“二元一次方程組”中考試題研究

姜紅

“二元一次方程組”中考試題研究

姜紅

像2x-y=5這樣，含有兩個未知數(shù)，并且未知項的次數(shù)都為1次，那么這樣的整式方程就叫作二元一次方程.二元一次方程有無數(shù)組解，若添加條件限定（例如求正整數(shù)解），亦可有有限個解，甚至無解.

一、二元一次方程組的解法

【點評】多元方程的解法原則是“消元”.而“消元”的具體方法有代入法和加減法兩種.

有時，試題也會涉及“整體代換”等思想方法，比如：

解：將方程②變形：4x+10y+y=5，即

2（2x+5y）+y=5③，

把方程①代入③得：2×3+y=5，∴y=-1.

把y=-1代入①得x=4.

請你解決以下問題：

【解析】第（1）題模仿小軍的“整體代換”法，把方程②變形為：

【點評】此題考查了解二元一次方程組，弄清閱讀材料中的“整體代換”方法，是解本題的關鍵.

二、二元一次方程組的應用

例4（2015·北京）《九章算術》是中國傳統(tǒng)數(shù)學最重要的著作，奠定了中國傳統(tǒng)數(shù)學的基本框架.它的代數(shù)成就主要包括開方術、正負術和方程術.其中，方程術是《九章算術》最高的數(shù)學成就.

《九章算術》中記載：“今有牛五、羊二，直金十兩；牛二、羊五，直金八兩.問：牛、羊各直金幾何？”

譯文如下：“假設有5頭牛、2只羊，值金10兩；2頭牛、5只羊，值金8兩.問：每頭牛、每只羊各值金多少兩？”

設每頭牛值金x兩，每只羊值金y兩，可列方程組為__________.

【點評】這類問題中兩個量呈一次關系，往往可以抽象出二元一次方程組，解決本題的關鍵是找到題目中所存在的等量關系.

例5（2015·佛山）某景點的門票價格如表：

購票人數(shù)/人　1～50　51～100　100以上每人門票價/元　12　10　8

某校七年級（1）、（2）兩班計劃去游覽該景點，其中（1）班人數(shù)少于50人，（2）班人數(shù)多于50人且少于100人，如果兩班都以班為單位單獨購票，則一共支付1118元，如果兩班聯(lián)合起來作為一個團體購票，則只需花費816元.

（1）兩個班各有多少名學生？

（2）團體購票與單獨購票相比較，兩個班各節(jié)約了多少錢？

（2）用一張票節(jié)省的費用乘該班人數(shù)即可求解.（2）七年級（1）班節(jié)省的費用為：（12-8）×49=196（元），七年級（2）班節(jié)省的費用為：（10-8）×53=106（元）.

【點評】本題考查了列二元一次方程組解實際問題的運用、二元一次方程組的解法的運用，解答時建立方程組求出各班的人數(shù)是關鍵.

三、與二元一次方程組有關的綜合題

例6（2014·益陽）某電器超市銷售每臺進價分別為200元、170元的A、B兩種型號的電風扇，下表是近兩周的銷售情況：

銷售數(shù)量銷售時段　銷售收入A種型號　B種型號第一周　3臺　5臺　1800元第二周　4臺　10臺　3100元

（進價、售價均保持不變，利潤=銷售收入-進貨成本）

（1）求A、B兩種型號的電風扇的銷售單價；

（2）若超市準備用不多于5400元的金額再采購這兩種型號的電風扇共30臺，求A種型號的電風扇最多能采購多少臺？

（3）在（2）的條件下，超市銷售完這30臺電風扇能否實現(xiàn)利潤為1400元的目標？若能，請給出相應的采購方案；若不能，請說明理由.

（2）設采購A種型號電風扇a臺，則采購B種型號電風扇（30-a）臺，根據(jù)金額不多于5400元，列不等式得：200a+170（30-a）≤5400，解得：a≤10.所以超市最多采購A種型號電風扇10臺時，采購金額不多于5400元.

（3）設利潤為1400元，列方程（250-200）·a+（210-170）（30-a）=1400，解得：a=20.

若不符合（2）的條件，可知不能實現(xiàn)目標.∵a≤10，

∴在（2）的條件下超市不能實現(xiàn)利潤1400元的目標.

【點評】本題考查了二元一次方程組和一元一次不等式的應用，解答本題的關鍵是讀懂題意，設出未知數(shù)，找出合適的等量關系和不等關系，列方程組和不等式求解.這類試題把二元一次方程組與一次不等式結(jié)合起來考查，難度有所加大.

（作者單位：江蘇省南京師范大學附屬中學江寧分校）