讓數學思想走進生活

祁艷波

讓數學思想走進生活

祁艷波

我們知道生活中處處用到數學，很多數學知識被人們運用到實際生活當中去.

1.“等量代換”法的應用：

故事1《曹沖稱象》的故事：曹沖年少聰明善于觀察，到五六歲的時候，知識和判斷能力所達到的程度，可以比得上成人.孫權曾經送來過一頭巨象，曹操想要知道這象的重量，詢問他的下屬，都沒法想出稱象的辦法.曹沖說："把象安放到大船上，在水面所達到的地方做上記號，再讓船裝載其他東西，稱一下這些東西，那么就能知道結果了.曹操聽了很高興，馬上照這個辦法做了.

【解析】“曹沖稱象”在中國幾乎是婦孺皆知的故事.年僅六歲的曹沖，利用漂浮在水面上的物體的重力等于水對物體的浮力這一物理原理，解決了一個連許多有學問的成年人都一籌莫展的大難題，這不能不說是一個奇跡.可是，在那個年代（公元200年），雖然阿基米德原理已經發現了500年，但這一原理直到1627年才傳入中國，小曹沖不可能知道這個原理，更不用說浮沉條件了.實際上，聰明的曹沖所用的方法是“等量替換”法.用許多石頭代替大象，在船舷上刻畫記號，讓大象與石頭產生等量的效果，再一次一次稱出石頭的重量，使“大”轉化為“小”，分而治之，這一難題就得到圓滿的解決.

故事2美國大發明家愛迪生有一位數學基礎相當好的助手叫阿普頓.有一次，愛迪生把一只電燈泡的玻璃殼交給阿普頓，要他計算一下燈泡的容積.阿普頓看著梨形的燈泡殼，思索了好久之后，畫出了燈泡殼的剖視圖、立體圖，畫出了一條條復雜的曲線，測量了一個個數據，列出了一道道算式.經過幾個小時的緊張計算，還未得出結果.愛迪生看后很不滿意.只見愛迪生在燈泡殼里裝滿水，再把水倒進量杯，不到一分鐘，就把燈泡的容積“算”出來了.

【解析】這里，愛迪生用倒入量杯里的水的體積代替了燈泡殼的容積，用的也是“等量替換”法.等量替換法（“等量代換”法）是一種常用到的科學思維方法.

如：∵∠1=∠2，∠2=∠3，∴∠1=∠3（等量代換）.

2.數學分類思想應用：

故事3 古時候，有個秀才博學多才，對問題的分析很精辟，遠近聞名.一天早上他剛起床，外面來了一個農民說自己丟了馬，請求他寫一張“尋馬啟事”.秀才問：“你的馬是什么時候丟的？”農民回答道：“不是去年就是今年.”秀才又問：“丟了幾匹馬？”農民答：“不是一匹就是兩匹.”

在常人看來，農民的回答含糊其辭，不得要領.可是秀才略加思索，便按農民的敘述寫出一張“尋馬啟事”，農民真的很快把馬找到了.

聰明的讀者，你知道農民的馬是什么時候丟的？丟的是什么馬嗎？

【解析】馬是在大年三十的晚上丟的，那是一匹快要下小馬駒的母馬.這則故事給我們兩點啟示：（1）要讀懂題目中的隱含條件；（2）學習數學，要有分類思想.下面分別談一下.

（1）讀懂題目中的隱含條件：

例1已知：如圖1，AC、BD相交于點O，

求證：∠A+∠B=∠C+∠D.

【分析】要證明∠A+∠B= ∠C+∠D，就要通過三角形內角和定理和對頂角相等條件得出結果.

圖1

【答案】如圖1所示，

∵∠A+∠B+∠AOB=180°，

∠C+∠D+∠COD=180°（三角形內角和定理），且∠AOB=∠COD（對頂角相等），

∴∠A+∠B=∠C+∠D.

（2）數學學習，要有分類思想：

尋馬的故事告訴我們事物是發展的，會從量變到質變（數量多少的變化會引起性質不同的變化）.如尋馬中的“去年”“今年”“一匹馬”“兩匹馬”等分開討論，都體現了分類思想，下面舉例討論一下：

例2已知：等腰△ABC中，一條邊的長是6，另一條邊的長是9.求第三條邊的長.

【分析】本題要分情況說明，體現了分類思想，同時還要結合三角形構成的條件說明.

【答案】（1）當一腰長是6時，另一腰長也是6.∵符合6+6＞9的條件，∴另一條邊長是6.

（2）當一腰長是9時，另一腰長也是9.

∵符合6+9＞9的條件，∴另一條邊長是9.

