滑窗式無偏多平臺無源定位算法

關　欣, 關　欣, 陶　李, 衣　曉

(1. 海軍航空工程學院電子信息工程系, 山東 煙臺 264001; 2. 海軍航空工程學院航空訓練基地, 山東 青島 266108)

?

滑窗式無偏多平臺無源定位算法

關欣1, 關欣1, 陶李2, 衣曉1

(1. 海軍航空工程學院電子信息工程系, 山東 煙臺 264001; 2. 海軍航空工程學院航空訓練基地, 山東 青島 266108)

針對純方位系統單機動平臺在不具有比機動目標更高一級的機動運動時,無法滿足系統可觀測性的問題,提出了一種適用于多平臺的無源定位算法。該算法根據目標與平臺之間的幾何關系得到一個包含目標初始位置和分量速度的偽線性方程組。為減少求解方程組的計算量,保證定位的實時性,對常規的最小二乘法進行了加滑窗處理。通過對觀測向量和系數矩陣的分析,證明了算法對目標狀態的估計具有無偏性。仿真實驗驗證了算法的有效性,并討論分析了平臺運動的速度和方向等因素對算法定位性能的影響,得到了保證算法定位性能的平臺與目標相對運動關系。

源定位; 純方位系統; 最小二乘法; 多機動平臺; 滑窗式

0　引　言

無源定位技術憑借其隱蔽性強、探測距離遠等優點在戰場上占據了重要地位。其中,僅依靠方位角信息進行測量的測向定位技術更是以其計算快、設備簡單的優勢成為無源定位技術研究的重點[1-3]。盡管被動雷達檢測到的目標信息中,方位角信息的可信度最高[4],但由于該技術無法直接獲得目標的距離信息,故其為一個不完全可觀測系統。對于單站系統來說,由于每觀測一次,除了自身的運動參數和位置信息外,只能得到一個方位角信息,信息量的不足使得平臺只有在具有比機動目標更高一級的運動時,才可以對目標定位[5-6]。而多觀測平臺對目標定位時,一次觀測中每個平臺均可以獲得一個方位角,通過不同方位線的交叉便可以確定目標位置,避免了單平臺定位可觀測性的局限性,成為無源定位的一個重要研究方向[7-8]。

測向定位本質上屬于非線性估計問題。其基本思路是將方位角信息和待測目標的未知參數轉換為偽線性方程組。由于系統是高度非線性的,并且初始條件的精度很難得到保證,故擴展卡爾曼濾波(extended Kalman filter, EKF)[9]算法很容易出現發散的情況。最小二乘誤差算法(least-squared error, LSE)[10-11]沒有消除偽線性方程組中的系數矩陣的誤差,導致其最后的估計是有偏的。雖然通過奇異值分解的方法,總體最小二乘估計(total least-squared, TLS)算法[12-16]解決了LS算法有偏估計的問題,但代價是運算量大、實時性差。

本文在LS算法的基礎上,提出了一種適用于多站測向定位的滑窗式最小二乘定位(sliding window least-squares, SWLS)算法。其基本思路為獲得目標與平臺相對關系的偽線性方程組,其解即為要求解的目標運動參數。與LS算法不同的是,SWLS算法通過滑窗方式獲取系數矩陣和觀測向量,并以遞推方式進行求解計算[17]。該算法在保證定位精度的同時,大幅減少了計算量,提高了定位速度。

1　定位原理

圖1所示為二維空間中平臺個數為2時,目標與平臺之間的相對關系。

圖1　平臺與目標之間的相對關系Fig.1　Relative relationship between platforms and target

多平臺情況與之類似,以多機動平臺為模型進行推導。顯然,可以得到

(1)式中,dik表示k時刻第i個平臺與目標T的相對距離；vik為其對應的單位矢量。

令k時刻的平臺位置為(xik,yik),其與目標的方位角為βik(i≥2),目標位置為(xTk,yTk),則有

(2)令目標作勻速直線運動,x方向和y方向的速度分別為vx和vy,初始位置為(xT0,yT0),k時刻目標位置為

(3)將式(3)代入到式(2)中,并將矩陣形式改寫成方程組,有

(4)整理式(4)并消去dik,可得

(5)將k時刻的累積測量記成矩陣形式Zk=HkXk

(6)式中,觀測向量Zk和系數矩陣Hk分別為

(7)

(8)狀態變量Xk為

(9)

2　算法模型

一般情況下采樣次數k>2,故觀測向量Zk是超正定矩陣,只能求解Hk的廣義逆矩陣。式(6)的最小二乘解為

SWLS算法通過滑窗方式使觀測向量Zk和系數矩陣Hk得到動態序貫更新,使它們的維數不隨觀測次數的增多而變大。這樣既不以定位精度的下降為代價,又保證了計算量的減少。

