一階常微分方程的奇解和包絡的研究

徐麗君，廖永志（攀枝花學院 數學與計算機學院，四川 攀枝花 617000）

一階常微分方程的奇解和包絡的研究

徐麗君，廖永志
（攀枝花學院 數學與計算機學院，四川 攀枝花 617000）

微分方程F（x，y，y'）=0的奇解與包絡等概念比較抽象，關系復雜，難以理解。利用包絡和奇解的定義及有關定理，通過具體實例，用不同的方法研究方程F（x，y，y'）=0的奇解與包絡，研究求曲線的奇解與包絡的方法，討論解的唯一性是如何被破壞的。

常微分方程，奇解，包絡，通解

0　引言

常微分方程在很多學科領域內有著重要的應用，自動控制、各種電子學裝置的設計、彈道的計算、飛機和導彈飛行的穩定性的研究、化學反應過程穩定性的研究等。這些問題都可以化為求常微分方程的解，或者化為研究解的性質的問題。常微分方程理論的應用已經滲透到經濟、生物、工程各領域，關于方程解的存在性，解的唯一性被破壞的奇解和包絡，初學者容易把這兩個概念混淆。本文將以實例為主，重點分析這兩個概念的內涵及其相互關系，希望能夠降低教學難度，讀者學習的難度。

1　奇解和包絡的定義和定理

下面給出一階常微分方程奇解和包絡的定義，以及顯示他們之間的關系定理，這是后面部分必須用的。定義1［1］：設Γ：y=φ（x）（x∈J）是一階微分方程的一特解。如果對，在Q點的任何領域內方程（1.1）有一個不同于Γ的解在Q點與Γ相切，即解的唯一性被破壞，則稱Γ是微分方程（1.1）的奇解。

定義2［1］：設在曲線族

Γ是平面上一條連續可微的曲線，如果對于任一點M∈Γ，都有一條曲線族（2）中的某一條曲線K （C*）通過M點并在該點與Γ相切，而且K（C*）在M點的某一領域內不同于Γ，則稱曲線Γ為曲線族（2）的一支包絡。

對x∈J成立，則y=φ（x）是微分方程（1）的奇解。

定理2［1］：設微分方程F（x，y，y'）=0有通積分U （x，y，y'）=0，又設（積分）曲線族有包絡為Γ：y=φ （x）（x∈J），則包絡y=φ（x）（x∈J）是微分方程（1）的奇解。

定理3［1］：設Γ是曲線族（2）的一支包絡，則它滿足如下的C-判別式或消去C，得到與之等價關系式：Ω（x，y）=0。

2　兩個概念及其關系

由奇解與包絡的定義顯然可以知道，微分方程的積分曲線族（即通積分所對應的曲線族）的包絡，如果存在，則由定理2知必定是方程的奇解，但奇解不一定是包絡［2］。

3　求奇解的方法

（1）它首先是方程的解；（2）其上點的唯一性被破壞［3］。

3.1定義法

利用Lipschitz條件檢驗解的存在與唯一性是比較費事的。然而，我們加強條件，即如果函數f（x，y）在閉矩形域R上關于y的偏導數fy'（x，y）存在并有界，則Lipschit條件同樣成立，由此可以檢驗解的存在與唯一性。相反，找出方程不滿足唯一條件的點的集合H（），只需fy（x，y）無界，也就是求使fy（x，y）為正負無窮的函數y=φ（x）（要求f（x，y）連續），再驗證它是否是奇解或者是否包含有奇解即可［3］。

例2：判斷下列方程是否存在奇解？

3.2拾遺法

指在求方程解的過程中，兩邊約去的相同因式或者求解變形過程作分母的式子，容易被遺漏［4］。如果令其為零，所得到的結果可能是奇解。

方程的通解是y=sin（x+C）。

此外還有y=±1也是方程的解，顯然解y=1 和y=-1所對應的積分曲線上每一點，解的唯一性均被破壞。所以y=±1是原方程的奇解。

3.3p-判別法

（2）把p-判別曲線Φ（x，y）=0代入方程F（x，y，y'）=0，驗證是否為方程的解。

（3）若是方程的解，則據定理3驗證該分支是不是方程的奇解［1］。

所以y=±3x是原微分方程的奇解。

3.4C-判別法

設微分方程F（x，y，y'）=0的通積分V（x，y，C）=0。

（2）把C-判別曲線代入方程F（x，y，y'）=0，驗證是否為方程的解。

（3）若是方程的解，則據定理3與定理4驗證是不是方程的包絡。如果是，則一定是奇解［1］。

解：用參數法求微分方程的解。

對Λ1而言，因為，所以Λ1是通解的包絡。

對Λ2而言，因為，所以Λ2不是通解的包絡。

4　求包絡的一般方法

4.1定義法

利用定義2對某些微分方程，求其積分曲線族的包絡。

兩邊對x求導：

4.2C-判別法

設V（x，y，C）=0是微分方程F（x，y，y'）=0的通積分。

（2）用定理3與定理4驗證該分支是不是方程的包絡。

5　結語

微分方程F（x，y，y'）=0的奇解（若存在的話）是微分方程的通解的包絡，反之，微分方程F（x，y，y'）=0的通解的包絡（如果它存在的話）一定是奇解，因此為了求微分方程的奇解，可以先求出它的通解，然后再求通解的包絡。

［1］丁同仁，李承治.常微分方程教程［M］.北京.高等教育出版社，1991.

［2］王高雄，周之銘，朱恩銘，等.常微分方程［M］.北京.高等教育出版社，2001.

［3］東北師范大學微分方程教研室.常微分方程［M］.北京.高等教育出版社，2010.

［4］伍卓群，李勇.常微分方程［M］.北京.高等教育出版社，2003.

On the Singular Solution and Envelope of First-order Ordinary Differential Equations

XU Li-jun，LIAO Yong-zhi
（School of Mathematics and Computer Science，Panzhihua University，Panzhihua，Sichuan 617000，China）

The concepts of the singular solution and envelope of differential equations have always been quite abstract and complicated to understand.With the definitions and relevant theories of singular solution and envelope，as well as some examples，the present thesis purports to study the singular solution and envelope of equations，the ways of working out the singular solution and envelope of curves and to discuss how the uniqueness of solutions is broken in different ways.

ordinary differential equations；singular solution；envelope；general solution

O175.1

A

1673-1891（2016）02-0017-04

10.16104/j.issn.1673-1891.2016.02.005

2016-04-05

四川省教育廳自然科學基金項目“具依賴狀態脈沖的分數階邊值問題研究”（15ZB0419）；攀枝花市科技局社會發展基金項目“攀產道地藥材市場規律研究”（2015CY-S-14）。

徐麗君（1965—）女，四川眉山人，副教授，研究方向：微分方程。