隙的變化

為更好地反映“雙周期”對帶隙的影響，將層狀五組元結構改變為“”結構，從而取消了內部周期。保持晶格常數不變，且各組分厚度均為8 mm。能帶結構如圖4所示，第一帶隙頻率為1.394~1.476 kHz,帶寬僅為0.082 kHz，第一帶隙上、下邊界頻率均向低頻方向移動。但下邊界頻率移動幅度很小，上邊界頻率下降較多，帶寬明顯減小。

與雙周期結構相比，內部周期對帶隙下邊界影響較小，主要對帶隙上邊界存在較為明顯的作用，體現為帶寬的減小。

2.3 硅橡膠層厚度對帶隙的影響

根據雙周期結構的色散關系，研究硅橡膠層的厚度變化對第一帶隙的影響。令硅橡膠層厚度從8 mm增加至20 mm，其他各組元厚度比保持1∶1。具體結果見表2及圖5。

表2 硅橡膠層厚度變化對第一帶隙的影響

由表2及圖5可得，當硅橡膠層的厚度增加時，第一帶隙上、下邊界頻率都向低頻方向移動，但是上邊界頻率下降速度較快，因此帶寬也變窄。

3 結論

(1) 層狀五組元雙周期結構在晶格常數保持不變的前提下，能夠有效減低第一帶隙的頻率，而且相同尺寸的該結構質量明顯降低。

(2) 取消該結構的內部周期后，發現第一帶隙下邊界頻率略降低，上邊界頻率降低較為明顯，帶隙寬度大幅度變窄，說明雙周期結構主要對一維層狀結構聲子晶體的帶寬產生作用。

(3) 增加硅橡膠層的厚度，第一帶隙上、下邊界頻率均減小，帶寬也變窄。通過適當調整各組分參數，能夠獲得合適的帶隙范圍。

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Band gap characteristics of the layered phononic crystal with double-cycle structure

QI Peng-shan, DU Jun, JIANG Jiu-long, DONG Ya-ke, ZHANG Jia-long

(Aeronautics and Astronautics Engineering College, Air Force Engineering University, Xi’an 710038,Shaanxi,China)

A layered phononic crystal structure with five elements and double cycle is designed, and it is simplified to a one-dimensional phononic crystal. Then, the band structure is derived by using transfer matrix method. The elastic wave or sound wave propagation can be effectively suppressed within the range of the band gaps and the noise control can be achieved. Meantime, the first bad gap is changed when the internal cycle is cancelled and the effect of rubber layer thickness on the width of first band gap is analyzed. The results show that this structure can get lower band gap frequency and lower structure mass compared with the simple two element structure, and the internal cycle mainly affects the band gap width. With the thickness of rubber layer increases, the band gap frequency is reduced further.

phononic crystal; double cycle; noise control; transfer matrix method; finite element

TB53 TH113.1

A

1000-3630(2016)-04-0303-05

10.16300/j.cnki.1000-3630.2016.04.004

2015-10-20;

2016-01-25

祁鵬山(1992－), 男, 甘肅武威人, 碩士研究生, 主要研究方向為聲子晶體減振降噪。

祁鵬山, E-mail: qipengshan@126.com