將滑窗部分的觀測向量和系數矩陣分別記為

(11)

(12)

記

(13)

則有

(14)

利用矩陣反演公式可得

(15)

式中,Ii表示i階單位矩陣,這樣Pk可由Pk-t遞推得到,由式(10)可知

(16)

將式(14)代入式(16),并化簡可得

(17)

這樣,Xk可由Xk-t遞推得到。

為考察本文算法的復雜度,同樣忽略式(17)中Pk的矩陣逆運算,此時SWLS算法的復雜度為O(t4)。而滑窗長度t為一常數,可根據實際情況對定位精度和定位時間的要求進行選擇。

若滑窗長度為t,起始點為l,算法具體流程如圖2所示。

圖2　滑窗式最小二乘定位算法流程圖Fig.2　Algorithm process diagram of sliding window least-square localization algorithm

可以看出l=k和t=1時,分別存在兩種極限情況,此時算法分別演變為LS算法和遞推式LS算法。

3　無偏性驗證

定理 1多站測向定位系統中,測量噪聲為獨立不相關的高斯白噪聲時,對目標初始位置和分量速度的估計是無偏的。

證明假定方位角在測量過程中含有微小誤差δβ,且δβ～(0,σ2),各平臺測量誤差獨立不相關。記方位角測量值β′=β+δβ,于是有

(18)

(19)

通過對式(7)求導可得

(20)

利用δβ≈?β和δ(Zk)≈?(Zk),有

(21)

同樣對式(8)求導可得

(22)

利用δβ≈?β和δ(Hk)≈?(Hk),同樣有

(23)

將式(17)、式(18)代入式(6)可得

(24)

式中,δx為定位算法的偏差。將式(24)展開,并忽略具有兩個微元因子的乘積項,可以得到

(25)

將式(20)、式(22)代入式(25),并結合式(3)整理可得δXk=0。

δx的協方差矩陣為

(26)

其中

(27)

dik為k時刻平臺i與目標之間的距離。

證畢

4　算法仿真

仿真環境:目標作勻速直線運動,運動速度為200m/s,運動方向與X軸正方向夾角為45°,起始點為(0,0)。平臺1和平臺2均以150m/s的速度作勻速直線運動,運動方向與X軸正方向夾角分別為50°和40°,起始點分別為(30 000,0)、(0,30 000)。方位角測量誤差服從零均值正態分布,測量周期為1s,連續觀測200點。進行100次蒙特卡羅實驗,算法定位精度以圓概率誤差(circularerrorprobability,CEP)作為度量,表示為

當篩選完音樂課程資源之后，教師就可以把音樂資料通過文本形式或制作成DVD、VCD儲存到資源庫中。而且，也可以將制作好的CD、音樂文本上傳，方便有需要的教師在局域網上查閱相關資料。在使用之后，教師也要盡量提出使用建議，以此來改進資源庫的構建，在最大程度上發揮音樂資源庫的作用。

(28)

仿真實驗 1不同算法定位精度比較。本文算法、TLS算法和EKF算法在測量誤差標準差σ為2°時的定位精度如圖3所示。

可以看出,由于線性化誤差較大,EKF算法并不收斂,本文算法的定位精度要優于TLS估計算法。

仿真實驗 2不同算法運算時間比較。在本文算法滑窗長度t取10的情況下,本文算法、LS算法和TLS算法的運算時間如圖4所示。

圖3　不同算法定位精度比較Fig.3　Positioning accuracy comparison on different algorithm

圖4　不同算法運算時間比較Fig.4　Operation time comparison on different algorithm

由仿真結果可知,觀測時間小于40s時,3種算法的定位時間相差不大,隨著觀測時間的增加,TLS算法的運算時間呈指數增長,本文算法和LS算法基本呈線性增長,且本文算法的運算時間明顯小于其他兩者,由此可見本文的計算效率要高于TLS算法和LS算法。

仿真實驗 3滑窗長度對算法定位性能的影響。在測量誤差標準差σ為3°,觀測時間為200s的情況下,滑窗長度對算法定位精度和運算時間的影響如圖5和圖6所示。

圖5　滑窗長度對定位精度的影響Fig.5　Influence of sliding window length on positioning accuracy

圖6　滑窗長度對運算時間的影響Fig.6　Influence of sliding window length on operation time

由仿真結果可以看出,滑窗長度越大,CEP的方差越小,運算時間越長。

圖7　遞推起始點對定位精度的影響Fig.7　Influence of recursive starting point on positioning accuracy

