恒溫浴缸加水機制研究

王　強

恒溫浴缸加水機制研究

王強

（重慶交通大學，重慶400074）

為了確定在沒有輔助加熱系統浴缸中加熱水策略，文章通過對浴缸系統進行熱力學分析，建立了浴缸關于時空雙因素溫度場模型；根據浴缸內部各空間點傳熱特點，將浴缸注入熱水加熱過程簡化為點熱源加熱介質問題。利用能量守恒原理，根據傅立葉變換矢量法得出浴缸溫度場的分布情況，求得注水點溫度最高，邊緣溫度最低。然后基于浴缸溫度場，在忽略人為影響因素條件下建立初級單目標優化模型，確定浴缸水體維持在39～40℃范圍內注水流量最小值，結果表明當注水管流量為0.0028m2/s時可以達到預期目的。

能量守恒；傅立葉矢量變換；穩態熱傳導；優化

1　問題分析

為了研究恒溫浴缸加熱水機制，我們首先需要確定缸中水的熱量（溫度）分布，然后確定加水機制，以保證整個浴缸都接近初始溫度而不浪費過多的水。所以我們把問題分為兩部分：①建立依賴時間和空間的浴缸水溫度場模型；②建立優化模型為洗澡人提供最佳熱水控制策略。

2　基于時空依賴浴缸溫度場模型建立

（1）問題分析。熱水管注入水柱體積相對于浴缸體積來說較小，因此我們將加水維持水溫的過程簡化為點熱源加熱水浴過程。在不考慮熱輻射因素和人因素的條件下，浴缸水是均勻的，可假設加熱在半無限大均勻物體表面進行，利用傅立葉變換矢量法解出點熱源的溫度場。

（2）模型假設。①浴缸形狀為橢圓形；②忽略熱輻射造成的熱量損失；③注水管直徑遠小于浴缸尺寸；④水龍頭位置和溢水口位置一定。

（3）模型建立。在無限大導熱體內，設點熱源的發熱量Q0為在任意時刻t，任意地點P（x，y，z）處的升溫值χ，若熱傳導系數α為常量，溢出口散失熱量為Qe，并且溫度場初始狀態是場內處處溫度相等，熱源發熱后，溫場內的溫度分布必然對稱與熱源點。將坐標原點置于熱源點上，令，因溫度分布對稱于原點，于是升溫函數可記為θ（R，t）。按能量守恒法則可有：

式中：Cp為溫度場內物質的比熱容，ρ為物質的密度。

在三維直角坐標系中，建立非穩態熱傳導微分方程，若Cp，ρ與無關，將非穩態熱傳導微分方程式作傅立葉變換，解出溫度升高值：

可得出在其他因素的確定的情況下，浴缸中水的溫度分布情況如圖1所示。

由于模型建立在四維緯度上，可通過限定一些因素降低模型緯度而得到溫度場分布。如圖1通過限定其他參數值，得到在z=0.35m平面上，溫度分布情況。從圖中可以看出在此平面上，浴缸水溫分布在39～40℃之間，且注水口位置溫度最高，邊緣溫度最低，是一個漸變過程，且溫度關于注水點對稱分布。

圖1　溫度分布圖

圖2　溫度分布圖

同理可得到在y=0.1m平面上，溫度分布情況。如圖2所示。和圖1對比，雖然兩種情況考慮的切面方向不一樣，但溫度分布規律是一致的。

3　單目標優化模型建立

（1）問題分析。根據研究，人體到的舒適溫度范圍是39～40℃之間，因此假設人在進入浴缸是浴缸水的初始溫度在39～40℃之間，即問題在于保持浴缸水溫度在39～40℃之間。利用模型二中浴缸水溫度場模型，根據能量公式確定注水流量與注水熱量之間的關系：Q0=f0ρCpT0，Qe=feρCpTe。其中Q0表示單位時間熱水管注入浴缸所產生的能量，Qe表示單位時間溢水口流出水體算帶走的熱量，fe表示單位時間熱溢水口排放水的流量，f0表示單位時間熱水管注入水的流量，ρ熱水管水流密度，Cp熱水管水流比熱容，T0熱水管水流溫度。

（2）模型假設。①為了保持水溫，水龍頭一直打開供熱水；②流入水流量等于流出水流量；③環境溫度保持不變；④注水管水溫恒定且為70℃。

（3）模型建立。由模型一，可確定浴缸溫度分布情況，據此建立以熱水流量最小為目標函數的單目標優化模型如下：

minf0=S×V

S為注水管直徑，V為注水管水流速度，Q0i為任一點度的初始值，其值等于Q0，其他符號說明如前所述。

分析此模型可以看出，影響浴缸中水溫度分布情況的因素同樣是影響最小水流量的因素，利用MATLAB計算可得浴缸中無人時，在保證水溫在39℃～40℃前提條件下，水管最小流量為0.00238。

［1］李金海，覃麗珍，蔡仁華.溫泉水溫變化的控制數學模型［J］.瓊州學院學報，2006，（2）.

［2］李映文.溫度知多少［J］.數理天地，2006，（7）.

Constant Temperature Bath Water Mechanism Research

WANG Qiang
（Chongqing Jiaotong University，Chongqing 400074，China）

In order todeterm inehotwateraddingstrategy in bathtubwithoutauxi1iaryheatingsystem，thispapercarriesoutther-modynamic ana1ysison thebathtubsystem，estab1ishesthebath crock ofthedua1factorsoftemperature fie1dmode1of timeand space， according toheattransfercharacteristicateachspacepointinside the tub，bath crock injectionofhotwaterheatingprocessissimp1i-fied to point heat source heating medium.Using the princip1e of conservationof energy，according to Fourier transform vector method to reach the bath temperature fie1d distribution of the highest water injection point temperature，temperature minimum edges.Then basedon thebath temperature，under the condition ofignoringhuman factorsaffecting theprimarysing1eobjectiveoptim izationmod-e1is estab1ished，determine the bath water to maintainwithin the scope of the 39℃to 40℃water injection f1ow minimum va1ue，the resu1tshowsthatwhen thewaterinjection pipe f1ow is0.0028m2/scanachieveexpected purpose.

energy conservation；Fourier vector transform；steady-state conduction；optimize

TP27

A

2095-980X（2016）03-0067-01

2016-02-23

王強（1994-），男，重慶奉節人，大學本科，主要研究方向：近海工程。