基于約束粒子群優化的導彈H∞-PID控制器設計*

張　民，應巧萍（南京航空航天大學自動化學院，南京　210016）

基于約束粒子群優化的導彈H∞-PID控制器設計*

張民，應巧萍
（南京航空航天大學自動化學院，南京210016）

傳統導彈的PID控制律設計僅考慮了幅值裕度、相位裕度等指標，無法滿足多變量魯棒性指標要求。文中提出了一種基于約束粒子群優化的導彈控制器設計方法，該方法以H∞魯棒性指標作為目標函數，自動優化得到控制參數。同時，對現有的粒子群算法進行了改進，采用映射函數法將約束優化問題轉化為非約束優化問題。以樣例導彈為對象設計了H∞-PID控制器并與罰函數法進行了比較，結果表明文中算法各項性能優于經典罰函數法。

導彈；PID；控制；粒子群；優化

0　引言

隨著對新一代導彈性能要求的提高，如何提高導彈在極限狀態下的穩定性成為突出的問題，因此控制器的魯棒性能正日益受到重視［1］。傳統導彈控制律設計仍然采用幅值裕度、相位裕度等魯棒性指標，而這些經典指標在導彈進入到某些極限狀態時對高度耦合系統魯棒性的反映是不足的［2］。目前迫切需要建立一種形式化的設計方法，采用基于現代魯棒控制理論的多變量指標對控制器的魯棒性進行評價。導彈PID控制律總的設計流程是在一定的控制結構上設計控制參數使得閉環系統滿足給定的指標。這一設計流程可以看作一個優化過程，通過該方法來設計導彈控制律是一條可行的思路。在各種優化算法中，由James Kennedy和Russell Eberhart在1995年共同提出的粒子群優化算法（PSO）［4］具有算法結構簡單、全局優化能力強等優點，近年來得到越來越多的重視。粒子群優化算法最初是作為一種非約束優化算法被提出的，在工程實踐中有相當多的應用屬于要求滿足一定約束條件的優化問題，為了使其能夠處理帶約束的優化問題，相繼提出了各種改進算法［5-6］。文中采用了一種簡便的映射函數方法，將約束優化問題轉化為非約束優化問題，并將其應用到樣例導彈的H∞-PID控制器的設計中。

1　問題描述

標準PID反饋控制系統結構見圖1所示。

圖中：r（t）為參考輸入；u（t）為控制輸入信號；y（t）為模型輸出信號；d（t）為外部干擾信號；w（t）為傳感器噪聲。P（s）=N（s）/D（s）為線性時不變系統模型，N（s）、D（s）為滿足互質的多項式，定義為：

且滿足n＜m。

圖1　標準PID控制結構

K（s）為帶一階低通濾波的標準PID控制器，定義為：

式中：kp為比例系數；ti為積分時間；td/N為低通濾波器時間常數，且kp、ti、td與N均為正實數。對由圖1定義的系統，其開環傳遞函數為L（s）=P（s）K（s）。依據混合靈敏度H∞控制的定義［1］，靈敏度函數和補靈敏度函數分別定義為：

魯棒性指標可以表示為：

式中：WS（s）和WT（s）分別為靈敏度權函數和補靈敏度權函數，這兩個函數由設計者依據對閉環系統魯棒穩定性和魯棒性能的要求來分別確定。

1）閉環控制系統內穩定；

2）滿足式（3）、式（4）所示的魯棒性指標。

2　導彈模型與控制結構

由樣例導彈縱向短周期擾動運動方程組出發，得到樣例導彈在5 km高度、50°攻角下的縱向線性狀態空間模型，其中狀態方程為：

輸出方程為：

式中：u、w分別為縱向和法向速度；α為攻角；q為俯仰角速率；az為法向加速度；δe為等效升降舵偏角。

以導彈縱向狀態模型為控制對象，導彈的PID控制器可以有各種形式，如姿態控制器、迎角控制器和過載控制器等，每種控制器依據控制對象本身的特性和控制需求還可以細分為更多的回路控制結構。不失一般性，文中以經典三回路駕駛儀縱向控制結構為例，如圖2所示。