圖8　遞推起始點對運算時間的影響Fig.8　Influence of recursive starting point on operation time

由仿真結果可以看出,遞推起始點的改變對CEP的影響呈現不規則性。遞推起始越晚,運算時間越長。這是因為在遞推起始之前,方程組的解均是由LS算法求得。結合定位精度和運算時間來看,遞推起始應越早越好。

仿真實驗 5平臺與目標相對運動方向夾角對定位精度的影響。假設目標運動方向為y軸正半軸,初始位置為坐標軸原點,平臺1與平臺2運動方向與x正半軸的夾角分別為α1和α2,它們的取值范圍均在0°～180°,初始位置分別為(30 000,0)和(-30 000,0)。在觀測時間為200s時,算法得到的CEP如圖9所示,它們之間的交會角即α1-α2的值如圖10所示。

圖9　相對運動夾角對定位精度的影響Fig.9　Influence of relative motion angle on positioning accuracy

圖10　不同相對運動夾角時的交會角Fig.10　Cut angle of different relative motion angle

對比圖8和圖9可以看出,隨著交會角α1-α2的增大,算法的定位精度逐漸降低。當α1的取值在0°～80°,α2的取值在90°～160°,且它們之間的差值在30°～150°,定位精度最高。結合它們的幾何關系,此時平臺1和平臺2均是作遠離目標航向的直線運動。

仿真實驗 6不同平臺速度對定位性能影響。平臺速度v分別取150m/s、200m/s、250m/s時算法定位性能如圖11所示。

圖11　不同平臺速度下定位精度比較Fig.11　Positioning accuracy comparison on different movement speed of platforms

由仿真結果可以得出,平臺速度對算法定位精度影響不大。

5　結　論

(1) 基于LS算法改進的滑窗式LS算法具有無偏性。在多平臺測向定位系統中可以對目標進行高精度快速定位,不僅定位精度優于TLS算法和EKF算法,而且運算速度也要快于LS算法和TLS算法,在保證定位精度的前提下,可以大大減少定位時間。

(2) 滑窗長度越長定位精度越高,但運算量也隨之增大,遞推起始點的選擇對定位精度沒有明顯的影響,但遞推起始越晚,運算時間越長,在實際應用中,應結合實際情況選取滑窗長度和遞推起始點。

(3) 雙平臺情況下,兩個平臺均做遠離目標航向的直線運動時定位精度較高,它們之間的夾角越大,定位精度越高。

(4) 平臺運動速度對定位精度影響不大。

[1]GharehshiranON,KrishamurthyV.Coalitionformationforbearings-onlylocationinsensornetworks-acooperativegameapproach[J].IEEE Trans.on Signal Processing,2010,58(8):4322-4338.

[2]WangSS,FengJF,LiQ,etal.Locationalgorithmfornearspaceradarnetworkbasedonangleinformation[J].Journal of Air Force Engineering University,2012,13(1):33-36.(王燊燊,馮金富,李騫,等.基于角度信息的近空間雷達網定位算法[J].空軍工程大學學報, 2012, 13(1):33-36.)

[3]ZhangK,LiuY.Researchonpassivebearing-onlylocationalgorithmbasedonslowmovingtarget[J].Radar Science and Technology, 2014, 27(3):291-296. (張凱, 劉洋. 慢速目標僅測角無源定位算法研究[J].雷達科學與技術, 2014, 27(3):291-296.)

[4]WuSH,XinQ,WanJW.Observabilityanalysisofbearings-onlypassivelocationforsatellitetargetbyspacebornesingleobserver[J].Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2009, 30(1):104-108. (吳順華, 辛勤, 萬建偉. 對衛星目標的僅測角天基單站無源定位可觀測性分析[J].航空學報, 2009, 30(1):104-108.)

[5]DengY,HuXH,ZhangZZ,etal.Passivelocationaccuracyanalysisinbearing-onlyconstellationsystem[C]∥Proc.of the 3rd International Symposium on Systems and Control in Aeronautics and Astronautics, 2010: 1398-1402.

[6]HeY,GuanX,YiX.Researchontheun-observabilityproblemfortwodimensionaltrackingbasedonbearings-onlymeasurements[J].Systems Engineering and Electronics, 2003, 25(1):11-14. (何友, 關欣,衣曉. 純方位二維運動目標的不可觀測問題研究[J].系統工程與電子技術, 2003,25(1):11-14.)

[7]PoiselRA. Electronic warfare target location methods[M].London:ArtechHousePublishers, 2012: 147-189.

