峰回路轉識圖形
——七年級下學期幾何重點概念解讀

姜紅

峰回路轉識圖形
——七年級下學期幾何重點概念解讀

姜紅

七年級下學期的課本中與幾何有關的章節是第七章和第十二章，分別是《平面圖形的認識（二）》和《證明》.第七章大致可分為兩部分：平行線和三角形.平行線的相關性質和定理是初中幾何學習的基礎，比如三角形的內角和定理就是依據平行線的相關性質推導出來的.因此可以認為，第七章里前面平行線的相關內容是為后面三角形的內容做鋪墊，而多邊形內角和、外角和又是三角形相關內容的延伸.整個第七章是一個邏輯嚴密的整體，它還是八年級學習等腰三角形、直角三角形、平行四邊形等內容的基礎，是初中幾何知識最重要的基礎.第十二章《證明》則簡要介紹了常見的說理證明的方法.內容比較簡略，本文不贅述.為了讓同學們更好地掌握第七章的內容，下面給同學們解讀一下其中的重要知識點.

重點1：平行線的判定（即直線平行的條件）

關于這個內容，課本共有三條結論：1.同位角相等，兩直線平行；2.內錯角相等，兩直線平行；3.同旁內角互補，兩直線平行.其中，結論1是基本事實，是人們公認的真命題，無須證明.結論2和結論3，可以用定理 “對頂角相等”、“同角的補角相等”再經由結論1加以證明，是平行線的判定定理.

例1如圖1，直線l1、l2被直線l3、l4所截，下列條件中，不能判斷直線l1∥l2的是（）.

圖1

A.∠1=∠3 B.∠5=∠4

C.∠5+∠3=180° D.∠4+∠2=180°【分析】依據平行線的判定的三條結論可知：

A.已知∠1=∠3，根據內錯角相等，兩直線平行可以判斷，故命題正確；

B.不能判斷；

C.同旁內角互補，兩直線平行，可以判斷，故命題正確；

D.同旁內角互補，兩直線平行，可以判斷，故命題正確.

故選B.

【點評】正確識別“三線八角”中的同位角、內錯角、同旁內角是正確答題的關鍵，不能遇到相等或互補關系的角就誤認為具有平行關系，只有同位角相等、內錯角相等、同旁內角互補，才能推出兩直線平行.

重點2：平行線的性質

平行線的性質定理，課本共有三條結論，合起來可以說成：兩直線平行，同位角相等，內錯角相等，同旁內角互補.其中“兩直線平行，同位角相等”在證明時還初步使用了反證法進行說理（參看教材16頁）.后兩個定理，可以經由“兩直線平行，同位角相等”直接加以證明.

例2 （1）如圖甲，AB∥CD，試問∠2與∠1+∠3的關系是什么？為什么？

甲

乙

（2）如圖乙，AB∥

CD，試問∠2+∠4與∠1+

∠3+∠5一樣大嗎？為什

么？

（3）如圖丙，AB∥

CD，試問∠2+∠4+∠6

與∠1+∠3+∠5+∠7哪

個大？為什么？

丙

你能將它們推廣到一般情況嗎？請寫出你的結論.

【分析】看這“峰回路轉”的折線夾在兩條平行線之間，容易聯想到內錯角這一形象.這樣就可以依據“兩直線平行，內錯角相等”來添加輔助線進行解題.具體解法如下：

（1）∠2=∠1+∠3.過點E作EF∥AB，∵AB∥CD，

∴AB∥CD∥EF，∴∠BEF=∠1，∠CEF=∠3，

∴∠2=∠BEF+

∠CEF=∠1+∠3；

（2）∠2+∠4=∠1+∠3+∠5.

圖2

分別過點E，G，M，作EF∥AB，GH∥AB，MN∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥CD∥EF∥GH∥MN，

∴∠1=∠BEF，∠FEG=∠EGH，

∠HGM=∠GMN，∠CMN=∠5，

∴∠2+∠4=∠BEF+∠FEG+∠GMN+ ∠CMN=∠1+∠EGH+∠MGH+∠5=∠1+ ∠3+∠5；

圖3

圖4

（3）∠2+∠4+∠6=∠1+∠3+∠5+∠7.

分別過點E，G，M，K，P，作EF∥AB，

GH∥AB，MN∥AB，KL∥AB，PQ∥AB，

同（2）可得

∴∠1=∠BEF，∠FEG=∠EGH，∠HGM= ∠GMN，∠KMN=∠LKM，∠LKP=∠KPQ，∠QPC=∠7，

∴∠2+∠4+∠6=∠1+∠3+∠5+∠7.

歸納：開口朝左的所有角度之和與開口朝右的所有角度之和相等.