圖2　俯仰通道控制結構

在圖2中，Az、Azm分別為法向過載輸出信號和法向過載給定信號。在俯仰通道中，3個回路分別為角速率阻尼回路、攻角增穩回路和過載控制回路，并在過載回路中采用積分校正以消除靜差。控制律的表達式為：

在導彈縱向H∞-PID控制器的設計過程中，就是要獲得控制參數ke1、ke2、ke3和ke4，使得導彈在實現控制穩定的同時滿足式（3）和式（4）所示的魯棒性指標。

3　粒子群優化算法

3.1標準PSO算法

PSO算法是一種基于群體進化的非線性優化算法，它依據鳥群在一定區域內搜索食物的原理，把每一個粒子作為一只鳥，使用多個粒子在搜索空間內依據粒子的個體行為和群體行為自動尋找目標函數f（x）：?n→?的最優解。粒子變量x∈?n，則搜索目標可以表示為［4］：

式中：c1為粒子個體認知加速常數，c2為群體認知加速常數，參數c1和c2分別代表了個體自身行為和群體行為對個體影響的大小為［0，1］之間的隨機數，代表了粒子的隨機行為代表了第i個粒子個體在當前進化代數下的最優值代表了整個粒子群體在當前進化代數下的最優值：i

ω為慣性系數，代表了粒子的運動慣性，按照運動慣性隨進化代數逐漸減小的原則，其表達式為：

式中：wmax和wmin分別為w的最大值與最小值；kmax為最大進化代數。

標準PSO算法包含如下執行步驟：

步驟1在搜索空間內隨機初始化每個粒子的位置并計算目標函數，分別確定

步驟3依據式（6）和式（7）調整粒子的位置和速度，確定當前進化代數的，設置進化代數k=k+1。

在步驟2中，算法的停止條件可以是目標函數f（x）達到期望的極值，也可以是達到預先設定的最大終止進化代數kmax。

3.2約束PSO算法

標準PSO算法是一種非約束優化算法，為了使其能解決實際存在的大量帶約束的優化問題，近年有很多改進算法相繼被提出，常見的如罰函數法、增廣拉格朗日法（ALPSO）等［6-7］。文中采取了一種更為簡便的方法將標準PSO算法改進為約束PSO算法。

帶多種約束條件的優化問題可以表示為［8］：

考慮H∞-PID控制器的設計，依據式（3）、式（4）在文中取目標函數為：

約束條件：

為了將上述約束優化問題簡便的轉化為非約束優化問題，在此建立目標函數f（x）的映射函數fv（x）：

由上式可見，fv（x）為負函數且滿足當f（xi）＜f（xj）時，總有fv（xi）＜fv（xj）。

采用映射函數的非約束優化問題則可以表示為：

在上述定義中，將fm（x）作為新的目標函數。顯然，若約束條件不滿足，則fm（x）的值大于等于0；當約束條件滿足時，fm（x）=fv（x）且為負；當fm（x）取得最優值時，原目標函數f（x）也取得最優值且滿足約束條件h（x）。

此種方法區別于其它方法的最大優勢在于它在把非約束優化問題轉化為約束優化問題的過程中并未引入新的變量，簡單實用，也不要求目標函數f（x）、約束條件函數h（x）滿足連續、可微、凸集等要求，是一種非常簡便易用的方法。