3.反證法的應用：

故事4有關八仙的故事家喻戶曉.八仙之一的鐵拐李喜好游山玩水，一日，拐仙游性大發，便身背那只形影不離的寶葫蘆騰云駕霧，尋找游玩的好去處.忽見一都市繁華非常，就按下云頭，走進市內東張西望，只見迎面一家大店鋪，招牌上寫著“抬杠鋪”三個大字.拐仙看了心中十分納悶，他想：“我鐵拐李等諸仙漂洋過海，天上人間什么稀奇古怪的事兒沒見過？唯獨這等專門抬杠的店鋪倒真的還沒見過.也好，我今天倒要進去見識見識.”他來到店鋪門前，才發現大門框上還貼著一副對聯，上聯是：天下事事事可抬杠；下聯是：進鋪人人人輸吾乎.橫批是：只贏不輸.鐵拐李看罷，早把“仙不與民爭”的古訓忘在腦后，氣得大叫一聲：“掌柜的，吾乃是八仙之一的鐵拐李，今天專程來與你玩玩抬杠，賭個輸贏！”

掌柜的不慌不忙地站起來，拱了拱手說：“久仰，久仰.不知客官要抬什么事？”拐仙順手取下寶葫蘆放在柜臺上：“就抬此物.”掌柜笑道：“也好，不過丑話說在前頭，若我輸了，情愿把此店鋪輸于你，但不知您客官打算抵押何物？”鐵拐李忙答：“若我輸了，情愿將寶葫蘆輸于你.”掌柜將葫蘆輕輕一轉：“這個破葫蘆有何用處？”拐仙大笑：“說你是個肉胎凡夫不識寶，我這寶葫蘆乃是天上有、地上無之物，能消災滅禍，包治百病！”掌柜一聽，冷笑一聲，拿起寶葫蘆便往屋里走，鐵拐李馬上一拐一拐地追進去嚷道：“你為何不抬杠，卻搶走了我的葫蘆？”掌柜轉身笑道：“我贏了，當然此物歸我所有.”拐仙氣呼呼地質問：“還未抬杠，怎知輸贏？”

果然，掌柜只點破謎底一句話，鐵拐李馬上滿面羞愧，張著大嘴無言以對，只好離去.

親愛的同學，你知道這“點破謎底的一句話”是什么嗎？

步驟　　要點　　舉例（以“鐵拐李抬杠”為例）（1）反設（1）正難則反—難題控制解題 “制高點”，正面強攻難以奏效，則反過來想，從“背后”強攻. （2）進行反設—先假設命題結論的反面是成立的. （1）掌柜是凡人，要正面否定神仙鐵拐李的寶葫蘆不能治百病，難度極大. （2）進行反設—假設“寶葫蘆能包治百病”. （2）歸謬（1）掌柜推理：寶葫蘆能治百病→當然也能治包括你鐵拐李在內的瘸腿病. （2）尋找矛盾：“鐵拐李”—說明他的腿就是瘸，連自己的瘸腿都治不好的葫蘆，還能“包治百病”？（3）結論　否定反設，肯定原來結論.　　寶葫蘆不能包治百病（1）推理—從反設出發，經過一系列的邏輯推理. （2）尋找矛盾—推理結果，得到與已知條件或定義、定理等自相矛盾的結果.

下面通過具體的例子來展開說明：

例3已知：l1∥l3，l2∥l3.求證：l1∥l2.

【分析】正難則反，先假設l1與l2不平行，則l1與l2相交于點P.

【答案】∵l1∥l3，l2∥l3，根據平行公理：過直線外一點（如本題中的點P），有且只有一條直線與已知直線平行，可是這里過點P有兩條直線l1、l2與已知直線l3平行，說明l1與l2不平行是錯誤的.∴原假設錯誤，即l1∥l2.

【答案】掌柜問鐵拐李：“寶葫蘆包治百病，為何連你的腿瘸都治不好呢？”

在民間，神仙鐵拐李無人不知，無人不曉，他隨身不離的那只寶葫蘆，更是法力無邊的鎮身之寶.現在拐仙用葫蘆押作賭注，倒不是輸紅了眼，孤注一擲之招，而是以一種穩操勝券的心態來與對手較量的.看起來，力量對比如此懸殊，只會“耍嘴皮子”的掌柜必輸無疑了.可是，這位掌柜身手不凡，一句“寶葫蘆包治百病，可惜治不了你的瘸腿病”就把對手打了個人仰馬翻，灰溜溜地敗下陣去.掌柜的成功在于他一不畏強手（神仙），二善于聽其言，觀其行，抓住對方語言的自相矛盾之處，先退后進，擊一猛掌，取得勝利.掌柜的取勝絕招叫作反證法，這也是數學解題的重要方法.

由于同學們對反證法解題比較生疏，現仍以鐵拐李抬杠故事為“樓梯”，介紹反證法的解題步驟.為簡略起見，將反證法解

總結：學法同兵法，當你無法直接證明時，你可以采用一下反證法，這樣可以通過邏輯推理，從中找出與已知條件、公理、定義、定理……自相矛盾處，反戈一擊，打他個措手不及，這就是反證法，其核心是正難則反，邏輯制勝，所以反證法也是解題的重要方法之一.

（作者單位：江蘇省連云港市海頭中心小學）