重點3：圖形的平移

圖形的平移是初中學習的三種最重要的幾何變換之一.另外兩種重要的幾何變換——軸對稱、旋轉將在八年級學習.平移的兩個要素是方向和距離.這可以分別用具體的方向和距離給出，也可以用一個有向線段給出，比如像“把△ABC平移，使頂點A移動到點A′的位置”這樣的說法.圖形的平移的結論有：平移前后的圖形中，對應點的連線平行（或在同一直線上）且相等.此外，同學們還要掌握平移圖形的畫法.

例3 如圖5，經過平移，四邊形ABCD的頂點A移到點A′，做出平移后的四邊形.

圖5

圖6

【分析】依據“平移前后的圖形中，對應點的連線平行且相等”，過點B、C、D分別作直線AA′的平行線，并在直線上分別截取BB′=CC′=DD′=AA′，再順次連接A′、B′、C′、D′即可（如圖6）.

【點評】考查平移變換作圖.關鍵在于做出平移后的對應點.

重點4：三角形的重要線段

三角形的中線、角平分線、高是三角形的重要線段.解題時要依據其定義，轉化為相應的數量關系或者位置關系，再加以運用.通過畫圖，同學們可以總結出：三角形的三條角平分線交于三角形內一點，三條中線交于三角形內一點.這兩個結論的證明比較有難度，將分別在八年級和九年級給出.三角形的三條高（所在直線）交于一點，這點的位置與三角形的形狀有關.銳角三角形的三條高的交點在三角形內；直角三角形的三條高的交點在直角頂點；鈍角三角形的三條高所在的直線交于一點，在三角形外部.

例4在△ABC中，畫出邊AC上的高，下面4幅圖中畫法正確的是（）.

【分析】作哪一條邊上的高，從所對的頂點向這條邊或這條邊的延長線作垂線段即可.故而，在△ABC中，畫出邊AC上的高，即是過點B作AC邊的垂線段，正確的是C.故選C.

【點評】此題主要考查了三角形的高，要抓住定義“在三角形中，從一個頂點向它的對邊作垂線，頂點與垂足之間的線段叫作三角形的高”.

重點5：多邊形的外角和與內角和

這一部分內容包含：三角形的內角和定理，n邊形的內角和公式，多邊形的外角和定理.其中，三角形的內角和定理是基礎和出發點.

在小學，我們就已經知曉“三角形的內角和為180°”這個結論.到了初中，同學們還需要掌握這個結論的證明方法.這個定理的證明方法有多種，以下僅舉出其中一種：

如圖7所示，在△ABC中，過A引l∥BC.

圖7

∵l∥BC，

∴∠B=∠1，∠C=∠2（兩直線平行，內錯角相等）.

∵∠1+∠BAC+∠2=180°，

∴∠A+∠B+∠C=180°.

即三角形的內角和為180°.

由三角形的內角和定理還直接得出以下結論：①直角三角形兩銳角互余，②三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和.對n邊形適當分割，使其轉化為若干個三角形，還可以得出n邊形內角和公式（n-2）·180°，并最終得出n邊形外角和為360°.

例5認真閱讀下面關于三角形內外角平分線所夾角的探究片段，完成所提出的問題.

探究一：如圖8，在△ABC中，已知O是∠ABC與∠ACB的平分線BO和CO的交點，通過分析發現∠BOC=90°+∠A，理由如下：

∵BO和CO分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，

∴∠BOC=180°-（∠1+∠2）=180°-（90° -∠A）=90°+∠A.

圖8

圖9

（1）探究2：如圖9中，已知O是∠ABC與外角∠ACD的平分線BO和CO的交點，試分析∠BOC與∠A有怎樣的關系？并說明理由.

（2）探究3：如圖10，已知O是外角∠DBC與外角∠ECB的平分線BO和CO的交點，則∠BOC與∠A有怎樣的關系？（直接寫出結論）結論：_________.

圖10

圖11

（3）拓展：如圖11，在四邊形ABCD中，已知O是∠ABC與∠DCB的平分線BO和CO的交點，則∠BOC與∠A+∠D有怎樣的關系？（直接寫出結論）結論：__________.

（2）根據三角形的外角性質以及角平分線的定義表示出∠OBC和∠OCB，再根據三角形的內角和定理解答；

（3）同（1）的求解思路.

具體解法如下：

理由如下：∵BO和CO分別是∠ABC和∠ACD的角平分線，

∵∠2是△BOC的一個外角，

（2）根據三角形的外角性質和角平分線的定義，

在△BOC中，

在△BOC中，

【點評】本題考查了三角形的外角性質、角平分線的定義、三角形的內角和定理，熟記性質并準確識圖、整體思想的利用是解題的關鍵.本題的四個圖形屬于同一個系列，放在一起比較更容易相互聯系進行理解.

在幾何內容學習的時候，“轉化”是常出現的字眼.“轉化”是重要的數學思想，我們不斷建構新知識的過程，往往也是不斷把新知識轉化為已學知識的過程.望同學們能領略其中的奧妙，學得輕松，學得高效.

（作者單位：江蘇省南京師范大學附屬中學江寧分校）