聯系圖形，巧解數學題

姜紅

聯系圖形，巧解數學題

姜紅

七年級下學期第九章，同學們學習了《整式乘法與因式分解》，在學習完全平方公式時，我們用了以下圖形進行驗證，用圖1的兩個正方形和兩個長方形拼成圖2的大正方形，再算其面積.

圖1

圖2

比較二者可得，完全平方公式：（a+b）2= a2+2ab+b2.

在學習因式分解時，我們也用到了類似的方法.

看下面的問題：

如圖3，陰影部分是邊長為a的大正方形中剪去一個邊長為b的小正方形后所得到的圖形4，請借助此圖，驗證平方差公式.

圖3

圖4

比較二者可得，平方差公式：a2-b2=（a+ b）（a-b）.

以上解決問題的思想方法，叫作“數形結合”.

數與形是數學中的兩個最古老，也是最基本的研究對象，它們在一定條件下可以相互轉化.初中數學研究的對象大致可分為數和形兩大部分.數與形是有聯系的，這個聯系就稱之為數形結合.

作為一種數學思想方法，數形結合的應用大致又可分為兩種情形：或者借助于數的精確性來闡明形的某些屬性，或者借助形的幾何直觀性來闡明數之間某種關系.即數形結合包括兩個方面：第一種情形是“以數解形”，而第二種情形是“以形助數”.

其實，數形結合的思想方法，我們上學期就接觸到的.比如，在學習“絕對值”的概念時，我們說：數軸上，表示數a的點到原點

同學們仔細觀察，可以發現這兩題是同一類型.我們以第一題為例來探討其解法.

方法一：依據絕對值的化簡方法.即：

故此，我們需要，逐一判斷每個絕對值符號內部的代數式的符號，找到它們的零點x=1、x=3，再分類討論，加以解決.解法如下：

當x=1時，此式最小值為2；

當x=3時，此式最小值為2.

方法二：數形結合

圖5

結合圖5，若表示數x的點P在數軸上移動，易知當點P運動到1與3之間時，兩個距離之和最小，相當于表示1與3的兩點之間的距離，即為2.故此，原式的最小值為2.

其實，數形結合這個獨特的思想方法，還有著很多的應用.據傳，古希臘著名數學家畢達哥拉斯借助八個完全相同的直角三角形進行拼圖，驗證了直角三角形的三邊a、b、c之間有著特殊的關系，你能借助下圖進行探索嗎？

圖6

圖7

同學們找到a、b、c之間的關系了嗎？這就是我們下學期即將要學到的著名的勾股定理：直角三角形的兩直角邊a、b與斜邊c之間符合：a2+b2=c2.這個定理在西方被稱為畢達哥拉斯定理.

用心觀察，運用經典的數學思想方法，也許將來的某一天，在數學論著中也能出現以你的名字命名的數學結論呢.

（作者單位：江蘇省南京師范大學附屬中學江寧分校）