4　算例仿真與分析

在本算例中，以前述樣例導彈數學模型、控制結構為對象，采用約束粒子群優化算法來自動獲得控制器參數。

為保證控制器各項參數均為正值，縮小搜索空間的范圍，式（5）所示的控制器可以改寫為如下形式：

因此，待搜尋參數的范圍Δf可以表示為：

在采用H∞混合靈敏度設計方法時，權函數的選擇也是重要問題之一。靈敏度函數S（s）的幅值與閉環系統的指令跟蹤和抗干擾能力直接相關，而補靈敏度函數T（s）決定了系統的魯棒穩定性。相應的，權函數WS（s）和WT（s）應分別反映對這兩個函數的形狀要求。由于命令信號和干擾信號的頻率較低，因此在低頻段，在保證閉環系統魯棒穩定的前提下，S（s）幅值必須盡量小，即WS（s）的幅值應盡量大，以使系統取得良好的命令跟蹤能力和抗干擾能力；而系統的測量噪聲一般隨頻率的增大而增大，因此要求在高頻段T（s）幅值較小，即WT（s）的幅值應盡量大，以抑制測量噪聲的不利影響。綜合考慮上述因素，在本算例中靈敏度和補靈敏度權函數分別取為：

在樣例導彈的H∞-PID控制器的設計中，依據多輪仿真的經驗，PSO算法的參數可以取為：

粒子數量：80；

粒子維數：4；

粒子最大移動速度：Vmax，d=xmax，d/2；

學習因子：c1=2，c2=2；

慣性系數最大與最小值：Wmax=0.9，Wmin=0.4；

最大搜索代數：400；

終止條件：達到最大代數。

采用如式（8）和式（9）的性能指標函數和約束條件，最終獲得的控制參數如表1所示。

表1　控制參數值

法向過載響應見圖5所示。

圖3　靈敏度函數

圖4　補靈敏度函數

圖5　法向過載響應仿真結果

由圖5可見，樣例導彈具有良好的法向過載時域響應特性。

為了對該約束粒子群算法的收斂特性進行進一步的分析，將該算法以隨機初值設計H∞-PID控制器的過程重復100遍，全局最優值的收斂過程如圖6所示。

由圖6可見，該約束優化算法在設計導彈H∞-PID控制器中表現出良好的收斂特性，在100次試驗中，絕大多數試驗全局收斂代數在250代以內。與目前常見的罰函數法約束PSO算法［9］的比較結果如表2所示：

圖6　性能指標函數收斂性曲線

表2　試驗結果統計與比較

由表2可見，文中的約束PSO算法性能各項指標均優于參考文獻［9］中的罰函數法約束PSO算法。

5　結論

文中提出了一種基于約束粒子群優化的導彈H∞-PID控制器設計方法，針對樣例導彈的仿真表明：第一，所設計的導彈PID控制器在不違反約束的條件下能夠滿足H∞魯棒性指標；第二，多次仿真的統計結果表明文中提出的設計方法優于經典的罰函數法約束PSO算法。文中僅針對樣例導彈的俯仰通道設計了控制器。在建立了H∞-PID控制器設計方法的基礎上，將其推廣到導彈的三通道聯合設計是下一步值得研究的工作。

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H∞-PID Controller Design for Missile Autopilot Based on Constrained Particle Swarm Optimization

ZHANG Min，YING Qiaopin
（College of Automatic on Engineering，NUAA，Nanjing 210016，China）

Traditional design of missile’s PID control law only considers robust performances such as amplitude margin，phase margin and so on，which is unable to guarantee multivariate robustness index.In this paper，an easy-to-use method for controller design was presented based on constrained particle swarm optimization（PSO）algorithm.This method takes H∞robustness index as objective function and automatically obtains various parameters.The existing PSO algorithm has been improved by a mapping function，so a constrained optimization problem can be converted into an unconstrained one.Taking the sample missile as the plant，the H∞-PID controller was designed.Compared with penalty function algorithm，simulation results show that this method has better performance.

missile；PID；control；particle swarm；optimization

V448.12

A

10.15892/j.cnki.djzdxb.2016.01.001

2015-04-14

國家自然科學基金（61174197）資助

張民（1973-），男，江蘇南京人，副研究員，博士，研究方向：導航、制導與控制。