[8]XuZ,QuCW,WangCH.Performanceanalysisformultiplemovingobserverspassivelocalizationinthepresenceofsyste-maticerrors[J].Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2013, 34(3):629-635.(徐征,曲長文,王昌海.系統誤差條件下的多運動站無源定位性能分析[J].航空學報,2013,34(3):629-635.)

[9]GuoFC,SunZK,HanK.AmodifiedcovarianceextendedKalmanfilteringalgorithminpassivelocation[C]∥Proc.of the International Conference on Robotics, Intelligent System and Signal Processing,2003: 307-311.

[10]HeQY,ZhaoD.Algorithmofdirection-findinglocationonsingleairplanebasedonleastsquaremethod[J].Shipboard Electronic Countermeasure,2013,36(1):37-39.(何青益,趙地.基于最小二乘方法的單機測向定位算法[J].艦船電子對抗,2013,36(1):37-39.)

[11]MoCK,ChenSX,WuH,etal.Recursionleast-squarepassivelocationalgorithmbasedonangleinformation[J].Computer Measurement and Control,2014,22(9):2863-2866.(莫成坤,陳樹新,吳昊,等.基于角度信息的遞推最小二乘無源定位算法[J].計算機測量與控制,2014, 22(9):2863-2866.)

[12]WuH,ChenSX,ZhangHY,etal.Recursivetotalleastsquares-basedairbornesingle-observerpassivelocationalgorithm[J].Fire Control and Command Control, 2013, 38(6):19-22. (吳昊,陳樹新,張衡陽,等.基于總體遞推最小二乘的單站無源定位仿真分析[J].火力與指揮控制, 2013, 38(6):19-22.)

[13]AidalaVJ,NardoneSC.Biasedestimationpropertiesofthepseudo-lineartrackingfilter[J].IEEE Trans.on Aerospace and Electronic System, 1982, 18(4):432-441.

[14]HoKC,ChanYT.Anasymptoticallyunbiasedestimatorforbearings-onlytrackinganddoppler-bearingtargetmotionanalysis[J].IEEE Trans.on Signal Processing,2006,54(3):809-821.

[15]BertrandA,MoonenM.Consensus-baseddistributedtotalleastsquaresestimationinadhocwirelesssensornetworks[J].IEEE Trans.on Signal Processing, 2011, 59(5):2320-2330.

[17]GuanX,GuanX,TaoL,etal.Least-squarelocalizationalgorithmbasedonsingleplatforminslidingwindowway[J].Journal of China Academy of Electronics and Information technology,2015,10(5):557-562.(關欣,關欣,陶李,等.基于單機動平臺的滑窗式最小二乘定位算法[J].中國電子科學研究院學報,2015,10(5):557-562.)

Unbiased algorithm of multiple platform passive location based on sliding window

GUAN Xin1, GUAN Xin1, TAO Li2, YI Xiao1

(1.NavalAeronauticalEngineeringAcademy,DepartmentofElectronicandInformationEngineeringYantai264001,China; 2.NavalAeronauticalEngineeringAcademy,AviationTrainingbaseQingdao266108,China)

To solve the problem that a single mobile platform cannot satisfy the system observability if it does not have a higher level movement than maneuvering target under bearings-only system, a passive location algorithm which is suitable for multiple mobile platforms is proposed. The algorithm based on the geometric relationships between the targets and platforms can get a pseudo linear system of equations including the initial position and velocity of target. To reduce the amount of calculation for solving system of equations and ensure real-time positioning, deal with the conventional least square method is deal with sliding window way, and the solution of equations is further expressed as the recursive form. Through the analysis of the observation vector and matrix of the equations, the unbiasedness of the algorithm is proved. Simulations experiments verify the effectiveness of the algorithm, the affections of the factors of platform motion such as speed and direction on the position performance of algorithm are discussed, and the relationship between the target and platforms that can obtain the position performance is gotten.

passive location; bearings-only system; least-squared (LS); multiple mobile platforms; sliding window way

2015-06-29；

2015-11-25；網絡優先出版日期：2016-03-17。

教育部新世紀優秀人才支持計劃(NCET-11-0872)資助課題

TN 957; TP 274

A

10.3969/j.issn.1001-506X.2016.09.03

關欣(1978-),女,教授,博士,主要研究方向為智能信息處理、多源信息融合。

E-mail:gxtongwen@163.com關欣(1990-),通信作者,女,碩士研究生,主要研究方向為無源定位。

E-mail:378887027@qq.com

陶李(1989-),男,碩士,主要研究方向為多源信息融合。

E-mail:290180440@qq.com

衣曉(1975-),男,教授,博士,主要研究方向為無線傳感器網絡、多源信息融合。

E-mail:yxgx_gxyx@163.com

網絡優先出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2422.TN.20160317.1100.004.html